专题04一元二次方程的解法(因式分解法)(2个知识点4种题型2个易错考点中考2种考法)(原卷版+解析)

专题04一元二次方程的解法（因式分解法）（2个知识点4种题型2个易错考点中考2种考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：因式分解法（重难点）知识点2：灵活运用合适的方法解一元二次方程（难点）【方法二】实例探索法题型1：利用因式分解法解一元二次方程（1）利用提公因式法（2）利用平方差公式（3）利用完全平方公式（4）十字相乘法因式分解题型2：选择合适的方法解一元二次方程题型3：一题多解——解一元二次方程题型4：由两方程的公共根求方程中字母的值【方法三】差异对比法易错点1：在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致丢根。易错点2：用因式分解法解一元二次方程时，忽略整体取值范围导致出错【方法四】仿真实战法考法1：用因式分解法解一元二次方程考法2：解一元二次方程与三角形综合【方法五】成果评定法【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：因式分解法（重难点）（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次式的积；

③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：

（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.知识点2：灵活运用合适的方法解一元二次方程（难点）例1.用适当的方法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．【方法二】实例探索法题型1：利用因式分解法解一元二次方程利用提公因式法例2.方程：的较小的根是（ ）A． B． C． D．例3.解关于的方程（因式分解方法）：（1）；（2）．（2）利用平方差公式例4.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．例5.解关于的一元二次方程：．（3）利用完全平方公式例6.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；十字相乘法因式分解例7.用合适的方法解下列关于的方程：（1）；（2）；题型2：选择合适的方法解一元二次方程例8.解关于的方程（合适的方法）：（1）；（2）．例9.解关于的方程（合适的方法）：（1）；（2）．题型3：一题多解——解一元二次方程例10.(2023秋•昆都仑区期末）解方程：x2+2x＝3．（用两种方法解方程）题型4：由两方程的公共根求方程中字母的值例11.方程的解相同，求的值．例12.已知方程有共同的根是，求a的值．【方法三】差异对比法易错点1：在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致丢根。例13.解关于的方程：（1）；（2）（3）． 易错点2：用因式分解法解一元二次方程时，忽略整体取值范围导致出错例14.如果，请你求出的值．【方法四】仿真实战法考法1：用因式分解法解一元二次方程1．(2023•临沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（）A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝﹣4 C．x1＝﹣6，x2＝4 D．x1＝﹣6，x2＝﹣42．(2023•包头）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则x1•x22的值为（）A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或63．(2023•天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（）A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣34．(2023•梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是．5．(2023•云南）方程2x2+1＝3x的解为．6．(2023•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．7．(2023•贵阳）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．用“＜”或“＞”填空：ab，ab0；（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法；它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．①x2+2x﹣1＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣4x＝4；④x2﹣4＝0．考法2：解一元二次方程与三角形综合8．(2023•雅安）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（）A．6 B．12 C．12或 D．6或9．(2023•黔西南州）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则该三角形的周长为．10．(2023•广安）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023秋·江苏·九年级统考期末）一元二次方程的根为（

）A．或 B．或 C．或 D．2．(2023·江苏·九年级假期作业）已知，则的值为（）A．0 B．4 C．4或 D．3．(2023秋·江苏盐城·九年级校考期中）解方程）最适当的方法是（）A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法4．（2023春·江苏苏州·九年级统考阶段练习）方程的解是（

）A． B．C． D．5．（2011秋·江苏·九年级统考期中）已知，，且，则的值为（）A．4 B． C．或1 D．或4二、填空题6．(2023秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如果满足一元二次方程，则代数式的值是______．7．(2023秋·江苏·九年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）已知关于x的方程（a、m、p为常数，）的解是，，那么方程的解为____．8．(2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是______．9．(2023秋·江苏扬州·九年级统考期中）若关于的一元二次方程的常数项为，则______．10．(2023秋·江苏南京·九年级校考期中）已知一元二次方程的两个根分别是的两边长，则第3条边长___________．11．(2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）已知等腰三角形两边长分别是方程两根，求此等腰三角形的周长_____．