新教材适用2025版高考数学一轮总复习练案55第九章统计成对数据的统计分析第二讲用样本估计总体

练案[55]其次讲用样本估计总体A组基础巩固一、单选题1．(2024·天津南开区模拟)为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图(如图所示)，已知学习时长在[9,11)的学生人数为25，则n的值为(B)A．40 B．50C．60 D．70[解析]依题意，得[1－2×(0.05＋0.05＋0.15)]n＝25，解得n＝50，故选B.2．(2024·东北三省三校联合模拟)下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物(PM2.5)的观测值：396,275,268,225,168,166,176,173,188,168,141,157.若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征没有变更的是(C)A．极差 B．中位数C．众数 D．平均数[解析]依据题意，若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，即最大值变为396＋25＝421，极差为最大值与最小值的差，要发生变更，加入数据前，中位数为eq\f(1,2)(173＋176)＝174.5，加入数据后，中位数为176，发生变更，众数为数据中出现次数最多的数，不会变更，平均数体现数据的整体水平，要发生变更．故选C.3．(2024·河南名校联盟“顶尖安排”联考)某市为了解市民对机动车单双号限行的看法，随机调查了一部分市民，其年龄(岁)统计结果如下，则这组数据的中位数为(B)A．30 B．32.8C．35.6 D．40[解析]由频率分布直方图，可得区间[0,30]的频率为(0.005＋0.018＋0.020)×10＝0.43，0．025×10＝0.25，设这组数据的中位数为x0，则x0＝30＋eq\f(0.5－0.43,0.25)×10＝32.8.故选B.4．(2024·河北张家口模拟)高三年级有11名同学参与男子百米竞赛，预赛成果各不相同，要取前6名参与决赛，小亮同学已经知道了自己的成果，为了推断自己是否能进入决赛，他还须要知道11名同学成果的(D)A．平均数 B．方差C．极差 D．中位数[解析]11位同学参赛，按成果从高到低取前6位进入决赛，因此可依据中位数推断小亮是否能进入决赛．故选D.5．(2024·湖北九师联盟联考)某商场一年中各月份的收入、支出状况的统计如图所示，下列说法中正确的是(D)A．支出最高值与支出最低值的比是81B．4至6月份的平均收入为50万元C．利润最高的月份是2月份D．2至3月份的收入的变更率与11至12月份的收入的变更相同[解析]由图可知，支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，其比是61，故A错误；4至6月份的平均收入为eq\f(1,3)(50＋30＋40)＝40万元，故B错误；利润最高的月份为3月份和10月份，故C错误；2至3月份的收入的变更率与11至12月份的收入的变更相同，故D正确．故选D.6．(2024·山东青岛质检)已知一个样本，样本容量为10，平均数为15，方差为3，现从样本中去掉一个数据15，此时样本的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，方差为s2，则(C)A.eq\o(x,\s\up6(－))>15，s2<3 B．eq\o(x,\s\up6(－))<15，s2>3C.eq\o(x,\s\up6(－))＝15，s2>3 D．eq\o(x,\s\up6(－))＝15，s2<3[解析]设另外9个数分别为ai(i＝1,2，…，9)，则eq\o(∑,\s\up6(9),\s\do4(i＝1))ai＝15×9，故eq\o(x,\s\up6(－))＝15，又eq\f(\o(∑,\s\up6(9),\s\do4(i＝1))ai－152＋15－152,10)＝3，即eq\o(∑,\s\up6(9),\s\do4(i＝1))(ai－15)2＝30，∴s2＝eq\f(\o(∑,\s\up6(9),\s\do4(i＝1))ai－152,9)＝eq\f(30,9)＝eq\f(10,3)>3，故选C.7．(2024·安徽名校联考)为促进精准扶贫，某县安排引进一批果树树苗免费供应应贫困户种植．为了解果树树苗的生长状况，现从甲、乙两个品种中各随机抽取了100株，进行高度测量，并将高度数据制作成了如图所示的频率分布直方图．由频率分布直方图求得甲、乙两个品种高度的平均值都是66.5，用样本估计总体，则下列描述正确的是(D)A．甲品种的平均高度高于乙品种，且乙品种比甲品种长的整齐B．乙品种的平均高度高于甲品种，且甲品种比乙品种长的整齐C．甲、乙品种的平均高度差不多，且甲品种比乙品种长的整齐D．甲、乙品种的平均高度差不多，且乙品种比甲品种长的整齐[解析]由题知，甲、乙两个品种高度的平均值相同均为66.5，即甲、乙品种的平均高度差不多，从频率分布直方图可以看出乙品种比甲品种高度更集中，长的整齐．故选D.8．