四川省成都市2024-2025学年高二数学下学期4月阶段性测试理试题含解析

Page17四川省成都市2024-2025学年高二数学下学期4月阶段性测试（理）试题考试时间：120分钟；满分：150分第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（每小题仅有一个正确选项，选对得5分，共60分）1.已知，，为虚数单位，且，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】依据复数相等的概念可求解.【详解】因为，，所以，得，所以.故选：B2.函数在区间上的平均改变率等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据平均改变率定义去求解即可.【详解】函数在区间上的平均改变率等于故选：C3.设函数在上可导，则等于（）A. B.C. D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】依据导数的定义求解即可.【详解】因为，所以.故选：A.4.吹气球时，气球的半径（单位：）与体积（单位：）之间的函数关系是，则气球在时的瞬时膨胀率为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据瞬时改变率的概念和复合函数求导法则计算可得解.【详解】因为,所以气球在时的瞬时膨胀率为.故选：C5.用数学归纳法证明等式“”，当时，等式左边应在基础上加上（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】依据数学归纳法的步骤，比较和时式子的结构特征，即可得到正确答案.【详解】当时，等式左边应；当时，等式左边应为.所以当时，等式左边应在的基础上加上.故选:C6.（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用微积分基本定理求出原函数，代入即可求解.【详解】由微积分基本定理可得：.故选：B7.已知函数，则的导函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的导函数，再探讨的性质，结合性质及取时的函数值即可推断作答.【详解】函数定义域为R，求导得，明显，因此，函数是R上奇函数，图象关于原点对称，选项C，D不满意，又，选项B不满意，选项A符合题意.故选：A8.已知函数满意，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求导后代入可求得；将代入可求得结果.【详解】，，解得：；，解得：.故选：A.9.已知，，，则以下不等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先构造函数推断出b最小，再依据函数单调性去比较的大小即可解决.【详解】令，则，由，得，由，得即当时单调递减，当时单调递增即当时取得最小值则有，，即，又，由，可得则，即综上，的大小关系为故选：A10.若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由，可得出，可知直线与函数的图象有两个交点（非切点），利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】因为，则，令，可得，由题意可知，直线与函数的图象有两个交点（非切点），，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，函数的极大值为，且当时，，如下图所示：所以，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点（非切点），因此，实数的取值范围是.故选：D.11.是定义在上的函数，是的导函数，已知，且，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，进而结合条件推断出函数的单调性，然后将原不等式变形并依据函数的单调性解出答案.【详解】因，可化简为，令函数，则.因为，所以，在R上单调递增.又，而等价于，即，所以，解得.故选：B12.已知函数，则下列命题为真的个数是（）①的微小值点为；②若存在，使得，则整数的最小值为；③若，则当时，有两个零点，且其中一个零点所在的区间为．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数求出函数微小值点，可推断①的正误；利用参变量分别法得出，利用导数求出函数在上的最小值，可推断②的正误；利用导数结合零点存在定理可推断③的正误.【详解】对于①，，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，函数的微小值点为，①错；对于②，若存在，使得，当时，由可得，令，其中，则，令，其中，则，即函数在上单调递增，因为，，所以，存在，使得，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，所以，，故整数的最小值为，②对；对于③，，当时，，且，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，，，令，则，令，则，，则，，则，即，因此，当时，有两个零点，且其中一个零点所在的区间为，③对.故选：C.