同济大学高等数学第二章导数与微分

第二篇一元函数微积分

第二章导数及微分

微积分学包含微分学和积分学两部分，而导数和微分是微分

学的核心概念.导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程

度，微分则指明了当自变量有微小变化时，函数大体上变化了多

少，即函数的局部改变量的估值.本章主要讨论导数和微分的概

念、性质以及计算方法和简单应用.

第1节导数的概念

1.1导数概念的引入

1.1.1质点做变速直线运动的瞬时速度问题

现有一质点做变速直线运动，质点的运动路程S及运动时间1

的函数关系式记为S=S⑺，求在"时刻时质点的瞬时速度V&）为多

少？

整体来说速度是变化的，但局部来说速度可以近似看成是不

变的.设质点从时刻％改变到时刻％+。，在时间增量所内，质点

经过的路程为Av=S«o+。）-6&），在。时间内的平均速度为

当时间增量囹越小时，平均速度下越接近于时刻％的瞬时速

度丫伉），于是当加-0时，万的极限就是质点在时刻，。时的瞬时速

度V4），即

1.1.2平面曲线的切线斜率问题

已知曲线C:y=/（x）,求曲线C上点%.（%,%）处的切线斜率.

欲求曲线。上点“。（％,为）的切线斜率，由切线为割线的极限位

置，容易想到切线的斜率应是割线斜率的极限.

图2-1

如图2T所示，取曲线。上另外一点M(Xo+Ar,%+4v)，则割线

的斜率为

当点M沿曲线。趋于峪时，即当—0时，M也的极限位置

就是曲线。在点M,的切线”一,此时割线的倾斜角0趋于切线的

倾斜角C，故切线的斜率为

前面我们讨论了瞬时速度和切线斜率两个问题，虽然实际意

义不同，但如果舍弃其实际背景，从数学角度看，却有着相同的

数学形式，即当自变量的改变量趋于零时，求函数的改变量及自

变量的改变量之比的极限.在自然科学、社会科学和经济领域中，

许多问题都可以转化为上述极限形式进行研究，如电流强度、人

口增长速度、国内生产总值的增长率、边际成本和边际利润等.因

此，我们舍弃这些问题的实际意义，抽象出它们数量关系上的共

同本质一一导数.

1.2导数的概念

1.2.1函数在一点处的导数

定义1设函数y=/(x)在点/的某领域。(x0@)内有定义，自变

量x在/处取得增量Ax,且不+AreU(Xo，S)时，函数取得相应的增

量与=/(%+加:)-/(>0),如果极限

存在，那么称函数y=/(x)在点与可导，并称此极限值为函数

Kx)在点X。的导数，记作八今，甯|，即

注：(1)由导数的定义可得及其等价的定义形式

(2)若极限lim包不存在，则称函数y=/(x)在点与不可导.特

Ax

别地，若lim包=oo,也可称函数y=/(x)在点与的导数为无穷大，

―一。Ax

此时y=/(x)在点x。的切线存在，它是垂直于x轴的直线x=x°.

例1设〃%)=『,求『(3).

X

解根据导数的等价定义，可得

例2设/(/)=-2,求下列极限：

(1)lim/(x0+3Ax)-/(x0).闻)1向"飞+①一”%一份.

-Ax'/°h

解

(1)lim"Xo+3Ax)T(Xo)=§5"x0+3Ax)-/(x°)=3r每)=-6.

-Ax以.。3Ax

(o\/(x+/z)-/(x-/i)_/(x+h)-/(x)+/(x)-/(x-h)

i乙)ivnn-----0--------------0-------nm------0--------------0----------0---------0------

—0h力-oh

1.2.2单侧导数

导数是由函数的极限来定义的，因为极限存在左、右极限，

所以导数也存在左、右导数的定义.

定义2(1)设函数y=/(x)在点X。的某左邻域内有定义，当

自变量x在点/左侧取得增量极时，如果极限lim/^o+Ar)-/(xo)

A%

或lim""③存在，则称此极限值为y"⑺在点飞的左导数，

X—玉)

记为土'5),即

(2)设函数y=/(x)在点/的某右邻域内有定义，当自变量x

在点与右侧取得增量4时，如果极限lim/g+Ax)-/(x。)或

以一。+Ax

lim/(x)./(x。)存在,则称此极限值为y=/(x)在点X。的右导数，记

%-Hx-x0

为£(%)，即

由极限存在的充要条件可得函数y=/(x)在点x。可导的充要

条件如下：

定理1函数y=/(x)在点/可导o('(%)和九'(%)存在且相等.

