高中数学讲义100微097不等式选讲

微专题97不等式选讲

一、基础知识:

(一)不等式的形式与常见不等式：

1、不等式的基本性质：

(1)a>bob<a

(2)a>b,b>a>c(不等式的传递性)

注：a>b,b>c=>a>c,a>c等号成立当且仅当前两个等号同时成立

(3)a>b=>a+c>b+c

(4)a>b,c>0=>ac>he;a>b,c<O=>ac<he

(5)=22,〃EN)

(6)a>Z?>0=>标>窈(〃之2,〃cN)

2、绝对值不等式：|同一|同4.+6区同+M|

⑴|a+a<同+网等号成立条件当且仅当"20

(2)料—例W卜+4等号成立条件当且仅当ab<0

(3)\a-h\+\b-c\>\a-c\：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且

仅当(a—匕)侬-c)20

3、均值不等式

(1)涉及的几个平均数：

n

①调和平均数：Hn=---------------

—+—++—

q«2%

②几何平均数：G“=M4%

③代数平均数：A,=%+%++%

n

④平方平均数：Q卜；+—++%

Vn

(2)均值不等式：Hn<Gn<^<Q〃,等号成立的条件均为：6=%=

(3)三项均值不等式:

①6f+Z?+c>3\[abca2+b2+c2>3abe

3

Q+Z7+C

②abc<

3

/+/+c2

〃+Z?+c<3,

4、柯西不等式：(a：+a；++硝(厅+优+(3+生劣++〃也了

等号成立条件当且仅当色="==%■或t>]=t>2==2=0

h瓦bn

⑴二元柯西不等式：("+〃)卜2+〃2"/+加/)2,等号成立当且仅当加=此

(2)柯西不等式的几个常用变形

①柯西不等式的三角公式：

2

荷+嫉+~U+J斤+£+.+〃+(a2±b2)+~~+(a“±a)2

②心$+…+*但15二堂

仿伪bnbt+b2++bn

,222\

—-H——+•-H——(4+4+.+2)之(。]+%++〃〃)―

”2b〃J

②式体现的是当各项。:,媛,・，d系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系,

刚好是均值不等式的一个补充。

③色+"+…+(卬+=+

伉b2bnafy+a2b2++anb„

5、排序不等式：设q4%4^b2<42为两组实数，C1,C2，-,c”是乙也，

的任一排列，则有:

a}bn+a2b“7+••+anbt<a^c]+a2c2++ancn<a占+a2b2++anbH

即“反序和W乱序和《顺序和”

(-)不等式选讲的考察内容：

1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立

2、利用常见不等式(均值不等式，柯西不等式)求表达式的最值，要注意求最值的思路与利

用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型一将式子向定值放缩(消元)一验证

等号成立条件”

3、解不等式(特别是含绝对值的不等式一一可参见“不等式的解法”一节)

二、典型例题：

例1：若不等式|x+l|+|x+3以加恒成立，则"2的取值范围为.

思路：本题为恒成立问题，可知何一1|4(,+1|+忖+3|)“所以只需求出|x+l|+|x+3|的

最小值即可，一种思路可以构造函数/(x)=|x+l|+|x+3],通过对绝对值里的符号进行分

2x+4,x>-1

类讨论得到分段函数：/(X)=b,-3<X<-l,进而得到了(X)Nn=2,另一种思路可

—2x—4,x<—3

以想到绝对值不等式：|x+l|+|x+3闫(x+l)-(x+3)|=2,进而直接得到最小值，所以

|/n-1|<2,从而一14加43

答案：-14根<3

例2：若存在实数x使得f+4x+|a-2|+,一1|=0成立，求实数a的取值范围

思路：本题可从方程有根出发，得到关于。的不等式，从而解出。的范围

解：依题意可知二次方程f+4x+,—2|+|a—1|=0有解

.-.A=16-4(|«-2|+|«-l|)>0

B|J—2|+|o-1|<4

7「7-

当a22时，2。—3<4aK—/.Q€2,一

22」

当l〈a<2时，2-a+a-lW4=lW4恒成立/.«G[1,2)

当a<1时，2—a+1—cz<4=5,a2—ciG—,1|

2L2)

「171

综上所述，可得ae—

22

例3：己知函数/(x)=W+2|x—a](a>0)

(1)当a=l时，解不等式/(x)W4

(2)若不等式/(x)24对一切xeE恒成立，求实数。的取值范围

(1)思路：所解不等式为|x|+2|x—1|W4,可通过分类讨论去掉绝对值进而解出不等式

解：(1)当时，x+2(x—1)<4=>%<2e[1,2]

