高中数学人教A版（2019） 选择性必修（第三册）同步练习：《作业》一分类变量与列联表综合篇

《作业推荐》一分类变量与列联表综合篇

一、解答题（共100分）

1.随着夏季的到来，冰枕成为市面上的一种热销产品，某厂家为了调查冰枕在当地大学的销售情况，作出调研，并将所得数据统

计如下表所示：

表一：

温度在30℃以下温度在30℃以上总计

女生103()40

男生402060

总计5050100

随后在该大学一个小卖部调查了冰枕的出售情况，并将某月的日销售件数（X）与销售天数（y）统计如下表所示:

表二：

第工天246810

y（件）3671012

（1）请根据表二中的数据——在下列网格纸中绘制散点图;

10

8

（2）请根据表二中提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程夕=5x+4；

（3）从（1）（2）中的数据及回归方程我们可以得到，销售件数随着销售天数的增长而增长，但无法判断男、女生对冰枕的选择

是否与温度有关，请结合表一中的数据，并自己设计方案来判段是否有99.9%的可能性说明购买冰枕的性别与温度相关.

参考数据及公式:

pg

0.1000.0500.0250.0100.0050.001

ko)

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

n

2

b=々=1——--,d=y-bx：K=歌?其中九=a+b+c+d.

£xj-nx2(a+d)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】(I)散点图见详解；(2)j>=l.lx+l；(3)有99.9%的可能性说明购买冰枕的性别与温度相关，具体见详解.

【解析】

【分析】

(1)根据表格中的数据——，直接绘制即可；

(2)根据参考数据，利用公式，求得回归直线的系数，即可求得结果；

(3)计算结合参考数据表，即可进行判断.

【详解】

(1)散点图如下所示：

12

10

8

6

4

2

10

(2)依题意，%=：x(2+4+6+8+10)=6,

y=1x(34-6+7+10+12)=7.6,

=4+16+364-64+100=220,

2:勺%=6+24+42+80+120=272,

r_^-tXiyi-Sxy_272-5x6x7.6_44_

b11

=产=220-5X62=G=LI，

.9.a=y—bx=7.6—1.1x6=1.

关于x的线性回归方程为夕=l.lx+1.

(3)采用独立性检验的方法进行说明:

因为Y的观测值版=喘熟鬻-16.7>10,828,

所以有99.9%的可能性说明购买冰枕的性别与温度相关.

【点睛】

本题考查散点图的绘制，回归直线方程的求解，以及《2的计算，属综合基础题.

2.为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全

校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：

超过1小时不超过1小时

男208

女12tn

(1)求"2,

(2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？

附:

P(犬女)0.0500.0100.001

k3.8416.63,^".-510.828

n(ad-bc)2

(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】(1),“=8,”=48(2)不能有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间超过1小时与性别有关.

【解析】

【分析】

(1)由分层抽样的概念，可按比例求出女生人数，从而得沅,出

(2)根据所给数据计算长后可得结论.

【详解】

(1)根据题意知该校有女生400人，

所以U=%，

20+8560

解得相=8,

所以"=20+8+12+8=48；

（2）根据题意填写列联表如下;

超过1小时的不超过1小时

合计

人数的人数

男20828

女12820

合计321648

根据列联表计算犬==今«0.6857<3.841.

查一表得P（K2>3.841）=0.050；

所以不能有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间超过1小时与性别有关.

【点睛】

本题考查分层抽样，考查独立性检验，属于基础题.

3.纪念币是一个国家为纪念国际或本国的政治、历史，文化等方面的重大事件、杰出人物、名胜古迹、珍稀动植物、体育赛事等

而发行的法定货币.我国在1984年首次发行纪念币，目前已发行了115套纪念币，这些纪念币深受邮币爱好者的喜爱与收,2019

年发行的第115套纪念币“双遗产之泰山币”是目前为止发行的第一套异形币，因为这套纪念币的多种特质，更加受到爱好者追

捧.某机构为调查我国公民对纪念币的喜爱态度，随机选了某城市某小区的50位居民调查，调查结果统计如下：

喜爱不喜爱合计

年龄不大于40岁24

年龄大于40岁40

合计2250

（1）根据已有数据，把表格数据填写完整；

（2）判断能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为不同年龄与纪念币的喜爱无关？

【答案】（1）列联表见解析；（2）能在犯错误的概率不超过1%的条件下认为不同年龄与纪念币的喜爱无关.