例3研究函数/(x)=|x|在点x=0的可导性.

解因为="U，所以

羽x>0

从而('(0),<(0),因此f(x)=国在点"=0不可导.

1.2.3导函数

定义3(1)若函数y=/(x)在区间(g。)内每一点均可导，则

称y=/(x)在区间(。,。)内可导；

(2)若函数y=/(x)在区间(a,。)内可导，在区间左端点a的右

导数九'⑷和区间右端点匕的左导数('(。)均存在,则称y=/(x)在闭

区间［①加上可导.

定义4若函数y=/(x)在区间/(可以是开区间、闭区间或半

开半闭区间)上可导，且对于任意的xe/,都对应着一个导数值

尸(x),其是自变量X的新函数，则称/(x)为y=/(x)在区间/上的

导函数，记作r(x),y,用，手，即

axax

r(x)=lim/(x+Kfx)或r(x)=lin/—⑺.

A10Axh-0h

注：(1)在导函数的定义式中，虽然x可以取区间/上的任意

值，但在求极限的过程中，x是常数，极和人是变量.

(2)导函数也简称为导数，只要没有指明是特定点的导数时

所说的导数都是指导函数.显然函数了⑴在点X。处的导数八%)就

是导函数尸(X)在点X。处的函数值，即/(%)=八刈.

I尤一而

下面利用导数的定义求一些简单函数的导数.

例4求常值函数/'(x)=c(。为常数)的导数.

,/(%+Ax)-/(%)C-C

解f'(x)=lim-----------=lim--------------=0.

—Ax-Ax

即得常值函数的导数公式：

例5求正弦函数〃x)=sinx的导数.

解小)=lim+=1而SU祠-sinx

。Ax-Ax

即得正弦函数的导数公式：

类似可得余弦函数的导数公式：

例6求指数函数/(%)=优(。>0,叱1)的导数.

+/11

、T/(x+丸)—/(x)<2'—a'a'-1

解f'()=hm-........'''=lim-----------=axlim-------.

x20h…h小0h

由于当/i-»0时，ah-1-hlna,所以

即得指数函数的导数公式：

特别地,

例7求对数函数/•(x)=log“x(a>0,"l)的导数.

log(x+/z)-logx1,x+h

解r⑴心—*f=llim——----f-l--------=hm—log”------------

丸一。hh»hx

即得对数函数的导数公式:

特别地,

例8求惠函数/(x)=x"的导数.

解

f'(x)=lim/(—A)-/(X)=1加(龙十0"一x"=limx"~—(xw0),

人一。h力一。hh—°h

因为当时，2.0,从而+〜〃生故

xVX）x

即得幕函数的导数公式：

1.3导数的几何意义

函数/（X）在X。点可导时，导数广（%）在几何上表示曲线y=/（x）

在点g"（x。））处的切线斜率（图2T）.

由此可得，曲线y=/（x）在（毛,/（毛））处的切线方程为

若八x0）=oo,可得切线的倾斜角为工或-工，此时切线方程为

22

x=xG.

当/（%）/0时，曲线y=/（x）在（七,/（%0））处的法线方程为

若/（%）=0,则法线方程为x=%.

例9求函数”必在点（1』）处的切线的斜率，并写出在该点的

切线方程和法线方程.

解根据导数的几何意义，函数丁=必在点（1』）处的切线的斜率

为

从而所求的切线方程为

即

所求法线的斜率为

从而所求的法线的方程为

即

1.4函数可导性及连续性的关系

定理2如果函数y=/（x）在点/处可导，那么y=/（X）在点与处

连续.

证明因为y=/（x）在点x0处可导，即

其中与=/（/+/）-/（/），所以

根据连续的定义可知y=/（x）在点X。处连续.

注：（1）定理2的逆命题不成立，即连续函数未必可导.

（2）如果函数在某一点不连续，那么函数在该点一定不可

导.

例10讨论函数"x）=XH0在点尤=0处的连续性及可

0,x=0

导性.

解因为

所以/（X）在点％=0处连续.

又因为

不存在，所以/'（尤）在点x=0处不可导.

例11讨论函数=F”<1在点x=l处的连续性及可导性.

2x,x>l

解因为

所以/'（X）在点x=l处不连续，从而了⑴在点x=l处不可导.

例12设函数/⑺」2在点-0处可导，求。力.