(2024·广西柳州模拟)某校组织全体学生参与了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的学问竞赛，随机抽取了100名学生进行成果统计，发觉抽取的学生的成果都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组的取值区间均为左闭右开区间)，画出频率分布直方图(如图)，下列说法不正确的是(D)A．在被抽取的学生中，成果在区间[90,100)内的学生有10人B．这100名学生成果的众数为85C．估计全校学生成果的平均分数为78D．这100名学生成果的中位数为80[解析]选项A：成果在区间[90,100)的频率为0.01×10＝0.1，则人数为100×0.1＝10，故正确；选项B：由频率分布直方图可知，学生成果的众数为85，故正确；选项C：全校学生成果的平均分数为0.01×55×10＋0.015×65×10＋0.02×75×10＋0.045×85×10＋0.01×95×10＝78，故正确；选项D：成果在区间[50,60)的频率为0.1，成果在区间[60,70)的频率为0.15，成果在区间[70,80)的频率为0.2，成果在区间[80,90)的频率为0.45，由0.1＋0.15＋0.2＝0.45<0.5，所以这100名学生成果的中位数在[80,90)之间，设为x，则(x－80)×0.045＝0.5－0.45＝0.05，解得x≈81.11，故不正确．故选D.二、多选题9．(2024·四川达州诊断改编)随着消费者环保意识的增加，新能源汽车得到了消费者的青睐．如图是某品牌的新能源汽车在今年的前8个月的销量(单位：辆)状况，以下描述正确的是(ACD)A．这8个月销量的极差是3258B．这8个月销量的中位数是3194C．这8个月中2月份的销量最低D．这8个月中销量比前一个月增长最多的是4月份[解析]中位数为eq\f(3152＋3436,2)＝3294.故B错；A、C、D明显正确．10．(2024·江西红色七校联考)某高校共有15000名学生，为了了解学生课外图书阅读量状况，该校随机地从全校学生抽取1000名，统计他们每年阅读的书籍数量，由此来估计全体学生当年的阅读书籍数量的状况，下列估计中不正确的是(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表)(ACD)A．众数为10B．平均数为6.88C．中位数为6D．该校读书不低于8本的人数约为3600人[解析]A：由图知：众数在[4,8]，故众数为6，错误；B：平均数为4×(2×0.06＋6×0.1＋10×0.07＋14×0.015＋18×0.005)＝6.88，正确；C：由图知：中位数x在[4,8]，所以0.06×4＋0.1×(x－4)＝0.5，解得x＝6.6，错误；D：由图知：该校读书不低于8本的频率之和为1－0.16×4＝0.36，所以该校读书不低于8本的人数约为0.36×15000＝5400人，错误．故选ACD.11．(2024·广东韶关综合测试)在一次演讲竞赛中，以下表格数据是5位评委给甲、乙两名选手评出的成果，则下列说法正确的是(ABD)甲乙86909592879188938895A.甲选手成果的极差大于乙选手成果的极差B．甲选手成果的中位数小于乙选手成果的中位数C．甲选手成果的方差小于乙选手成果的方差D．甲选手成果的平均数小于乙选手成果的平均数[解析]依据极差的概念，可知甲选手成果的极差为9，乙选手成果的极差为7，故A正确；易知甲成果的中位数是90，乙成果的中位数是91，故B正确；甲选手成果的平均数为eq\f(1,5)(86＋87＋90＋92＋95)＝90，方差为eq\f(1,5)[(86－90)2＋(90－90)2＋(95－90)2＋(92－90)2＋(87－90)2]＝eq\f(54,5)，乙选手成果的平均数为(88＋88＋91＋93＋95)×eq\f(1,5)＝91，方差为eq\f(1,5)[(88－91)2＋(88－91)2＋(91－91)2＋(93－91)2＋(95－91)2]＝eq\f(38,5)，故C错误，D正确．故选ABD.三、填空题12．(2024·江西南昌摸底)某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是7,8,9,10,11,12,12,12,13,14，则这组数据的方差为_4.56__(参考数据：这组数据的平方和为1212)．[解析]由已知得eq\x\to(x)＝eq\f(7＋8＋9＋10＋11＋12＋12＋12＋13＋14,10)＝10.8，又eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝1212，方差s2＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)xi－\x\to(x)2,10)＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2,10)＝eq\f(1212－10×10.82,10)＝4.56.13．(2024·河南商丘、新乡联考)下图是某高速马路测速点在2024年2月1日8：00到18：00时测得的过往车辆的速度(单位：km/h)的频率分布直方图，则该频率分布直方图中m＝_0.04__，据此图可得在该段时间内过往车辆的平均速度约为_102__km/h.[解析]由频率分布直方图得：0.1＋0.3＋10m＋0.2＝1，解得m＝0.04；各组的频率自左向右依次为0.1,0.3,0.4,0.2，所以平均速度为85×0.1＋95×0.3＋105×0.4＋115×0.2＝102(km/h)．