福建省福州第八中学八年级下学期期中数学试卷

20212022学年福建省福州八中八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．1.若在实数范围内有意义，则x的取值范围（）A.x≥2 B.x≤2C.x＞2 D.x＜2【答案】A【解析】【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，即x2≥0，解不等式求x的取值范围．【详解】∵在实数范围内有意义，∴x−2≥0，解得x≥2．故选：A．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件．2.下列式子中，属于最简二次根式是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据判定一个二次根式是否最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是，分别验证选项即可得到答案．【详解】解：A.是最简二次根式，故是答案；B.，故不是最简二次根式，故不是答案；C.=2，故不是最简二次根式，故不是答案；D.=0.1，故不是最简二次根式，故不是答案；故选：A．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，满足最简二次根式必须要的两个条件：

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．3.如图，四边形ABCD中，∠A+∠B=200°，∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O，则∠COD的度数是（）A.80° B.90° C.100° D.110°【答案】C【解析】【分析】由于∠A+∠B=200°，根据四边形的内角和定理求出∠ADC+∠DCB的度数，然后根据角平分线的定义得出∠ODC+∠OCD的度数，最后根据三角形内角和定理求出∠COD的度数．【详解】解：∵∠A+∠B+∠ADC+∠DCB=360°，∠A+∠B=200°，∴∠ADC+∠DCB=160°．又∵∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O，∴∠ODC=∠ADC，∠OCD=，∴∠ODC+∠OCD=80°，∴∠COD=180°﹣（∠ODC+∠OCD）=100°．故选C．【点睛】本题主要考查了三角形及四边形的内角和定理，属于基础题目，熟练掌握三角形和四边形的内角和是关键．4.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a2＝b2+c2，则（）A.∠A＝90° B.∠B＝90° C.∠C＝90° D.∠C＝∠A+∠B【答案】A【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理可得直角三角形，再进行判断即可．【详解】∵a2＝b2+c2∴∠A＝90°故选A．【点睛】考查了勾股定理的逆定理．：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．5.为增强学生的环保意识，共建绿色文明校园．某学校组织“废纸宝宝旅行记”活动．经统计，七年级5个班级一周回收废纸情况如下表；班级一班二班三班四班五班废纸重量（）4.54.45.13.35.7则每个班级回收废纸的平均重量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平均数的定义求解即可．【详解】每个班级回收废纸的平均重量=．故选：C．【点睛】本题考查了平均数，理解平均数的定义是解题的关键．6.下列命题是真命题的是（）A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形【答案】B【解析】【分析】A、根据平行四边形的判定定理作出判断；B、根据矩形的判定定理作出判断；C、根据菱形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意；B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．7.在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的()A.众数 B.方差 C.平均数 D.中位数【答案】D【解析】【分析】根据中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）的意义，9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【详解】由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少.故选：D.【点睛】本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数，方差，平均数，中位数的概念是解题的关键.8.下列关于一次函数的说法，错误的是()A.图象经过第一、三、四象限 B.随的增大而增大C.当时， D.图象与轴交于点【答案】C【解析】【分析】由，可知图象经过第一、三、四象限；由，可得随的增大而增大；当时，；图象与轴的交点为．【详解】解：，图象经过第一、三、四象限，正确，不符合题意；，随的增大而增大，正确，不符合题意；当时，；错误，符合题意；令时，，图象与轴的交点为，正确，不符合题意；故选：．