解由于/（X）在点尤=0处可导，所以/（X）在点％=0处必连续，

即

因为

所以可得》=1.

又因为

要使/(x)在点％=0处可导，则应有1'(0)=九'(0),即a=l.所以,

如果/(x)在点尤=0处可导，则有a=l,b=l.

习题2-1

1.已知物体的运动规律为s=Z+/(m),求：

(1)物体在1s到2s这一时间段的平均速度；

(2)物体在2s时的瞬时速度.

2.设“%)=«,按定义求〃4).

3.设广国)存在，指出下列极限各表示什么？

(1)lim-/一©A/(/)；(2)lim/(/)—小。+“)；

。Ax小。h

(3)lim^^(设/⑼=0且尸⑼存在).

4.设函数〃尤)在点x=l处连续，且lim^^=2,求广⑴.

*—X1

X

----,xw0

5.已知函数〃x)=1+)，求力⑼和工⑼，判定广⑼是

0,%=0

否存在？

6.求曲线y=F在点(0,1)处的切线方程和法线方程.

7.试讨论函数/'(%)="‘in>"0在1=o处的连续性及可导

0,x=0

性.

8.设函数〃x)=[x'在x=l处可导，求。力的值.

[ax+b,x>l

第2节函数的求导法则

在上一节中，利用导数的定义求得了一些基本初等函数的导

数.但对于一些复杂的函数，利用导数定义去求解，难度比较

大.因此本节将介绍几种常用的求导法则，利用这些法则和基本

求导公式就能比较简单地求一般初等函数的导数.

2.1导数的四则运算法则

定理1如果函数"(X)和心)都在点X处可导，那么它们的和、

差、积、商(分母不为零)都在点X处可导，且

(1)[u(x)±?(%)]'=/(%)±M(x).

(2)[〃(％)•v(x)]r=/(X)•v(x)+“(％)•M(x).

特别地，

[C.〃(x)『=C./(x)(C为常数).

⑶[而卜------而------(心)川.

特别地，

证明

(1)Wx)土v(x)r=limMx+h)士心+初大⑺土仪切

丸一。h

(2)Mx).v(x)]，=lim"(X+心"a+〃)一"(》).v(x)

joh

由于v(x)在点x处可导，从而其在点x处连续，故

(3)先考虑特殊情况.当心)70时,

由于v(z)在点X处可导，从而其在点X处连续，故

因此，函数--在点X处可导，且「工]1-粤(v(x)NO).于是

v(x)|_v(x)」V(x)

注：(1)法则(1)可以推广到有限个可导函数的和及差的求

导.如

(2)法则(2)可以推广到有限个可导函数的积的求导.如

例1设/(X)=x2+ex-3,求尸(x).

解尸(%)=卜2+靖_3)'=(%2,+(")'式3)，=2%+靖.

例2设/•(%)=%5+%2-、求r(x).

X

=

解/(工)=卜+工2—J=(x，)+(犬)_[工]+2X+^Y.

例3设f(x)=exsinx,求f\x).

解/'(x)=(e"sinx)=(e")sinx+e"(sinx)=ex(sinx+cosx).

例4设/⑶=Wlnx,求/(%).

解/z(x)=^xexInx^=(x)e"lnx+x(e")lnx+xex(inx)

例5设/(x)=tanx,求/'(%).

解rW=(tanJ==(sinx)'cosmx(cosx)'

'^COSX)COSX

即得正切函数的导数公式：

类似可得余切函数的导数公式：

例6设“X)=secx9求r(x).

解r(x)=(secx)'=[---]=一(cos：)=sinj=secxtanx.

ICOSX)COSXCOSX

即得正割函数的导数公式：

类似可得余割函数的导数公式：

2.2反函数的求导法则

定理2如果函数x=/(y)在区间内单调、可导且八y)wO,那

么它的反函数y=L(x)在区间Ix={x|x=/(j),ye/v}内也可导，且

「尸(x)T=」一或包

L」fXy)dxdx

dy

换句话说，即反函数的导数等于原函数的导数的倒数.

证明由于x=/(y)在区间4内单调、可导(必连续)，从而可

知x=/(y)的反函数丁="。)存在，且广(x)在区间/：、内也单调、连

续.

取Vxe/工，给x以增量Ax(AxwO,x+Axe/J,由y=广⑴的单调性

可知

于是有

由于y=L(x)连续，所以

从而

例7设丁=阪5111%(-1<%<1),求y'.