【解析】

【分析】

(1)根据题意，由列联表的结构分析可得其他数据，即可完善列联表,

(2)计算小的值，据此分析可得答案:

【详解】

解：(1)根据题意，设表中数据为

喜R不喜爱合计

年龄不大于40岁ab24

年龄大于40岁20cd

合计e2250

则有e+22=50,贝卜=28；

24+d=50,则d=26,

a+20=e=28,则a=8,

a+b=24,则b=16,

b+c=22,则c=6；

故列联表为：

喜爱不喜爱合计

年龄不大于40岁81624

年龄大于40岁20626

合计282250

(2)±(I)的列联表可得1=50*8X6-20X16)2=2„^8900=>6,635.

24X26X28X223003

故能在犯错误的概率不超过1%的条件下认为不同年龄与纪念币的喜爱无关.

【点睛】

本题考查独立性检验的应用，补全列联表及卡方的计算，属于基础题.

4.为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下:

是否需要志愿性别男女

需要4030

不需要160270

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(3)根据(2)的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由.

P(1>k)0.00.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)14%；(2)有；(3)能，理由见解析

【解析】

【分析】

(1)由500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助,即可求出需要志愿者提供帮助的老年人的比例;(2)通过列联表计算

K2=9.967,即可得出结论;(3)由(2)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该地区男性老年人与

女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，应该采用分层抽样的方法.

【详解】

解：(D,调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，

...该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为=14%.

(2)根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，(2=9.967.

V9.967>6.635,

有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.

(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要

帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法

比采用简单随机抽样方法更好.

【点睛】

本题主要考查列联表，考查独立性检验的应用,同时考查了运算求解的能力，分析问题和解决问题的能力，难度一般.

5.2016年9月15中秋节(农历八月十五)到来之际，某月饼销售企业进行了一项网上调查，得到如下数据:

男女合计

喜欢吃月饼人数(单位：万

504090

人)

不喜欢吃月饼人数(单位：万

302050

人)

合计8060140

为了进一步了解中秋节期间月饼的消费量，对参与调查的喜欢吃月饼的网友中秋节期间消费月饼的数量进行了抽样调查，得到如

卜数据：

0.0004

0.0003

0.00Q2

0.0001

0

已知该月饼厂所在销售范围内有30万人，并且该厂每年的销售份额约——占市场总量的35%.

(1)试根据所给数据分析，能否有90%以上的把握认为，喜欢吃月饼与性别有关？

_____n(ad-bc)2_____

参考公式与临界值表:

(a+ft)(c+d)(a+c)(b+d)'

其中：n=a+b+c+d

P(K2>k)0.1000.0500.0250.0100.001

k2.7063.8415.0246.63510.828

(2)若忽略不喜欢月饼者的消费量，请根据上述数据估计：该月饼厂恰好生产多少吨月饼恰好能满足市场需求？

【答案】(1)没有(2)182.25吨

【解析】

【分析】

(2)计算卡方系数再与2.706进行比较大小，即可得到答案；

(2)先求出a的值，再计算喜欢吃月饼的人数所占比例为，即可得答案.

【详解】

(1)由所给条件可得

“2n(ad-bc)2140(50x20-40x30)27_

(Q+b)(c+d)(Q+c)(b+d)80X60X90X5027

所以，没有90%以上的把握认为，喜欢吃月饼与性别有关.

(2)根据所给频率分布直方图可知，第三组数据和第四组数据的频率相同，都是：

1-500(0.0001+0.0002+0.0003+0.0004)_八Q-

2

则人均消费月饼的数量为：

750x0.0002x500+1250x0.0004x500+1750x0.25+2250x0.25

+2750x0.0003x500+3250x0.0001x500=1900(克)

喜欢吃月饼的人数所占比例为：誓=椅，

14014

根据市场占有份额，恰好满足月饼销售，该厂生产的月饼数量为：

1900x300000x-x0.35=128250000(克)=128.25(吨).

14

【点睛】

本题考查独立性检验和频率分布直方图的应用，考查数据处理能力，求解时注意计算的准确性和单位的换算.

6.眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防

近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名

学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图.

(1)若直方图中后三组的频数成等差数一列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；

(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下表中数据，

根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？

(3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中

任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.

.„2_n(adfc)z

,(a+D)(c+d)(a+c)(b+d)

K2

0.100.050.0250.0100.005

>i

k2.7063.8415.0246.6357.879

【答案】(I)144(2)能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系(3)详见解析

【解析】

【分析】

(1)由——题意可计算后三组的频数的总数，由其成等差数列可得后三组频数，可得视力在5.0以上的频率，可得全年级视力在

5.0以上的的人数；

(2)由题中数据计算炉的值，对照临界值表可得答案；

(3)由题意可计算出这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，可得

X可取0,1,2,分别计算出其概率，列出分布列，可得其数学期望.