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式中，与对函数图象的影响是解题的关键．9.我国南宋著名数学家秦九韶著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米【答案】A【解析】【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．【详解】∵52+122=132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故选A．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．10.非负数，，满足，记，的最大值为m，最小值n，则m+n=（）A.45 B.45 C.54 D.54【答案】D【解析】【分析】设=k，求得x=2k+1，y=3k+2，z=4k+3，又由x，y，z均为非负实数，即可求得k的取值范围，则可求得W的取值范围．【详解】解：设=k，则x=2k+1，y=3k+2，z=4k+3，∵x，y，z均为非负实数，∴，解得≤k≤，∴W=3x+4y+5z=3(2k+1)4(3k2)+5(4k+3)=14k+26，∴×14+26≤14k+26≤×14+26，即19≤W≤35，∴W的最大值是35，最小值是19，∴m=35，n=19，∴m+n=54，故选D．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，解此题的关键是设=k，根据已知求得k的取值范围．此题难度适中，注意仔细分析求解．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分11.计算：__________．【答案】【解析】【分析】先把二次根式化简，再运算除法即可得到答案．【详解】解：【点睛】本题考查的是二次根式的除法，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键．12.已知正比例函数的图像经过点（1，﹣2），则此函数的解析式是_____，将此正比例函数的图像向下平移2个单位，得到的函数关系式是_____．【答案】①.y＝﹣2x②.y＝﹣2x﹣2【解析】【分析】利用待定系数法，确定解析式；根据平移规律，下减原则，确定平移后的解析式．【详解】设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），∵图像经过点（1，﹣2），∴﹣2＝k，此函数的解析式是：y＝﹣2x；故答案为：y＝﹣2x；将此正比例函数的图像向下平移2个单位，即得到一次函数y＝﹣2x+b，b＝﹣2，故得到的函数关系式是：y＝﹣2x﹣2故答案：y＝﹣2x﹣2．【点睛】本题考查了正比例函数的解析式确定和平移，熟练掌握待定系数法和平移的基本规律是解题的关键．13.小明计算一组数据方差的算式为s2＝[（x1﹣10）2+（x2﹣10）2+…+（x5﹣10）2]，由此得到这组数据的和是_____．【答案】50【解析】【分析】从方差公式中获取这组数据的个数和平均数即可求得这组数据的和．【详解】∵s2＝[（x1﹣10）2+（x2﹣10）2+…+（x5﹣10）2]，∴这组数据的平均数是10，一共有5个数，∴这组数据的和是10×5＝50．故答案为：50【点睛】本题考查了方差的计算公式，理解掌握公式是解题的关键．14.如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设，则∠AFP的度数为_____．【答案】##65度【解析】【分析】根据正方形的性质先表示出∠PBC的度数，然后利用“SAS”证明△APF≌△CPB，证得∠AFP＝∠PBC即可求得答案．【详解】∵四边形PBEF为正方形，∴，∵，∴，∵四边形APCD、PBEF是正方形，∴AP＝CP，，PF＝PB，在△APF和△CPB中，，∴△APF≌△CPB（SAS），∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，对于解决四边形的问题往往是通过解决三角形的问题而实现的．15.如图，在中，，．点P在线段上运动，则线段长度的最小值是______．【答案】【解析】【分析】根据垂线段最短，得出当时，的值最小，然后利用等面积法求解即可．【详解】解：在中，，，如图，当时，的值最小，此时，的面积，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解本题的关键在学会利用面积法求高．16.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝mx+2m﹣1的图象为直线l，在下列结论中：①当m＞0时，直线l一定经过第一、第二、第三象限；②直线l一定经过第三象限；③过点O作OH⊥l，垂足为H，则OH的最大值是；④若l与x轴交于点A，与y轴交于点B，△AOB为等腰三角形，则m＝﹣1或，其中正确的结论是_____（填写所有正确结论的序号）．【答案】②③##③②【解析】【分析】分别讨论函数的和的正负，得出函数过第几象限，可得出结论①错误，结论②正确；由解析式可得一次函数过定点，可得出当点和定点重合时，最大，故③正确；分别求出点和点的坐标，根据是等腰三角形可得出等式，并求出参数的值，得出结论④错误．