12．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）三角形两边的长为3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长是______．三、解答题13．(2023秋·江苏盐城·九年级滨海县第一初级中学校联考阶段练习）解方程．(1)；(2)．14．(2023秋·江苏镇江·九年级统考期中）解下列方程(1)(2)(3)15．(2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）解方程：(1)(2)16．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）用适当的方法解一元二次方程：(1)；(2)．17．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）定义一种新的运算方式：（其中且n是整数），例如，．(1)若，求n的值；(2)记，当时，求n的取值范围．18．(2023秋·九年级课时练习）转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程x4－3x2－4＝0时，我们就可以通过换元法，设x2＝y，将原方程转化为y2－3y－4＝0，解方程得到y1＝－1，y2＝4，因为x2＝y≥0，所以y＝－1舍去，所以得到x2＝4，所以x1＝2，x2＝－2．请参考例题解法，解方程：．19．(2023秋·江苏淮安·九年级统考期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，；当时，，；原方程有四个根：，，，．仿照上面方法，解方程：．20．(2023秋·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：(1)将关于x的一元二次方程+bx+c＝0变形为＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______．(2)解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设＝y，那么，于是原方程可变为（1），解得＝1，＝4．当y＝1时，＝1，∴x＝±1；当y＝4时，＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根．请你用（2）中的方法求出方程的实数解．21．(2023秋·江苏宿迁·九年级统考期中）阅读下面的材料，解决问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，∴；当时，，∴；∴原方程有四个根：，，，．请参照例题，解方程．22．(2023秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．【例题呈现】关于x的方程的解是，（均为常数，），则方程的解是．【解法探讨】（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题：（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“”看做第一个方程中的“x”，则“”的值为，从而更简单地解决了问题．【策略应用】（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，就能轻松解决以下问题，请用他们说的方法解决如下问题：已知，求出的值．23．(2023秋·江苏淮安·九年级统考期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，∴；当时，，∴；∴原方程有四个根：，，，．仿照上述换元法解下列方程：．24．(2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，；上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：（1）；（2）．25．(2023秋·江苏常州·九年级常州市北郊高级中学校考期中）我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想我们还可以解一些新的方程例如一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，通过解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝，x3＝．（2）用“转化”的思想求方程＝x的解．（3）试直接写出的解．26．(2023秋·江苏·九年级期中）【阅读材料】求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．【直接应用】方程的解是，________，________．【类比迁移】解方程：．【问题解决】如图，在矩形中，，，点在上，若，求的长．27．(2023秋·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校考期中）假如我们规定符号表示两个数中较小的一个，表示两个数中较大的一个，例如：，，，．(1)已知，求的值．(2)已知代数式值为1，试说明当是常数时，是否存在实数使得代数式与代数式的值相等，如存在，求出的值（用含的式子表示），如不存在请说明理由．(3)，且平面直角坐标系内的点，满足（为常数），求的取值范围．专题04一元二次方程的解法（因式分解法）（2个知识点4种题型2个易错考点中考2种考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：因式分解法（重难点）知识点2：灵活运用合适的方法解一元二次方程（难点）【方法二】实例探索法题型1：利用因式分解法解一元二次方程（1）利用提公因式法（2）利用平方差公式（3）利用完全平方公式（4）十字相乘法因式分解题型2：选择合适的方法解一元二次方程题型3：一题多解——解一元二次方程题型4：由两方程的公共根求方程中字母的值【方法三】差异对比法易错点1：在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致丢根。易错点2：用因式分解法解一元二次方程时，忽略整体取值范围导致出错【方法四】仿真实战法考法1：用因式分解法解一元二次方程考法2：解一元二次方程与三角形综合【方法五】成果评定法【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：因式分解法（重难点）（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次式的积；

③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：