解因为y=arcsinx(-1<%<1)的反函数x=siny在区间

71717171

内单调可导，且(siny)=cosywO.又因为在内

5'5

有cosy=Jl-sii?y,所以在对应区间人=(—1,1)内有

即得到反正弦函数的导数公式：

类似可得反余弦函数的导数公式：

例8设y=arctanx(xw(-co,+oo)),求y'.

解因为y=arctanx(-00<x<+oo)的反函数x=tany在区间

/,J-工工］内单调可导，且(tany)'=sec2"0,所以在对应区间

Ix内有

即得反正切函数的导数公式：

类似可得反余切函数的导数公式：

2.3复合函数的求导法则

定理3如果函数〃=g(x)在点x可导，函数y=/(〃)在相应点

"=g(x)可导，那么复合函数y=/[g(x)]在点x可导，且其导数为

g-x)或—.

axaxduax

证明因为y=/(〃)在点M可导，所以

存在，于是根据极限及无穷小的关系可得

其中a是0时的无穷小.由于上式中在其两边同乘Aa,

可得

用Ax#O除上式两边，可得

于是

根据函数在某点可导必在该点连续可知，当—0时，

△MFO,从而可得

又因为〃=g(x)在点X可导，所以

故

如果AM=O,规定a=0,那么Ay=O,止匕时Ay=/(").八〃+(/.八〃仍

成立，从而仍有

注：(1)[/(g(x))]'表示复合函数对自变量了求导，而广口(切则

表示函数y=/(〃)对中间变量a求导.

(2)定理的结论可以推广到有限个函数构成的复合函数.例

如，设可导函数y=/(M),M=g(V),V=0(X)构成复合函数

y=/[g(9(%))]，贝1J

例9设y=sinf,求，.

dx

解因为y=sinx2由y=sinM,M=x2复合而成，所以

例10设y=lncos(e，，求◎.

解因为y=lncos(e*)由y=ln〃,M=cosv,v=e，复合而成，所以

从以上例子可以直观的看出，对复合函数求导时，是从外层

向内层逐层求导，故形象地称其为链式法则.当对复合函数求导

过程较熟练后，可以不用写出中间变量，而把中间变量看成一个

整体，然后逐层求导即可.

例11设y=lnsinx,求了.

解y'=——'(sinxy=——■cos%=cotx.

sinxsinx

例12设y=(%2_4x+3?，求y.

解y'=5(/_4x+3/.(％2_以+3)=10(%一2)(%2-4x+3了.

例13设y=sin〃%sin"%(〃为常数)，求y'.

解yr=(sin〃x)'sin〃1+sin〃x卜in〃％)

例14设y=ln|H，求y'.

解因为

所以，当了>0时，

当x<0时，

综上可得

例15设/⑺可导，求尸/仙!？’的导数.

解y'1/(sin?x)]=/'(sin?"(sin?x)=/'(sin2x)-2sin%-(sin%)

2.4高阶导数

变速直线运动的质点的路程函数为s=W),则速度

加速度

从而

这种导数的导数称为二阶导数，依次类推就产生了高阶导数

的概念.一般地，可给出如下定义：

定义1若函数y=/(x)的导数在点X可导，则称在点

X的导数为函数y=/(x)在点X的二阶导数，记作

即

这时也称"%)在点x二阶可导.

若函数y=/(x)在区间/上每一点都二阶可导，则称它在区间/

上二阶可导，并称尸(x)为〃%)在区间/上的二阶导函数，简称为

二阶导数.

如果函数尸了(九)的二阶导数/"⑴仍可导，那么可定义三阶导

数：

记作

以此类推，如果函数y=/(x)的1阶导数仍可导，那么可定

义〃阶导数：

记作

习惯上，称r(%)为〃%)的一阶导数，二阶及二阶以上的导数

统称为高阶导数.有时也把函数八%)本身称为“工)的零阶导数，

即/⑼⑴=/（%）.

注：由高阶导数的定义可知，求高阶导数就是多次接连地求

导数，所以前面学到的求导方法对于计算高阶导数同样适用.

定理4如果函数"=4%）和v=v（x）都在点X处具有”阶导数，那

么

（1）@±a"）=小）土网.

（2）,其中

k=0

,_n（n-l）---（H-^+l）_n\

n-_k[-{n-k）\.

特别地，（C""）=。"㈤（C为常数）.

定理4中的（2）式称为莱布尼兹（Leibniz）公式.