【详解】解：当，，即时，直线经过第一，第二，第三象限；当，即时，直线经过第一，第三象限；当，，即时，直线经过第一，第三，第四象限；当时，，直线经过第二，第三，第四象限；故①错误，②正确；一次函数，当时，，即直线经过定点，当点和定点重合时，取得最大值；即③正确；若与轴交于点，与轴交于点，则，，，若为等腰三角形，则，，解得或，又当时，点和点，点重合，故不成立，当为等腰三角形，；故④错误．故答案为：②③．【点睛】本题主要考查一次函数图象过象限问题，等腰三角形存在性等问题，解题的关键是在计算时注意特殊情况即函数过原点时的情况需要排除．三、解答题：本题共9小题，共86分．17.计算：．【答案】【解析】【分析】直接利用零指数幂性质，绝对值性质以及二次根式的混合运算求解．【详解】＝﹣1+1＝4．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．18.已知：如图，□ABCD中，E，F是AB，CD上两点，且AE=CF．求证：DE=BF．【答案】见解析【解析】【分析】要证DE=BF，只需证四边形DEBF是平行四边形，证得BE=DF，BE∥DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证．【详解】在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，∵AE=CF，∴BE=DF，BE∥DF．∴四边形DEBF是平行四边形．∴DE=BF．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质．利用平行四边形的性质证明线段相等是解题的关键．19.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h（约为19.4m/s）．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方40m的C处（即AC＝40m），过了2s后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离AB为50m，问：这辆小汽车超速了吗？【答案】这辆小汽车没有超速【解析】【分析】利用勾股定理先求得小汽车形式的路程BC，再利用路程、速度、时间之间的而关系求得小汽车实际形式的速度，与限速比较即可．【详解】在Rt△ABC中，AC＝40m，AB＝50m；据勾股定理可得：BC＝＝＝30（m）小汽车的速度为v＝＝15（m/s），∵15m/s＜19.4m/s；∴这辆小汽车没有超速行驶．答：这辆小汽车没有超速了【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，把实际问题转化为数学模型是解题的关键．20.如图，已知▱ABCD，点E在BC上，点F在AD上．（1）请用尺规确定点E，F的位置，使得四边形AECF是菱形；（保留作图痕迹，不写作法）（2）利用（1）中作图所确定的条件证明四边形AECF是菱形．【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析【解析】【分析】(1)作AC的垂直平分线得到点E、F，然后连结AF和CE得到四边形AECF是菱形；(2)证明AC垂直平分EF，得到AE＝AF，则根据四边相等的四边形为菱形得到四边形AECF是菱形．【小问1详解】如图，EF为所作；【小问2详解】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴ADBC，∴∠AEF＝∠CFE，∵EF垂直平分AC，∴FA＝FC，AE=CE，∴∠CFE＝∠AFE，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF，∴AE=CE=AF=CF，∴四边形AECF是菱形．【点睛】本题考查了作图复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了菱形的判定．21.如图直线l1：y＝2x+4与直线l2：y＝﹣2x+2相交于点A，且直线l1，l2分别交x轴于点B和C．（1）求点A的坐标；（2）求△ABC的面积．【答案】（1）A(﹣，3)（2）S△ABC＝【解析】【分析】（1）解方程组即可得到结论；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．【小问1详解】解方程组得，∴A（﹣，3）；【小问2详解】∵直线y＝2x+4与x轴交于点B（﹣2，0），直线y＝﹣2x+2与x轴交于点C（1，0），∴＝•BC•|y|＝3×3＝【点睛】本题考查了两直线相交的问题，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，三角形的面积，一定要熟练掌握并灵活运用．22.某中学举办“校园好声音”朗诵大赛，根据初赛成绩，七年级和八年级各选出5名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示：（1）根据所给信息填写表格；