（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.知识点2：灵活运用合适的方法解一元二次方程（难点）例1.用适当的方法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．答案:（1）；（2）；（3）；（4）．解析：（1）（2），②，，解得：；解得：；（3）整理得：（4）∵原方程是一元二次方程，，，，解得：；，解得：．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择．【方法二】实例探索法题型1：利用因式分解法解一元二次方程利用提公因式法例2.方程：的较小的根是（ ）A． B． C． D．答案:A解析：提公因式，得：，整理得：，∴，∵，故选择D．【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．例3.解关于的方程（因式分解方法）：（1）；（2）．答案:（1）；（2）．解析：（1）（2）①②∴；②∴．【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．（2）利用平方差公式例4.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．【答案与解析】(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴2x-2＝0或2x+8＝0，∴x1＝1，x2＝-4．例5.解关于的一元二次方程：．答案:．解析：移项，得：，，，，，解得：．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，当系数比较大时，要注意寻找规律进行变型求解．（3）利用完全平方公式例6.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；【答案与解析】(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即，∴．十字相乘法因式分解例7.用合适的方法解下列关于的方程：（1）；（2）；答案:（1）；（2）；解析：（1），，解得：；（2），解得：；【总结】本题考查了一元二次方程的解法．题型2：选择合适的方法解一元二次方程例8.解关于的方程（合适的方法）：（1）；（2）．答案:（1）；（2）．解析：（1）因式分解法（2）直接开方法①②∴；∴．【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，注意重根的写法！例9.解关于的方程（合适的方法）：（1）；（2）．答案:（1）；（2）．解析：（1）因式分解法（2）把看作一个整体，因式分解①②∴；②∴．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意整体意识的建立．题型3：一题多解——解一元二次方程例10.(2023秋•昆都仑区期末）解方程：x2+2x＝3．（用两种方法解方程）分析：利用因式分解法和配方法求解即可．【解答】解：解法一：x2+2x＝3，x2+2x﹣3＝0，（x+3）（x﹣1）＝0，x+3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1；解法二：x2+2x＝3，x2+2x+1＝3+1，（x+1）2＝4，x+1＝±2，x+1＝2或x+1＝﹣2，解得x1＝﹣3，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和配方法是解答本题的关键．题型4：由两方程的公共根求方程中字母的值例11.方程的解相同，求的值．答案:12．解析：由已知得两个方程是同一个方程，将左右两边同时乘以3，得：，∴．【总结】本题考查了方程的解的概念．例12.已知方程有共同的根是，求a的值．答案:．解析：将代入，得：，×2+②，得：，解得：．【总结】本题考查了方程的解的概念．【方法三】差异对比法易错点1：在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致丢根。例13.解关于的方程：（1）；（2）（3）． 答案:（1），；（2）当时，，；当时，；当，原方程有无数解；（3）当时，，；当时，；当时，．解析：（1），，∴，；①当即时，原方程是一元二次方程∴，；②当且时，即时，原方程是一元一次方程；③当，等式恒成立，原方程有无数解；综上：当时，，；当时，；当，原方程有无数解；（3）整理得：①当即时，原方程是一元二次方程∴，；②当时，原方程为：，解得：；③当时，原方程为：，解得：；综上：当时，，；当时，；当时，；【总结】本题考查了含参数一元二次方程的解法，一定要分类讨论！是一元二次方程时，一般利用因式分解法．易错点2：用因式分解法解一元二次方程时，忽略整体取值范围导致出错例14.如果，请你求出的值．【答案与解析】设，∴z(z-2)＝3．整理得：，∴(z-3)(z+1)＝0．∴z1＝3，z2＝-1．∵，∴z＝-1(不合题意，舍去)∴z＝3．即的值为3．【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。这里巧设再求z值，从而求出的值实际就是换元思想的运用．易错提示:忽视，而得或．【方法四】仿真实战法考法1：用因式分解法解一元二次方程1．(2023•临沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（）A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝﹣4 C．x1＝﹣6，x2＝4 D．x1＝﹣6，x2＝﹣4分析：利用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：x2﹣2x﹣24＝0，（x﹣6）（x+4）＝0，x﹣6＝0或x+4＝0，解得x1＝6，x2＝﹣4，故选：B．【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，掌握十字相乘法因式分解是解答本题的关键．2．(2023•包头）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则x1•x22的值为（）A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或6分析：先用因式分解法解出方程，然后分情况讨论，然后计算．【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，x＝3或x＝﹣1，①x1＝3，x2＝﹣1时，＝3，②x1＝﹣1，x2＝3时，＝﹣9，故选：A．【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，掌握因式分解法解出方程的步骤，分情况讨论是解题关键．3．(2023•天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（）A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3分析：根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：x2+4x+3＝0，（x+3）（x+1）＝0，x+3＝0或x+1＝0，x1＝﹣3，x2＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．4．