当OWxcl时，x+2(l-x)<4=>x>-2xe[0,l)

2「2、

当x<0时，-x+2(1—x)K4x之一§x€——,0I

■?-

综上所述：不等式的解集为-±,2

3

(2)思路：若不等式恒成立，可知只需/(力疝24即可，“X)含绝对值，从而

3x-2a,xe[a,+8)

可通过分类讨论将其变为分段函数/(x)=<2a-x,xe[0,a),通过分析函数性质即可得

2«-3X,XG(-CO,0)

到/(次1加=/(。)=。,所以"N4

解：/(X)24恒成立

，，f(Mmin"

3X-2Q,XE[a,+00)

考虑/(x)=|x|+2|x-«|{2a-x,x£[0,。)

2a-3x,xe(-oo,0)

「./(九)在(一00,〃)单调递减，在(a,+8)单调递增

；J(xL=/(a)=a

.\a>4

例4：已知。力,c都是正数，且。+2〃+3c=6,求Ja+1+」2b+1+N3c+1的最大值

思路一：已知a+2Z?+3c为常数，从所求入手，发现被开方数的和为(a+2/?+3c)+3也为

常数，所以想到均值不等式中“代数平均数4平方平均数”，进而求得最大值

da+1+y/2b+\+V3c+1<|(或+1)+(=2b+l)+(j3c+l>

3-\3

/a+1+2b+]+3c+]

=V3

Q+2Z,3

Va+T+J20+1+A/3C+1<3J(+£)j2=3G

a=2

Q+1=2〃+1=3c+1

等号成立当且仅当《=></?=!

。+2。+3c=6

2

c=—

I3

思路二：由所求可联想到柯西不等式(活用1)：

(x/a+1+d2b+1+J3c+1)—•Ja+1+1,d2b+1+1,J3c+1，,从而可得：

(1-4a+\+1-J28+1+1-V3c+1)2<(l2+12+l2)[(^/«+T)2+(j2Z?+l『+(V3c+l)2

即(1.Ja+1+1.12b+1+1•)3c+1)<3(a+20+3c+3)=27,所以可知

+J21+1+J3c+1W3>/3

小炼有话说：本题分为两个思路只是想到的常用不等式不同（分别为均值不等式和柯西不等

式），但实质上利用柯西不等式是可以证明“代数平均数4平方平均数二证明的过程如下:

(a；+《++工)•1+1++1~2(q•1+生•1+…•1)

\>

.\(%+/++4JK〃(a；+/++%)

4Z|+%+…+〃”WJu(〃；+a：+•••+a；)

=〃]+%+

例5：已知a,h,c是实数，且4+22+。2=],则2a+/?+2c的最大值是

思路：考虑将2Q+〃+2C向〃+〃+/进行靠拢，由柯西不等式可知

(ax+hy+cz^<(a2+b2+c2)(x2+y2+z2),对照条件可知令x=2力=l,z=2即可，所

以(2a+H2c)24)+。2+。2乂22+12+22)=9,则勿+b+2cW3

答案：3

小炼有话说：使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。首先要选择合适的柯西不等

式形式，然后找到所求与已知之间的联系，确定系数在柯西不等式的位置即可求解。

例6：已知实数a,/?,c,d满足a+6+c+d=3,/+2〃+3/+64?=5,则a的取值范围是

思路：本题的核心元素为a,若要求a的取值范围，则需要寻找两个等式中项的不等关系，即

关于的不等关系，考虑到6+。+4=3-。,2从+3。2+6/=5—42,联想到柯西不等

式——H——+---I——（4+仇+一.+6“）N+a,+.+，则有

、b、b2bnJ

2

（2〃+3。2+6/）[3+；+1]之佳+0+67）2,代入可得：5-a2（3-0）2解得：4€[1,2],

验证等号成立条件：迫瓜瓜d

=―j==-在。=I,。=2时均有解。

答案：ae[\,2]

例7：已知。，仇c均为正数，求证：a2+b2+c2+(-+-+^\>673,并确定a,"c为何

\abc)

值时，等号成立

思路：观察到不等式左边的项作和且存在倒数关系，右侧为常数，所以可想到基本不等式中a,。

互为倒数时，a+b>2\[ab,右侧为一个常数。

a2+b2+c2>3\lcrb2c2,—+-+->9N^—,从而将左侧的项均转化为与a"c相关的项，

abcvabc

然后再利用基本不等式即可得到最小值6G,即不等式得证

解：由均值不等式可得：«2+/?2+C2>3^/«W

等号成立条件：a=b=c

例8：已知。>0,〃>0

14

(1)若4+0=2,求——十——的最小值

1+Q1+Z?

