初中数学几何辅助线秘籍2

第二章角平分线模型的构造

你会不会熟练应用角平分线四大基本模型解题？

一、考情分析

三角形内外角平分线的概念是处理与角相关问题的基本依据和方法，在中考题中经常利

用角平分线的性质去证明线段、角相等或三角形全等.随着课改的深入，中考的题型也发生

了变化.利用角平分线的对称性把图形翻折，再进行推理计算；以及与角平分线有关的探究

题、综合题成为近几年中考的热点题型.

二、名师讲堂

知识点睛

角平分线

(1)定义：如图所示，如果/AOB=NBOC,那么/AOC=2/AOB=2NBOC,像OB这

样，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的角平分线.

(2)角平分线的性质定理

①如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角.

②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

(3)角平分线的判定定理

①在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条

射线是这个角的平分线.

②在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上.

技巧提炼

与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型.

已知P是NMON平分线上一点，

(1)若PALOM于点A,如图(a)所示，可以过P点作PBLON于点B,则PB=PA.可

记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”.

(2)若点A是射线OM上任意一点，如图(b)所示，可以在ON上截取OB=OA,连接

PB,构造aoPB丝aoPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”.

(3)若APLOP于点P,如图(c)所示，可以延长AP交ON于点B,构造AAOB是等腰

三角形，P是底边AB的中点.可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”.

(4)若过P点作PQ〃ON交0M于点Q,如图(d)所示，可以构造APOQ是等腰三角形,

可记为“角平分线十平行线，等腰三角形必呈现”.

例题精讲

例1

[]

如图(a)所示，在4ABC中，ZC=90°,AD平分NCAB,

BC=6cm,BD=4cm,那么点D到直线AB的距离是

________cm.

⑵如图(b)所示，已知：N1=N2,Z3=Z4,

求证：AP平分NBAC.

A

(a)⑸

【思路点拨】（1）过点D作AB的垂线

（2）过点P分别作直线AB,BC,AC的垂线，利用角平分线的性质得证.

例2

[11000022]如图（a）所示，在RtAABC中，ZACB=90°,CDXAB,垂足为D.AF

平分/CAB,交CD于点E,交CB于点F.

（1）求证：CE=CF.

（2）将图（a）中的4ADE沿AB向右平移到4A'D'E'的位置，使点E'落在BC边上，

其他条件不变，如图（b）所示.试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论.

等腰三角形.

第（2）问遇到角平分线通常考虑过角平分线上的点向角的两边作垂线，所以过点E作AC

的垂线，构造全等三角形解题，也可以过点F作AB的垂线.

例3

[]阅读下列学习材料:

如图（a）所示，OP平分NMON,A为OM上一点，C为OP上一点.连接AC,在射线

ON上截取OB=OA,连接BC（如图（b）所示），易证△AOCg/XBOC.

请根据上面的学习材料•，解答下列各题：

（1）如图（c）所示，在aABC中，AD是ABAC的外角平分线，P是AD上异于点A的

任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.

（2）如图（d）所示，AD是AABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC—PB与AC

-AB的大小，并说明理由.

【思路点拨】根据材料提供的信息，第（1）问，在BA的延长线上截取AE=AC,连接PE,

构造全等三角形，利用三角形的三边关系得证.

第（2）问，在AC上截取AE=AB,连接PE,构造全等三角形，利用三角形的三边关系得

证.

例4

【11000023】如图所示，己知等腰直角三角形ABC中，NA=90°,AB=AC,BD平分/

ABC,CE±BD,垂足为点E,求证：BD=2CE.

A

E

BC

【思路点拨】本题的主要条件是“角平分线十垂线”，所以考虑利用模型（3）构造等腰三角

形，即延长CE,BA相交于点F,构造全等三角形，此题还有更多证明方法，读者可自行探

究.

例5

[11000024]（1）如图（a）所示，BD、CE分别是AABC的外角平分线，过点A作ADL

BD、AE_LCE,垂足分别为D、E,连接DE.求证：DE〃BC,DE=-（AB+BC+AC）；

2

（2）如图（b）所示，BD、CE分别是aABC的内角平分线，其他条件不变；

（3）如图（c）所示，BD为aABC的内角平分线，CE为AABC的外角平分线，其他条件

不变.

则在图（b）、图（c）两种情况下，DE与BC还平行吗？它与aABC三边又有怎样的数量

关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明.

【思路点拨】本题的主要条件是“角平分线+垂线”，所以考虑利用模型（3）构造等腰三角

形，第（1）问，延长AD,AE交直线BC于G,F两点，构造全等三角形和等腰三角形，

再利用三角形中位线的性质得证.

第（2）（3）间的解法与（1）相同.