例16设y=2d-5/+3X-7,求严.

解9=6炉—10x+3,y"=12x-10,ym=12,yw=0.

n1

—"般地，设y=+an_]X-+---1-a1x+a0>则=〃!.an,—（"+"=0.

例17设丁=为（々>0,”1）,求严,

解y'=a'lna,y"-axIn2a,y'"=axIn3a,=axIn4a,…，

由归纳法可得

特别地，当a=e时，（/『）=".

例18T^y=sinx9求》（〃）.

解y=sin%,

由归纳法可得

类似地，可得

例19设y=ln(l+x),求y(«)

，_1"_1_1,2(4)_1,2•3

翩7

解y=；­，y=一,—T，y=,—y=一(—

l+x(1+X)-(1+X)(1+X)

由归纳法可得

例20设丁=y（〃为任意常数），求产.

解y'=〃x"T‘=一I）%"‘y"=〃（//一1）（〃一2）x"-3,

由归纳法可得

特别地，当〃”时，可得

例21设丁=/+3f-4+05工，求炉")(〃>4).

5xn5x

解了=(%4+3/一4+e5x)(n)=(x4+3x2-4)<n)+(e厂=5e.

例22设y=e2",求产.

解设M=e2*,V=x2,则

由莱布尼兹公式，可得

2.5导数公式及基本求导法则

基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、反函数的

求导法则及复合函数的求导法则等在初等函数的求导运算中起

着重要的作用.为了便于查阅，现在把这些导数公式和求导法则

归纳如下:

2.5.1基本初等函数的导数公式

(1)(c/=0(C为常数)；(2)(x，j=〃x〃T；

(3)(a*)-axlna;(4)(e)=";

1

(5)(log。x)'=(6)(in^y=—;

xlntz

(7)(sinx)=cosx;(8)(cos%)=-sinx;

(9)(tanx)=sec2x;(10)(cotx)=-esc2x;

(11)(secx)=secxtanx;(12)(cscx)=-cscxcotx;

(13)(arcsinx)(14)(arccosx)1

41-x2

(15)(arctanx)，=占(16)(arccotx)、一占

2.5.2导数的四则运算法则

设函数〃=u(x)和v=v(%)都可导，则

(1)(M士v)二，±M;(2)(w-v)=u-v+u-v;

U'V-U'V/八、

(3)(。为常数);(4)-----2——000)；

V

2.5.3反函数的求导法则

如果函数工=/(y)在区间/),内单调、可导且八y)。0,那么它的

反函数、=一(%)在区间44内也可导，且

［尸向=看或务?

dy

2.5.4复合函数的求导法则

如果函数〃=g(x)在点x可导，函数y=于(u)在相应点M=g(x)可

导，那么复合函数y=〃g(x)］在点x可导，且其导数为

-Q)H(x)或牛小哼.

axduax

2.5.5高阶导数的运算法则

如果函数比=〃(%)和v=都在点x处具有n阶导数，那么

(1)(〃±05)=〃5)±口5).

其中

k_左+])_n\

n~k\一左!•(——♦)!•

特别地，(C"")=。"㈤(c为常数).

习题2-2

1.求下列函数的导数.

(1)y=3x2-4x+20;(2)y=%3+3-J-+10；

xx

(3)y=5V—2*+3/；(4)y=2tanx-secx;

(Z5nX)y=—1+—1=+—1=;(6)y=sinxcosx;

xy/x弋X

(7)y=ex^sinx+cosx);(8)y=x2Inxcosx;

(10)y—1+sinxa

1-sin%

2.求曲线y=2sinx+%2上横坐标为％=0的点处的切线方程和法

线方程.

3.求下列函数的导数.

(1)y=cos(5-2x);(2)y=tan(%2)；

(3)y=sinJl+%2;(4)y=lntan^;

(5)y=ln[ln(lnx)];(6)y=]n(cosx+tanx);

(7)2i；(8)y=sinnxcosnx;

(9)y=e~x(^x2—2x+3);(10)y=吟

(11)y=InVx+y/lnx;(12)y=exy/l-e2x+arcsinex.

4.设〃龙)为可导函数，求下列函数的导数

arcsin-^;

(1)y=f(^3)；(2)y=f

(3)y=/(，)+/');(4)y=x2f(]nx^.

5.求下列函数的二阶导数.

(1)y=lx1+cosx;(2)y=e2x~3;

(3)y=xsinx;(4)y=tanx;

(5)y=——；(6)y=cos2%ln%.