(2)求证：a2b2-\-cT-\-k^>ab[a-F/?+1)

(1)思路：从所求出发可发现其分母若作和，则可与。+人=2找到联系，从而想到柯西不等

式的变式：4+五+.+£?(%+/+•+%)，从而_L+J_»I11^=3

b}b2bn4+4+•+21+Q1+。1+a+。

14I222

解：----+-----=-----+-----

1+。1+〃1+a1+b

一七寸丁群ire14I222、（1+2）-

由柯西不等式可得：+=+>-—

1+a\+b\+a\+b\+a+b

,c14、°

a+b=2----1---->3

1+a1+/?

(2)所证不等式等价于：a2b2+a2+b2>a2b+ah2+ab,观察左右的项可发现对左边任意

a2b2+a2>2a2b

两项使用均值不等式，即可得到右边的某项，即：Ja2b2+b2>lab2,三式相加即完成证

a2+b2>lab

明

a2b2+a2>2a2b

证明：由均值不等式可得：22a从

a2+b2>2ab

三式相加：2（“方+/+尸）22（。%+出?2+出?）

即a2b2+O2+tr>a2b+ab2+ab=ab（^a+b+1^

小炼有话说：对于求倒数和(即。],42，“〃为常数)的最值，有两个柯西不等式的变式可供

使用：式+注+.+4和

a瓦bn4+4+.-一+2

%+空++%2(4+%++"”)，其不同之处在于对分母变形时运算的选择，第

b[b2bn岫+a2b2+-+anbn

一个式子的变形为“分母作和”第二个式子的变形为“分母乘以对应系数再作和”，在解题时

要根据题目中不同的定值条件来选择对应的不等式。

a+b+c

例9：设。，4CER+,求证：aabhcc>(ahc)3

思路：所证不等式中的变量位于指数和底数位置，且为乘法与乘方运算，并不利于不等式变

形；所以考虑利用两边同取对数使得指数变为系数，同时将乘法运算转为加法运算。则所证

不等式等价于3alna+3/?ln/?+3clncN(Q+Z?+c)(lna+lnZ?+lnc),化简后可得：

2a\na+2b\x\h+2c\nc>a\nb+a\nc+b\na+b\nc+c\nb+c\na®,所证不等式为轮

换对称式，则不妨给a,。,c定序，即。2/?之。>0,\na>lnZ?>lnc,由①的特点想到排

序不等式，则alna+8InO+clnc为顺序和，是最大的，剩下的组合为乱序和或反序和，必

a\na+b\nb+c\nc>alnh+b\nc+c\na

然较小，所以有《两式相加即可完成证明。

a\na+b\nh+cine>h\na+c\nb+alnc

证明：a,b,ceR+

・•・将所证不等式两边同取对数可得：

a+b+c(Q+8+0)

aabhcc>(abc)3oaIna+Z?lnZ?+cine>----------(in^z+In。+Inc)

o3aIna+3Z?ln〃+3clncN(a+b+c)(ina+In〃+Inc)

<=>3cilna-i-3blnb+3clnc>alna+alnb+alnc+blna+blnb+blnc-i-clna+clnb-i-clnc

。2aIna+2Z?lnZ?+2clnc>a\nh+a\nc+b\na+binc+cln/?+cIna

：所证不等式为轮换对称式

.e.不妨设QC>0

.\ln«>lnZ?>lnc

t71n6Z+/?ln/?+clnc>a\nb^b\nc^-clna①

a\na+b\nb+cine>b\nac\nb+a\nc②

①+②可得：2alna+2Z?lnZ?+2clncN41nZ?+alnc+Z?lna+Z?lnc+clnZ?+clna

a+b+c

即证明不等式>(abc)~^~

小炼有话说：使用排序不等式的关键在于首先要有一个“顺序”，本题已知条件虽然没有a,伍c

的大小关系，但由所证不等式“轮换对称”的特点，可添加大小关系的条件，即aN〃2c>0,

从而能够使用排序不等式。

例10：设正数x,y,z满足2x+2y+z=1

(1)求3xy+yz+zx的最大值

311125

(2)证明：-一+------+------>—

1+xy1+yz1+zx26

(1)思路：所求表达式为多元表达式，所以考虑减少变量个数，由2x+2y+z=l得

]一z

2(x+y)=1-z,则3盯+yz+zx=3xy+z(x+y)=3Ay+z・《一，下面考虑将个进行

转化，向x+y靠拢，利用基本不等式xy«("+>进行放缩，可得：

4

?)xy+yz+zx<—(x++z--~——+—~~—,再求关于z的表达式的最大

4V72442

值即可。

解：2x+2y+z=l

=1—z

,\z(l-z)