(2023•梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是x1＝2，x2＝﹣7．分析：利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：（x﹣2）（x+7）＝0，x﹣2＝0或x+7＝0，x1＝2，x2＝﹣7，故答案为：x1＝2，x2＝﹣7．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．5．(2023•云南）方程2x2+1＝3x的解为x1＝1，x2＝．分析：方程利用因式分解法求出解即可．【解答】解：2x2+1＝3x，2x2﹣3x+1＝0，（x﹣1）（2x﹣1）＝0，解得：x1＝1，x2＝．故答案为：x1＝1，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：掌握十字相乘法解方程是本题的关键．6．(2023•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．分析：通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0x﹣3＝0或x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1．【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数．7．(2023•贵阳）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．用“＜”或“＞”填空：a＜b，ab＜0；（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法；它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．①x2+2x﹣1＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣4x＝4；④x2﹣4＝0．分析：（1）先根据数轴确定a、b的正负，再利用乘法法则确定ab；（2）根据方程的系数特点，选择配方法、公式法或因式分解法．【解答】解：（1）由数轴上点的坐标知：a＜0＜b，∴a＜b，ab＜0．故答案为：＜，＜．（2）①利用公式法：x2+2x﹣1＝0，Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝4+4＝8，∴x＝＝＝＝﹣1±．∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；②利用因式分解法：x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0．∴x1＝0，x2＝3；③利用配方法：x2﹣4x＝4，两边都加上4，得x2﹣4x+4＝8，∴（x﹣2）2＝8．∴x﹣2＝±2．∴x1＝2+2，x2＝2﹣2；④利用因式分解法：x2﹣4＝0，∴（x+2）（x﹣2）＝0．∴x1＝﹣2，x2＝2．【点评】本题考查了数轴、一元二次方程的解法，掌握数轴的意义、一元二次方程的解法是解决本题的关键．考法2：解一元二次方程与三角形综合8．(2023•雅安）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（）A．6 B．12 C．12或 D．6或分析：先解出方程x2﹣7x+12＝0的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解．【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，∴x＝3或x＝4．①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是×3×4＝6；②当长是4的边是斜边时，第三边是＝，该直角三角形的面积是×3×＝．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，三角形的面积，正确求解方程的两根，能够分两种情况进行讨论是解题的关键．9．(2023•黔西南州）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则该三角形的周长为12．分析：先求出方程的解，再根据三角形的三边关系判断能否组成三角形，最后求出三角形的周长即可．【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0得：x＝3或5，当第三边为3时，2+3＝5，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，舍去；当第三边为5时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是2+5+5＝12，故答案为：12．【点评】本题考查了解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出方程的解是解此题的关键．10．(2023•广安）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为12．分析：先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，然后利用三角形三边的关系得到三角形第三边的长为4，从而得到计算三角形的周长．【解答】解：x2﹣6x+8＝0，（x﹣2）（x﹣4）＝0，x﹣2＝0或x﹣4＝0，所以x1＝2，x2＝4，若三角形第三边长为2，而2+3＝5，不符合三角形三边的关系舍去；若三角形第三边长为3，而4+3＞5，符合三角形三边的关系舍去；所以三角形第三边的长为4，所以三角形的周长为3+4+5＝12．故答案为12．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023秋·江苏·九年级统考期末）一元二次方程的根为（

）A．或 B．或 C．或 D．答案:B分析：根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】解：∴或，解得：或，故选：B．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．2．(2023·江苏·九年级假期作业）已知，则的值为（）A．0 B．4 C．4或 D．答案:B分析：令，原式化为，解关于的一元二次方程，即可求解．【详解】令，，原式化为，即∴解得：或（舍去）故选：B．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．3．(2023秋·江苏盐城·九年级校考期中）解方程）最适当的方法是（）A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法答案:D分析：方程的两边都有因式，分析可知分解因式法最为合适．【详解】解：可化为：故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程——直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程时选择适当的方法是解题的关键．4．（2023春·江苏苏州·九年级统考阶段练习）方程的解是（