X2.+-1J

6.求下列函数所指定阶的导数.

(1)y=excosx,求y(");(2)y=sin2x,求y(").

第3节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

3.1隐函数的导数

以解析式尸/⑴的形式确定的函数称为显函数.例如

以二元方程E(x,y)=0的形式确定的函数称为隐函数.例如

把一个隐函数化成显函数，称为隐函数的显化.例如从方程

》+『_1=0解出产"T,就把隐函数化成了显函数.但隐函数的

显化有时候是困难的，甚至是不可能的.例如方程

sin(x+y)=3x-y+2所确定的隐函数就难以化成显函数.

但在很多情况下，需要计算隐函数的导数，因此，我们希望

找到一种方法，不论隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所

确定的隐函数的导数.

隐函数求导的基本思想是：把方程F(x,y)=0中的y看成自变

量x的函数y(x),结合复合函数求导法，在方程两端同时对x求

导数，然后整理变形解出y即可.y的结果中可同时含有x和丁.若

将y看成自变量，同理可求出

例1求由方程y=ln(x+y)所确定的隐函数的导数V.

解方程两端对x求导，得

从而

例2求由方程/+孙-e=0所确定的隐函数的导数V.

解方程两端对x求导，得

从而

22

例3求椭圆曲线与+q=1上点(1,3)处的切线方程和法线方

程.

解方程两端对x求导，得x+LyyJO,故<=一生.从而，切

2y

线斜率匕和法线斜率心分别为

所求切线方程为

即

法线方程为

即

例4求由方程x-y+Liny=O所确定的隐函数的二阶导数

2

d2y

dx2

解方程两端对X求导，得

从而

上式两端再对X求导，得

3.2对数求导法

对于以下两类函数：

(1)幕指函数，即形如y=a(x)"(，)(a(x)>0)的函数.

(2)函数表达式是由多个因式的积、商、塞构成的.

要求它们的导数，可以先对函数式两边取自然对数，利用对数的

运算性质对函数式进行化简，然后利用隐函数求导法求导，这种

方法称为对数求导法.

例5设y=(lnx)g(%>1),求了.

解函数两端取自然对数，得

两端分别对x求导，得

所以

例6设"x+1)，,求「

(x+4)产

解先在函数两端取绝对值后再取自然对数，得

两端分别对x求导，得

即

容易验证，例6中的解法，若省略取绝对值这一步所得的结

果是相同的，因此，在使用对数求导法时，常省略取绝对值的步

骤.

3.3由参数方程所确定的函数的导数

一般地，若参数方程

确定了y及x之间的函数关系，则称此函数为由参数方程所确定

的函数.

x=(p(t)

定理1设参数方程y=^Y其中⑺均可导，且函数

尤=0⑺严格单调，”(/)wO,则有

电

力

或

--石

一

力

证明因为函数x=0⑺严格单调，所以其存在反函数

f.又因为夕⑴可导且,故f也可导，且有

曰=2.对于复合函数y=〃(/)=〃［《切求导，可得

ax(p(")

如果x=°(f),y=〃(r)还是二阶可导的，那么由定理1可得到函

数的二阶导数公式：

即

例7设卜=e'c°s:求虫.

y=ersintdx

解因为

所以

C3

例8求星形线x=ac。？g>o)在/=£的相应点〃(%,%)处的

y=。sin14

切线方程和法线方程(图2-2).

图2-2

解由可得

4

星形线在点M处的切线斜率K和法线斜率卷分别为

从而，所求切线方程为

即

所求法线方程为

即

例9设厂“cos，求咤.

y=smtdx

解（方法一）因为

所以

r

（方法二）由于%：=l+sint,x：=cosyt=cost.y；=-sint,代入公式

可得

3.4由极坐标方程所确定的函数的导数

研究函数y及x的关系通常是在直角坐标系下进行的，但在某

些情况下，使用极坐标系则显得比直角坐标系更简单.

如图2-3所示，从平面上一固定点。，引一条带有长度单位

的射线3,这样在该平面内建立了极坐标系，称。为极点，Ox为

极轴.设尸为平面内一点，线段0P的长度称为极径，记为厂（厂之0）,

极轴a到线段OP的转角（逆时针）称为极角，记为e（owew2%）,

称有序数组（「,。）为点尸的极坐标.

图2-3

若一平面曲线。上所有点的极坐标（r,e）都满足方程厂=厂（夕），

且坐标『超满足方程厂=厂（。）的所有点都在平面曲线C上，则称

厂=厂（夕）为曲线C的极坐标方程.