3xy+yz+zx=3xy+z[x+y)=3xy+------

°e(JZ)211

3AT+yz+zx<3--...-+-<-

-1655

x=y

.•・3孙+冲+次的最大值为:，此时<11

z=—=>x=y=z=—

55

2x+2y+z=1

(2)思路：由(1)可知3孙+yz+zx的最大值为g,且所证不等式的左边分母含有xy.yz.zx

项，所以考虑向3xy+yz+zx的形式进行靠拢，联想到柯西不等式的一个变形公式：

幺+生+.+&m+%+,可得：

瓦瓦b„+a2b2++anbn

31125

——+-----+------>----------------,进而结合第(1)问的结果再进行放缩即可证

1+xy1+yz1+zx5+3xy+yz+zx

明不等式

解：由柯西不等式可得：

3+]+]〉(3+1+1『_25

1+盯1+yz1+zx3(1+孙)+1+yz+1+zx54-3xy+yz-hzx

由(1)知3xy+yz+〃Wg

3112525125

/.---------1----------1---------2-----------------------之----——-----

1+xy1+yz1+zx5+3xy+yz+zx5+126

5

等号成立条件：x-y-z--

5

三、历年好题精选

1、设〃x)=|x+l|+|x—

(1)求证：/(x)22

(2)若不等式侬+-'对任意非零实数b恒成立,求x的取值范围

2、(2014吉林九校联考二模，24)已知关于X的不等式版一1|+/一a|zi(a〉o)

(1)当a=1时，求此不等式的解集；

(2)若此不等式的解集为R,求实数。的取值范围.

3、(2015,福建)已知a>0,b>0,c>0,函数/(x)=|x+a|+|x—a+c的最小值为4

(1)求a+〃+c,的值

(2)求4/+]_02+,2的最小值

49

4、(2015,新课标II)设。，"C,△均为正数，且a+〃=c+d,证明：

(1)若ab>cd,则4a+4b>4c+4d

(2)&+北〉G+J7是|a—。|<上一4的充要条件

5、(2015,陕西)已知关于x的不等式以+同<匕的解集为{幻2<%<4}

(1)求实数a,b的值

(2)求&it+12+而的最大值

6、已知定义在R上的函数/(x)=|x+l|+|x—2]的最小值为a

(1)求。的值

(2)若〃,是正实数，且满足p+q+r=a,求证：p2+<?2+r2>3

7,(2014,江西)对任意的|x—l|+|x|+|y—l|+|y+l|的最小值为()

A.1B.2C.3D.4

8、(2014,浙江)(1)解不等式：2|x-2|-|x+l|>3

(2)设正数a,A,c满足成c=a+b+c,求证：ab+4bc+9ac>36,并给出等号成

立条件

9、(2016,苏州高三调研)设函数/(x)=x+|x-a](a>0)

(1)证明：f(x)N2

(2)若/(3)<5,求实数”的取值范围

习题答案:

1、解析：⑴/(X)=|X+1|+|J:-1|>|(%+l)-(x-l)|=2

户1|十|1|之叩产=国

(2)恒成立不等式为:

b

2+EHHJ

|x+1|+|x—1|N

max

设g(b)=

・他6)皿=3.-.|x+l|+|x-l|>3

3

当时，2x23nx\—

2

当工£［一1,1)时，x+1-x+l23=>223不成立

3(3

当xv—1时，—2x23=>x«—xG—co,—+0

2I2.Ji0

2,解析：(1)4=1时，不等式为2|x—l|21n|x-l|zg

.二工一1之！或x-l<一!,解得

2212in

⑵问题转化为VxcR,不等式卬一1|+版一421恒成立

・

..(版-1+版-4)1nhi之1

设/(x)=|依-1|+|依_々|——6/)|=|fz-l|

「Ja—1|21=>Q22或aW0

3、解析：(1)/(x)=|x+a\4-|x-Z?|+c>|(x+«)—(x—Z?)|4-c=«+Z?+c

:.a+b+c=4

(2)^a2+1/?2+c2^-(22+32+l2)>^a-2+^-3+c-l^=(a+/?+c)2=16

8

a--

7

:.-a2+-b2+c2>—=-,等号成立条件：=j=

49147231

a+b+c=42