）A． B．C． D．答案:A分析：方程运用因式分解法求出方程的解即可．【详解】解：∴∴．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．5．（2011秋·江苏·九年级统考期中）已知，，且，则的值为（）A．4 B． C．或1 D．或4答案:A分析：将与的值代入，以为整体，求出它的值即可．【详解】解：，，，，，解得或4，，．故选：A．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键注意．二、填空题6．(2023秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如果满足一元二次方程，则代数式的值是______．答案:或分析：解一元二次方程，求出根，代入计算即可．【详解】解：一元二次方程的解为，，∴或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，代入求值，掌握解一元二次方程，代入求值，有理数运算法则是解题的关键．7．(2023秋·江苏·九年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）已知关于x的方程（a、m、p为常数，）的解是，，那么方程的解为____．答案:，/，分析：理解方程解的含义，在中解是x，则在中解是，进行换元计算即可．【详解】解：关于x的方程（a、m、p为常数，）的解是，，方程变形为，即此方程中的或，解得，，故答案为：，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握如何换元是解题的关键．8．(2023秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是______．答案:分析：将代入，解得，即得出原一元二次方程为，再根据因式分解法解方程即得出方程的另一个根．【详解】将代入，得：，解得：，∴原一元二次方程为，，解得：，∴方程的另一个根是．故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键．9．(2023秋·江苏扬州·九年级统考期中）若关于的一元二次方程的常数项为，则______．答案:分析：直接利用常数项为0，得出关于m的方程，解方程求出m的值，再根据一元二次方程的定义进而得出答案．【详解】解：∵常数项为0，∴，解得：或2，又∵，即，∴．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，解一元二次方程以及一元二次方程的定义，正确解方程是解题关键．10．(2023秋·江苏南京·九年级校考期中）已知一元二次方程的两个根分别是的两边长，则第3条边长___________．答案:或4/4或分析：先解方程求出一元二次方程的两个根是3和5，再分两种情况：当3和5都是直角边时；当5是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．【详解】解∶，解得，当3和5都是直角边时，第三边长为∶；当5是斜边长时，第三边长为：．故答案为∶或4．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，勾股定理，解决本题的关键是当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．11．(2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）已知等腰三角形两边长分别是方程两根，求此等腰三角形的周长_____．答案:11或13/13或11分析：先利用因式分解法解得到，，然后分类讨论：当腰为3，底边为5或当腰为5，底边为3，再分别计算三角形的周长．【详解】解：，，所以，，当腰为3，底边为5时，三角形的周长；当腰为5，底边为3时，三角形的周长．故答案为：11或13．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了等腰三角形的定义和三角形三边的关系．12．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）三角形两边的长为3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长是______．答案:9分析：求出方程的解，根据三角形的三边关系看是否能组成三角形，再求出三角形的周长即可．【详解】解：，∴，∴，∴，根据三角形的三边关系定理，能组成三角形，不能组成三角形，当第三边的长是2时，周长，故答案为：9．【点睛】本题主要考查对三角形的三边关系定理，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能求出第三边的长是解此题的关键．三、解答题13．(2023秋·江苏盐城·九年级滨海县第一初级中学校联考阶段练习）解方程．(1)；(2)．答案:(1)(2)分析：（1）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程即可求解；（2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：，，解得：；（2）解：解得：，即，解得：．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．14．(2023秋·江苏镇江·九年级统考期中）解下列方程(1)(2)(3)答案:(1)，(2)，(3)，分析：（1）利用因式分解法解方程；（2）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；（3）利用因式分解法解方程．【详解】（1）解：，，，，或，∴，；（2），，，，∴，；（3），，或，∴，．【点睛】本题考查解一元二次方程—因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．掌握一元二次方程的解法是解题的关键．15．(2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）解方程：(1)(2)答案:(1)，(2)，分析：（1）因式分解法解一元二次方程即可；（2）因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，；（2）解：∵，∴，即：，∴，．【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，是解题的关键．16．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）用适当的方法解一元二次方程：(1)；(2)．答案:(1)(2)分析：（1）利用配方法解方程即可；（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴，解得；（2）解：∵，∴，∴，∴或，解得．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．