将极轴及直角坐标系的正半轴Ox重合，极点及坐标原点。重

合，若设点M的直角坐标为（羽y）,极坐标为（厂招），则两者有如下

关系：

x=rcos^_ix7一

\八或＜v.

y=rsmOtan0=—

'、x

设曲线的极坐标方程为r=厂(。)，利用直角坐标及极坐标的关

系可得曲线的参数方程为

其中。为参数.由参数方程的求导公式，可得

例10求心形线r=l+sine在6=1处的切线方程(图2-4).

图2-4

解由极坐标的求导公式得

当”工时，

3

所以，所求切线方程为

即

习题2-3

1.求由下列方程所确定的隐函数的导数，.

ax

(1)y2-2xy+9=0;(2)x3+y3-2xy=0;

(3)xy=ex+y;(4)ycos%+sin(x—y)=0;

(5)x2-I-y2=exy;(6)arctan—=In^x2+y2.

x

2.求曲线孙+lny=l在点(1,1)处的切线方程和法线方程.

3.求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数宗.

(1)y=l+xey;(2)y=tan(x+y).

4.利用对数求导法求下列函数的导数.

(1)y=XX；(2)y=(l+九2『nx；

3x

X

(4)y=

1-x

(5)3x-2

(5-2x)(x-l)

5.求下列参数方程所确定的函数的指定阶的导数.

(1)卜求包；⑵卜='(jiM,求”

y=bt3dx[y=tcostdx

(3)已叫求嗯；(4)尸’，求咤.

y=bsintdx[y=2-dx

6.求四叶玫瑰线r=acos26(a为常数)在"工对应点处的切

4

线方程.

第4节函数的微分

4.1微分的概念

在许多实际问题中，要求研究当自变量发生微小改变时所引

起的相应的函数值的改变.

例如，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由X。变

到x0+Ax(图2-5),问此薄片的面积改变了多少？当M很微小时,

正方形的面积改变的近似值是多少？

图2-5

设此正方形的边长为x,面积为A,则A及x存在函数关系

A=x2.当边长由x。变到x0+―,正方形金属薄片的面积改变量为

从上式可以看出，AA分为两部分，第一部分2x°Ax是4的线性

函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，第二部分(Ax)?是图

中右上角的小正方形的面积，当Ax->0时，第二部分(Ax)?是比以

[Wj阶的无穷小量，即(Ax)?=o(Ax).因此，当国|很微小时，我们

用2/Ax近似地表小AA,即AAMZ/AX.故2/Ax是正方形的面积改

变的近似值.

定义1设函数y=/(x)在某区间内有定义，/及毛+机在此区

间内，如果函数的增量

可表示为

其中A是不依赖于4的常数，那么称函数y=/(x)在点/是可微

的，而AAx叫做函数y=/(x)在点/相应于自变量增量4的微分，

记为

dy\x=x=AAx或4(％)=AAx.

4.2微分及导数的关系

定理1函数y=/(x)在点与可微的充要条件是函数y=/(x)在

点/可导，且当y=/(x)在点X。可微时，其微分一定是

证明(必要性)设函数y=/(x)在点与可微，即Ay=AA%+o(Ax),

其中A是不依赖于微的常数.上式两边用心除之，得

当—0时，对上式两边取极限就得到

即A=/〈Xo).因此，若函数y=/(x)在点/可微,则y=/(x)在点与

一定可导，且力鼠=1f(%o)Ax.

(充分性)函数y=/(x)在点/可导，即

存在，根据极限及无穷小的关系，上式可写成

其中a—>0(当Ax.0时)，从而

其中是及Ar无关的常数，o(Ax)比Ax是［Wj阶无穷小，所以

y=/(%)在点/也是可微的.

根据微分的定义和定理1可得以下结论：

(1)函数y=/(x)在点/处的微分就是当自变量x产生增量©

时，函数y的增量Ay的主要部分(此时4=/(不片0).由于办=心

是极的线性函数，故称微分力是Ay的线性主部.当阳很微小时,

o(Ax)更加微小，从而有近似等式Ay土dy.

(2)函数产/(%)的可导性及可微性是等价的，故求导法又

称微分法.但导数及微分是两个不同的概念，导数〃%)是函数

在/处的变化率,其值只及X有关；而微分〃止=»是函数/(%)在

X。处增量型的线性主部，其值既及X有关，也及想有关.