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）干脆法：先对函数求导，依据导数的方法求出函数的单调区间与极值，依据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类探讨思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为探讨两函数图象的交点问题；（3）参变量分别法：由分别变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共20分）13.函数，的单调递减区间为______．【答案】【解析】【分析】依据导数的符号求解即可.【详解】当时，，所以的单调递减区间为.故答案为：14.把复数的共轭复数记作，已知（其中是虚数单位），则______．【答案】##【解析】【分析】依据复数的除法运算求出，再依据共轭复数的概念可得解.【详解】因为，所以，所以.故答案为：15.已知在R上可导函数的图象如下图所示，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】依据三个代数式的正负改变状况去求不等式的解集.【详解】由函数的图象可知当时，；当或时，当或时，；当时，则当时，，则当时，，则当时，，则当时，，则当时，，则综上的解集为.故答案为：16.已知是函数的极大值点，则的值为______．【答案】【解析】【分析】依据极大值点定义分类探讨去求实数的值.【详解】，则(1)时，，当时，恒成立，函数单调递减，则不是函数的极大值点，舍去(2)时，若，则，恒成立，函数在单调递减，则不是函数的极大值点，舍去(3)时假如，则当且时，，恒成立，函数单调递减，则不是函数的极大值点，舍去假如，则方程存在根，故当，且时，恒成立，函数单调递增，故不是的极大值点；假如，即时，当时，，则，函数单调递增；当时，，则，函数单调递减，故是的极大值点.综上，的值为故答案为：三、解答题（17题满分10分，18-22题，每题满分12分，共70分）17.已知函数．（1）写出函数的单调区间；（2）探讨函数的极大值和微小值是否存在．假如存在，求出极值．【答案】（1）增区间为和；减区间为（2）存在.极大值，微小值【解析】【分析】（1）依据导函数与原函数之间的关系去求函数的单调区间；（2）利用导数去求函数的极大值和微小值.【小问1详解】．令，得或．则当时，，单调递增；则当时，，单调递减；则当时，，单调递增．故函数的增区间为和，减区间为．【小问2详解】由（1）知，当时，有微小值；当时，有极大值．18.已知．（1）求曲线在处切线的方程；（2）求函数在区间上的最值．【答案】（1）（2），．【解析】【分析】（1）依据导函数几何意义去求曲线在处切线的方程；（2）利用导数去求函数在区间上的最值．【小问1详解】，则切线斜率为又，即切点坐标为故所求切线方程为，即【小问2详解】当时，，所以．故函数在区间上单调递减．所以，．19.已知函数．（1）当时，求函数的最小值；（2）若，求的最小值．【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）求导算最值即可（2）运用第一问的结论，再同构函数即可获解【小问1详解】当时,,其定义域为.当单调递减当单调递增所以.【小问2详解】由（1）知,所以有,即.因为,所以,当且仅当时取等。所以所以最小值为,此时20.已知函数．（1）若，当时，试比较与的大小；（2）若的两个不同零点分别为、，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数分析函数在上的单调性，由可求得的取值范围，即可得出与的大小；（2）先证明对数平均不等式，其中，由已知可得出，变形可得出，结合对数平均不等式可证得结论成立.【小问1详解】解：因为，，当时，，且，又当时，，即函数在上单调递减，所以．【小问2详解】证明：先证明，其中，即证，令，，其中，则，所以，函数在上为增函数，当时，，所以，当时，，由题知，取对数有，即，又，所以．【点睛】思路点睛：应用对数平均不等式证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.21.已知函数．（1）若函数，且最大值为，求实数的值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求导，再对分两种状况探讨，利用函数的单调性求解可得答案；（2）等价于不等式在上恒成立，令，再通过二次求导，对分两种状况探讨得解.【小问1详解】，其定义域为，且．①若，则在上递增，此时，不合题意，舍去．②若，则在上递增，在上递减．所以，令，得．综上得：．【小问2详解】因为不等式在上恒成立，所以不等式在上恒成立．令，则，令，则，所以在上递减．①若，则，即，所以在上递减，所以符合题意．②若，则，，，又，在上单调递减，所以存在唯一实数，使得．当时，，即，所以在上单调递增，所以，不合题意．综上，综上实数的取值范围为．【点睛】本题考查了用导数解决恒成立的问题，可以干脆法分类探讨利用函数的单调性解决问题，也可以常量分别，构造函数利用导数求值域解决问题，考查了学生的运算实力和推理实力.22.已知函数，其中．（1）求的单调区间；（2）探讨函数的零点个数．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）依据导函数与原函数的关系分类探讨去求的单调区间；（2）依据函数的单调性和零点存在定理，分类探讨去推断函数的零点个数．【小问1详解】当时，由，得；由，得则的增区间为，减区间为当时，由，得或；由，得则的增区间