平均数（分）中位数（分）众数（分）七年级85八年级85100（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；（3）若七年级代表队决赛成绩的方差为70，计算八年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪个代表队的选手成绩较为稳定．【答案】（1）填表见解析；（2）七年级代表队成绩好些；（3）七年级代表队选手成绩较为稳定．【解析】【分析】（1）根据平均数、众数和中位数的定义分别进行解答即可；（2）根据表格中的数据，可以结合两个年级成绩的平均数和中位数，说明哪个队的决赛成绩较好；（3）根据方差公式先求出八年级的方差，再根据方差的意义即可得出答案．【详解】（1）八年级的平均成绩是：（75+80+85+85+100）÷5=85（分）；85出现了2次，出现的次数最多，则众数是85分；把八年级的成绩从小到大排列，则中位数是80分；填表如下：平均数（分）中位数（分）众数（分）初二858585初三8580100（2）七年级代表队成绩好些．∵两个队的平均数都相同，七年级代表队中位数高，∴七年级代表队成绩好些．（3）S八年级2=[（7085）2+（10085）2+（10085）2+（7585）2+（8085）2]=160；∵S七年级2＜S八年级2，∴七年级代表队选手成绩较为稳定．【点睛】本题考查了方差：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了中位数和众数．23.某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产每月的销售量都不超过20吨．设每月销售甲特产x吨，一个月销售这两种特产所获得的总利润为W万元．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求W与x的函数关系式；（3）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．【答案】（1）甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；（2）W＝0.3x＋20；（3）26万元【解析】【分析】（1）根据题意可知销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨，根据题意列出一元一次方程，故可求解；（2）根据总利润W=甲种特产利润+乙种特产利润即可列出函数关系式；（3）根据自变量的取值及一次函数的性质即可求出最大总利润．【详解】解：（1）根据题意可知销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨，10x＋（100﹣x）×1＝235，解得，x＝15，∴100﹣x＝85，答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨．（2）W＝（10.5﹣10）x＋（1.2﹣1）×（100﹣x）＝0.3x＋20．（3）由（2）可知W＝0.3x＋20∵0.3﹥0，∴W随x的增大而增大，∵0≤x≤20，∴当x＝20时，W取得最大值，此时W＝26，答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．【点睛】此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列式求解．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，▱ABOC的顶点A、B、C的坐标分别为：A（t，t+6），B（﹣2，0），C（m，t+6），其中﹣6＜t＜0，m＞t．（1）求m关于t的函数解析式；（2）已知D（﹣2﹣t，﹣6﹣t），连接AD与x轴交于点E．当AE的长度最小时，求点A的坐标．【答案】（1）m＝2+t（﹣6＜t＜0）；（2）（﹣，）．【解析】【分析】（1）由四边形ABOC是平行四边形得AC＝BO，AC∥BO，再由A（t，1+6），C（m，1+6），m＞t，写出m关于t的函数解析式即可；（2））由A的坐标为（t，t+6）得A在直线y＝x+6上，再由A、D的坐标求出中点，发现中点在x轴上，即AD中点即为E，再由点到直线垂线段最短，当AE⊥AF时，AE长度最小，求出A的坐标即可．【详解】解：（1）∵四边形ABOC是平行四边形，∴AC＝BO，AC∥BO，∵B（﹣2，0），∴AC＝BO＝2，∵AC∥BO，∴AC∥x轴，∵点A，C的坐标分别为：A（t，t+6），C（m，t+6），m＞t，∴AC＝m﹣t＝2．∴m关于t的函数解析式为：m＝2+t（﹣6＜t＜0）；（2）∵A的坐标为（t，t+6），∴A在直线y＝x+6上，如图，过A作直线AF：y＝x+6交x轴于F，过点A作AG⊥x轴于G，∵D（﹣2﹣t，﹣6﹣t），A（t，t+6），∴AD中点为（﹣1，0），又∵直线AD交x轴于E，∴E的坐标为（﹣1，0），∵点到直线垂线段最短，∴当AE⊥AF时，AE长度最小，令y＝x+6＝0，x＝﹣6，∴F的坐标为（﹣6，0），∴FG＝t+6＝AG，EF＝﹣1+6＝5，∴∠AFG＝45°，∴AE长度最小时△AEF为等腰直角三角形，∴GF＝GE＝，∴∴GO＝+1＝，∵∠FAE＝90°，∴AG＝EF＝，∴点A的坐标为（﹣，）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂线段最短等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.25.（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN­—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你