定义2函数y=/(x)在任意点x处的微分，称为函数的微分，

记作功或/(%),即办=4(%)=/，(%)Ax.

通常把自变量X的增量-称为自变量的微分，记作办，即

dx=^x.因此，函数y=/(x)的微分可以写成

4fy=或力'(x)=r(x)<ix.

从而有

%r(x)或*=〃》)•

因此，函数y=/(尤)的微分力及自变量的微分办之商等于该

函数的导数.所以，导数又称微商.

例1设函数y=d,(1)求dy;(2)若x=2,Ax=0.1,求力和Ay.

解(1)由微分的定义可得

(2)将x=2,t&=Ax=0.1代入(1)的结果，可得

4.3微分的几何意义

在平面直角坐标系中，函数y=/(x)的图形是一条曲线，对于

曲线上某一确定的点当自变量x有微小增量4时，就

得到曲线上另一点N(x0+Ax,yO+Ay)(图2-6).过点”作曲线的切

线MT,它的倾斜角为a,则有

图2-6

由此可见，对于可微函数y=/(x),当Ay是曲线y=/(x)上的

点”(%°,为)的纵坐标的增量时，微分力就是曲线y=/(x)在点

”(40.为)的切线,的纵坐标的相应增量•当阳很小时，国-力|比

|可小得多，因此在点M的邻近，可以用力近似代替Ay,进而可

以用切线段来近似代替曲线段.

4.4微分公式及微分运算法则

由函数的微分表达式办=(⑴公可得，只要先计算出函数的

导数/(%),再乘以自变量的微分就可以计算出函数的微分.因此

可得如下的微分公式和微分运算法则.

4.4.1基本初等函数的微分公式

(1)dC=O(C为常数)；(2)d(尤”)=〃x"T公；

(3)d[ax^-ax\nadx;(4)d[ex^=exdx;

⑸d(log”x)=---dx;(6)d(lnx^=—dx;

x]naX

(7)d(sinx)=cosMr;(8)d(cosx)=-sinxdx;

(9)67(tanx)=sec2xdx;(10)d(cotx)=-esc2xdx;

secx)=secxtanxo¥;(12)J(CSCX)=-CSCXCOtAZ/v;

(13)J(arcsinx)=二=dx;(14)d(arccosx)=——.dx;

(15)二公:(16)J(arccotx)=1公.

、'l+xz'71+x2

4.4.2微分的运算法则

设函数比="(%)和V=v(x)都可导，则

(1)d^u±v)=du±dv;(2)d(u-v^=vdu+;

(3)d(C-u)=C-du(C为常数)；(4)衅"”办(V^O).

4.4.3复合函数的微分法则

设丁=/("),"=8(%)均可导，则复合函数y=/［g(x)］的微分为

由此可见，无论"是自变量还是中间变量，微分形式保持

办=/(〃)或不变.这一性质称为微分形式不变性.

例2设y=(x?-2,，求dy.

解(方法一)令卜］，"=/_2,则利用微分形式不变性，

可得

(方法二)若不引入中间变量，则

4.4.4隐函数的微分

例3求由方程3犬一孙+V4所确定的隐函数产/⑴的微分.

解对方程两边分别求微分，有

即

从而，可得

4.5微分在近似计算中的应用

根据前面的讨论可知，如果函数y=/(x)在点X。处的导数

,

/(xo)^O,且|Ax|很小时,那么有

Ay-dy=f(x0)Ax,(2-4T)

公式(2-4T)可以改写为

=)-/(%0卜/'(%)©，(2-4-2)

或

/(%0+^)«/(%0)+/(%0)^.(2-4-3)

在(2-4-3)式中令x=x()+Ax,即Ax=x-Xo，则可得

/(%卜/(/)+/'(/)(*-/)•(2-4-4)

如果4%°)和八％)都容易计算，则可以利用(2-4T)式来近

似计算利用(2-4-3)式来近似计算/(%+©),以及利用

(2-4-4)式来近似计算〃x).

若在(2-4-4)式中令/=0,则有

/(x)«/(O)+/(O)x.(2-4-5)

从而，当同=4|很小时，可用(2-4-5)式推得以下几个常

用的近似公式

(1)sin%«x;(2)tan%«x;

(3)arcsinx~x;(4)ex»l+x;

(5)ln(l+x)x;(6)V1+-X«1+—%.

n

例4一个内直径为10cm的球壳体，球壳的厚度为°