17．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）定义一种新的运算方式：（其中且n是整数），例如，．(1)若，求n的值；(2)记，当时，求n的取值范围．答案:(1)10(2)且n是整数分析：根据新定义可得，解出，即可；（2）根据新定义可得，解出，即可．【详解】（1）解：根据题意得：，即，解得：或，∵且n是整数，∴；（2）根据题意得：，∵，∴，即，∴，解得：或，∵且n是整数，∴且n是整数．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解新定义是解题的关键．18．(2023秋·九年级课时练习）转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程x4－3x2－4＝0时，我们就可以通过换元法，设x2＝y，将原方程转化为y2－3y－4＝0，解方程得到y1＝－1，y2＝4，因为x2＝y≥0，所以y＝－1舍去，所以得到x2＝4，所以x1＝2，x2＝－2．请参考例题解法，解方程：．答案:x1＝1，x2＝－4分析：利用题中给出的方法设=y，把方程转化为含y的一元二次方程，求出y的值，再求解无理方程，求出x的值．【详解】解：设＝y，则x2＋3x=y2，原方程可化为：y2－y－2＝0，∴y1＝－1，y2＝2，∵＝y≥0，∴y1＝－1舍去，∴＝2，∴x2＋3x＝4，∴x2＋3x－4＝0，∴x1＝1，x2＝－4．【点睛】本题考查了解一元二次方程及换元法，掌握换元法的一般步骤是解决本题的关键，换元法的一般步骤：设元(未知数)，换元，解元，还原四步．19．(2023秋·江苏淮安·九年级统考期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，；当时，，；原方程有四个根：，，，．仿照上面方法，解方程：．答案:，．分析：设x2+3x=y，则原方程变为y2+4y+3=0，求出y=-1，或y=-3，再分别解方程即可．【详解】解：设x2+3x=y，则原方程变为y2+4y+3=0，∴（y+1）（y+3）=0，解得y=-1，或y=-3，当y=-1时，x2+3x=-1，即x2+3x+1=0，解得x=，当y=-3时，x2+3x=-3，即x2+3x+3=0，因为∆=32-4×3<0，所以方程没有实数根，舍去；∴原方程有两个根：，．【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键．20．(2023秋·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：(1)将关于x的一元二次方程+bx+c＝0变形为＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______．(2)解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设＝y，那么，于是原方程可变为（1），解得＝1，＝4．当y＝1时，＝1，∴x＝±1；当y＝4时，＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根．请你用（2）中的方法求出方程的实数解．答案:(1)2022(2)，分析：（1）根据题目所提供的方法即可求出答案；（2）根据换元法即可求解．（1）解：∵﹣x﹣1＝0，∴＝x+1，∴﹣3x+2020＝＝﹣x+2021＝x+1﹣x+2021＝2022．故答案为：2022；（2）解：设+x＝y，那么，于是原方程可变为，解得＝﹣2，＝4．当y＝﹣2时，+x+2＝0，Δ＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴方程无解；当y＝4时，+x﹣4＝0，∴x＝；∴原方程有两个根：x1＝，x2＝．【点睛】本题考查了降次法求代数式的值和换元法解一元二次方程，能够降次是解此题的关键．21．(2023秋·江苏宿迁·九年级统考期中）阅读下面的材料，解决问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，∴；当时，，∴；∴原方程有四个根：，，，．请参照例题，解方程．答案:；分析：仿照例题，设，则，再解一元二次方程即可．【详解】解：设，则，∴原方程可变为，解得，．当时，，∴；；当时，，∴此方程无解；∴原方程有两个根：；．【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法及理解题意是解题的关键．22．(2023秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．【例题呈现】关于x的方程的解是，（均为常数，），则方程的解是．【解法探讨】（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题：（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“”看做第一个方程中的“x”，则“”的值为，从而更简单地解决了问题．【策略应用】（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，就能轻松解决以下问题，请用他们说的方法解决如下问题：已知，求出的值．答案:（1）；（2）1或；（3）5分析：（1）把分别代入原方程求得，于是得到原方程为：，求得，将和代入第2个方程，于是可得到结论；（2）把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“x”，即可得到结论；（3）根据原方程的结构特点得到，再根据因式分解法解方程即可得到结论．【详解】解：（1）把x1=1，x2=-2分别代入原方程得，，解得：，∴原方程为：，∴，将和代入第2个方程得，，解得：；故答案为：；（2）把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“x”，则的值为1或；故答案为：1或；（3）∴∵∴【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的定义，因式分解法解一元二次方程，正确的理解题意是解题的关键．23．(2023秋·江苏淮安·九年级统考期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，∴；当时，，∴；∴原方程有四个根：，，，．仿照上述换元法解下列方程：．答案:，分析：设，则原方程可变为，利用因式分解法解得，，当时，，即，利用判别式可判断此方程没有实数解；当时，，利用求根公式法解得，从而得到原方程的2个根．【详解】解：，设，原方程可变为，解得，，当时，，即，因为，方程没有实数根；当时，，解得．∴原方程有2个根：，．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．也考查了解一元二次方程和换元法的思想．24．(2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，；上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：（1）；（2）．答案:（1）