14．(2024·江西南昌一中、十中、南铁一中联考)某校高一某班的某次数学测试成果(满分为100分)的频率分布直方图受了不同程度的破坏，可见部分如图所示，数学成果如下：56,58,62,63,63,65,66,68,69,71,72,72,73,74,75,76,77,78,79，[80,90]部分数据丢失，95,98.则全班人数为_25__人；频率分布直方图中[80,90)上矩形的高为_0.016__.[解析](1)分数在[50,60]的频率为0.008×10＝0.08，全班人数为eq\f(2,0.08)＝25(人)．(2)分数在[80,90)的频数25－21＝4，∴频率直方图中[80,90)的矩形的高为eq\f(4,10×25)＝0.016.四、解答题15．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)频数62638228(1)作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)依据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？[解析](1)(2)质量指标值的样本平均数为eq\x\to(x)＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．B组实力提升1．(2024·全国Ⅱ)演讲竞赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成果时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(A)A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差[解析]记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的依次排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.2．(多选题)(2024·河北“五个一”名校联盟联考)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，现从中有放回的取出5个球并记录用球结果，则下列统计结果中可能取出6号球的是(AB)A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4D．中位数为3，极差为2[解析]对于A：若取出的5个球为1、1、2、5、6时，满意平均数为3，中位数为2，可以出现6号球，故A正确；对于B：若取出的5个球为2、2、3、4、6时，满意中位数为3，众数为2，可以出现6号球，故B正确；对于C：若平均数为2，方差为2.4，则方差s2>eq\f(1,5)(6－2)2＝3.2>2.4，所以不能出现6号球，故C错误；对于D：若中位数为3，极差为2，则取出的最大号为5，不能出现6号球，故D错误．故选AB.3．(多选题)(2024·湖北二模)已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是(BD)A．甲组数据的极差大于乙组数据的极差B．若甲，乙两组数据的平均数分别为eq\x\to(x1)，eq\x\to(x2)，则eq\x\to(x1)>eq\x\to(x2)C．若甲，乙两组数据的方差分别为seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，则seq\o\al(2,1)>seq\o\al(2,2)D．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数[解析]由折线图得：对于A，甲组数据的极差小于乙组数据的极差，故A错误；对于B，甲组数据除其次天数据图低于乙组数据，其他天数据都高于乙组数据，可知eq\x\to(x1)>eq\x\to(x2)，故B正确；对于C，甲组数据比乙组数据稳定，seq\o\al(2,1)<seq\o\al(2,2)，故C错误；对于D，甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，故D正确．故选BD.4．(2024·辽宁鞍山一中模拟)在考查某中学的学生身高时，已知全校共600名学生，其中有400名男生，200名女生，现从全校的学生身中学用分层抽样的方法抽取30名学生的身高作为样本，样本中男生身高的平均数为170，方差为16，女生身高的平均数为164，方差为25，则利用样本估计总体的平均值为_168__，估计总体的方差为_27__.[解析]易知抽取30名学生中，男生有20名，女生有10名，则样本估计总体的平均值为eq\f(20×170＋10×164,30)＝168，估计总体的方差为s2＝eq\f(1,30)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20×16＋10×25＋\f(20×10,20＋10)×170－1642))＝27.5．(2024·河南新乡模拟)甲、乙两人想参与某项竞赛，依据以往20次的测试，将样本数据分成[50,60)，[60,70)，