2025届新高考数学冲刺复习函数的周期性和对称性

2025届新高考数学冲刺复习函数的周期性和对称性目录考点清单题型清单考点1函数的周期性考点2函数的对称性题型1周期性的判断及应用题型2函数性质综合考点1函数的周期性1.函数的周期性(1)周期函数的定义:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对

每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做

这个函数的周期.(2)最小正周期的定义:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数,那么这个

正数就叫做f(x)的最小正周期.提醒并非所有周期函数都有最小正周期.2.关于函数周期性的几个常见结论(1)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则f(x)的周期是T=|a-b|.(2)若f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期是T=2|a|.(3)若f(x+a)=

或f(x+a)=-

,其中f(x)≠0,则f(x)的周期是T=2|a|.(4)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,2|a|是它的

一个周期.(5)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,4|a|是它的

一个周期.考点2函数的对称性1.函数的图象自对称性(1)函数y=f(x),若其图象关于直线x=a对称(a=0时,f(x)为偶函数),则f(a+x)=f(a-x)⇔f(2a+

x)=f(-x)⇔f(2a-x)=f(x).(2)函数y=f(x),若其图象关于点(a,0)中心对称(a=0时,f(x)为奇函数),则f(a+x)=-f(a-x)⇔f(2a+x)=-f(-x)⇔f(2a-x)=-f(x).(3)函数y=f(x),若其图象关于点(a,b)中心对称,则f(a+x)+f(a-x)=2b⇔f(2a+x)+f(-x)=2b⇔f(2a-x)+f(x)=2b.2.两个函数的图象互相对称性(1)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线x=a对称,则g(x)=f(2a-x).(2)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于点(a,b)对称,则g(x)=2b-f(2a-x).3.函数的对称性与周期性的关系(1)若函数y=f(x)的图象有两条对称轴x=a,x=b(a<b),则函数f(x)是周期函数,且T=2(b-a).(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b),则函数y=f(x)是周期函数,且T=2(b-a).(3)若函数y=f(x)的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a<b),则函数y=f(x)是周

期函数,且T=4(b-a).即练即清1.判断正误(对的打“√”,错的打“✕”)(1)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.

(

)(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-2)=-f(x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.

(

)(3)若函数f(x)满足f(1+x)=2-f(3-x),则函数f(x)的图象关于点(2,1)对称.

(

)2.已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=x2+4,则f(2024)=

.3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+2)=-f(x),且当-1≤x<0时,f(x)=-x2+2,则f(2023)=

.√√√81题型1周期性的判断及应用利用函数周期性解题时一般先根据周期性的定义求解出函数的周期,然后利用周期解

决相应问题.通常可以利用函数的周期性将未知区间的问题转化为已知区间的问题.例1

(2018课标Ⅱ,12,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=

(

)A.-50

B.0

C.2

D.50

解析

∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,且f(-x)=-f(x),①又∵f(1-x)=f(1+x),∴f(-x)=f(2+x)(用1+x代替x),②由①②得f(2+x)=-f(x),∴f(4+x)=-f(2+x)(用2+x代替x),∴f(x)=f(x+4),∴f(x)的最小正周期为4,对于f(1+x)=f(1-x),令x=1,得f(2)=f(0)=0;令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2;令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=0+2+0=2.故选C.

答案

C即练即清1.已知y=f(x)为奇函数且对任意x∈R,f(x+2)=f(-x),若当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+a),则f(2021)=

(

)A.-1

B.0

C.1

D.2C题型2函数性质综合综合应用函数性质主要是解决求值或求参问题,一般策略如下:(1)根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期;(2)利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值,直到自变量

的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系,必要时可再次运用奇偶性将

自变量的符号进行转化;(3)代入已知的解析式求解即得欲求的函数值.例2

(多选)(2022新高考Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若f

,g(2+x)均为偶函数,则(

)A.f(0)=0

B.g

=0C.f(-1)=f(4)

D.g(-1)=g(2)

解析

解法一因为f

为偶函数,所以f

-2x

=f

,即f

=f

①,所以f(x)的图象关于x=

对称,则f(-1)=f(4),故C正确.因为g(2+x)为偶函数,所以g(2+x)=g(2-x),所以g(x)的图象关于x=2对称,对

①式两边分别求导,且结合g(x)=f'(x),得-f'

=f'

⇒-g

=g

,所以g(3-x)+g(x)=0,所以g(x)的图象关于点

对称.因为其定义域为R,所以g

=0,再结合g(x)的图象关于x=2对称,得g(x)的周期T=4×

=2,所以g

=g

=0,g(-1)=g(1)=-g(2),故B正确,D错误.若函数f(x)满足题设条件,则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件,所以无法确定f(x)的

函数值,因此A错误.故选BC.解法二构造函数法由解法一可知g(x)的周期为2,图象关于x=2对称,故可设g(x)=cos(π

x),则f