变式

[110000251

如图所示，在aABC中，AB=3AC,NBAC的平分线交BC于点D,

过点B作BEJ_AD,垂足为E,求证：AD=DE.

【思路点拨】延长BE,AC相交于点F,构造全等三角形，取CF的中点M,连接EM,利

用三角形的中位线得证.

例6

[11000026]

如图(a)所示，AB=AC,BD,CD分别平分NABC,NACB.问：

(1)图(a)中有几个等腰三角形？

(2)过D点作EF〃BC,如图(b)所示，交AB于点E,交AC于点F,

图中又增加了几个等腰三角形？

(3)如图(c)所示，若将题中的AABC改为不等边三角形，

其他条件不变，图中有几个等腰三角形？直接写出线段

EF与BE、CF有什么关系？

(4)如图(d)所示，BD平分NABC,CD平分外角NACG.

DE〃BC交AB于点E,交AC于点F.线段EF与BF、CF

有什么关系？并说明理由.

(5)如图(e)所示，BD、CD为外角NCBM、NBCN的平分线，

DE〃BC交AB延长线于点E,交AC延长线于点F,直接写

出线段EF与BE、CF有什么关系？

【思路点拨】“角平分线+平行线”，所以考虑利用模型（4）得出等腰三角形，合理的利用

△BDE和4CDF是等腰三角形进行线段的转化.

例7

【11000027］如图所示，已知在aABC中，AC=BC,ZC=90°,AD平分NCAB,求证:

AB=AC+CD.

【思路点拨】AD是角平分线，DC_LAC,所以可以考虑过点D作AB的垂线，或者在射线

AC上截取AE=AB,连接DE,构造全等三角形.

变式1

【11000028］如图所示，已知AABC中，AB=AC,NA=108°,BD平分/ABC.求证:

BC=AB+CD.

【思路点拨】在BC上截取BE=BA,连接DE,构造全等三角形，或者在射线BA上截取

BE=BC,连接DE,构造全等三角形.

变式2

［11000029］如图所示，已知aABC中，AB=AC,ZA=100°,BD平分NABC,求证:

BC=BD+AD.

例8

[11000030)

如图(a)所示，0P是NM0N的平分线，请你利用该图形画一对

以0P所在直线为对称轴的全等三角形.

请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题：

(1)如图(b)所示，在AABC中，NACB是直角，ZB=60°,

AD、CE分别是NBAC、NBCA的平分线，AD、CE相交于点F.

请你判断写出FE与FD之间的数量关系；

(2)如图(c)所示，在aABC中，如果NACB不是直角，而(1)

中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否依然

成立？若成立请证明；若不成立，请说明理由.

【思路点拨】在AC上截取AG=AE,连接FG,证明4AEF^4AGF,Z\CDF0Z\CGF即

可或者过点F作AB,AC,BC的垂线，再证明三角形全等.

三、牛刀小试

小试1

[110000311

(1)如图(a)所示，在AABC中，/ABC与/ACB的角平分线

相交于点F,过点F作DE//BC,交AB于点D,交AC于点

E,若BD+CE=9,则线段DE之长为.

(2)如图(b)所示，在AABC中，BD、CD分别平分/ABC和

ZACB,DE//AB,FD//AC.如果BC=6,求ADEF的周长.

小试2

[11000032]已知：如图所示，NBAD=/CAD,AB>AC,CD1.AD于点D,H是BC的

中点.

求证：DH=工（AB一AC）.

2

A

小试3

[11000033]

已知：如图所示，四边形ABCD中，ZB+ZD=180°,BC=CD.

求证：AC平分NBAD.

小试4

[11000034]如图所示，^ABC的外角/ACD的平分线CP与内角NABC的平分线BP交

于点P,连接AP、CP,若NBPC=40°,求NCAP的度数.

A

BD

小试5

[110000351已知：如图所示，在四边形中，BOAB,AD=CD,BD平分NABC.求证:

ZA+ZC=180°.

小试6

[11000036]如图（a）所示，BP平分NMBN,点D在BP上，NADC的两边分别交射线

BM、BN于A、C两点，且NADC+NMBN=180°.

（1）猜想AD与DC之间的数量关系，直接写出你的结论.

（2）图（b）是/ADC绕着点D旋转一定角度得到的，（1）中的结论是否成立？若成立，

请证明；若不成立，说明理由.

M

小试7

[11000037]（1）如图（a）所示，在RtZXABC中，ZC=90°,ZB=45°,AD^AABC

的角平分线，则AC,CD,AB三条线段之间的数量关系为.

（2）如图（b）所示，若将（1）中条件“在RtAABC中，ZC=90°,ZB=45°改为

“在AABC