【详解】

解：(1)由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后三组的频数成等差数列，共有100-(3+7+27)=63(人)

所以后三组频数依次为24,21,18,

所以视力在5.0以上的频率为0.18,

故全年级视力在5.0以上的的人数约为800x0.18=144人

嘴部磬=*7.895>7.879,

因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.

(3)调查的100名学生中不近视的共有24人，从中抽取8人，抽样比为《=这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别

243

有2人和6人，

X可取0,1,2,

P(X=O)=^=\P(X=1)=^=^="(X=2)=等=*,

CgNbCo/U/Go

X的分布列

X的数学期望E(X)=0x^+1x噂+2x1|=1.5.

2oZoZo

【点睛】

本题主要考杳频率分布直方图，独立性检测及离散型随机变量的期望与方差等相关知识，考查学生分析数据与处理数据的能力，

属于中档题.

7.2020年2月1日0:00时，英国顺利“脱欧”.在此之前，英国“脱欧”这件国际大事被社会各界广泛关注，英国大选之后，曾

预计将会在2020年1月31日完成“脱欧”，但是因为之前“脱欧”一直被延时，所以很多人认为并不能如期完成，某媒体随机

在人群中抽取了100人做调查，其中40岁以上的55人中有10人认为不能完成，40岁以下的人中认为能完成的占条

(1)完成2x2列联表，并回答能否有9(»的把握认为“预测国际大事的准确率与年龄有关”？

能完成不能完成合计

40岁以上

40岁以下

合计

(2)从上述100人中，采用按年龄分层抽样的方法，抽取20人，从这20人中再选取40岁以下的2人做深度调查，则2人中恰

有1人认为英国能够完成“脱欧”的概率为多少？

附表：

P0.010

0.1500.1000.0500.025

>

2.0722.7063.8415.0246.635

n{ad-bc')2

参考公式为:K?

(a+b)(c+d)(a+c)(d+d)

【答案】(I)联表详见解析，有90%的把握认为“预测国际大事的准确率与年龄有关"；(2)i

【解析】

【分析】

(1)由题意填写列联表,结合K2公式,即可求得答案；

(2)40岁以上人数为55,,40岁以下为45,比例为11:9,抽取的20人中,40岁以下为9人,其中有6人是认为可以完成的,记为

a,b,c,d,e,f,3人认为不能完成,记为4,B,C,结合已知，即可求得答案.

【详解】

(1)由题意可得列联表：

能完成不能完成合计

40岁以上451055

40岁以下301545

合计7525100

100x(45xl5-10x30)2_100

2

K=55x45x75x25=黄3.030

由附表知:P(K?>2.706)=0.100,fl.3.030>2.706,所以有90%的把握认为“预测国际大事的准确率与年龄有关”

(2)40岁以上人数为55,,40岁以下为45,比例为11:9,抽取的20人中,40岁以下为9人,其中有6人是认为可以完成的,记为

a,b,c,d,e,f,3人认为不能完成,记为4,B,C,

从这9人中抽取2人共有:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(a,A),(a,B),(a,C),

(b,c),(b,d),(4e),(bj),(44),(瓦B),(b,C),

(c,d),(c,e),(c,f),(c,4),(c,B),(c,C),

(d一,e),(d.f),(d,A),(d,B),(d,C)

(e,f),(e,A),(e,B),(e,C)

SA)，SB),(7,C)

(B,C)36个基本事件

设事件M:从20人中抽取2位40岁以下的,2人中恰有1人认为应该能够完成“脱欧”.

事件M共包括:(a,4),(a,8),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(c,A),(c,C),(d,A),(d,B),(d,C)

(e,A),(e,C),(f,A),(f,C)18个基本事件，

181

PW=36=2

所以从20人中抽取2位40岁以下的作深度调查,2人中恰有1人认为应该能够完成“脱欧”的一概率为去

【点睛】

本题主要考查了独立性—检验的实际应用和时间的概率，解题关键是掌握独立性检验基础知识和概率计算公式，考查了分析能力

和计算能力,属于基础题.

8.为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每

周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，4症状：入睡困难；B症状：醒得太早；C症状：不能深度入睡或做梦，得到的调杳数

据如下：

数据1：出现4症状人数为&5万，出现8症状人数为9.3万，出现C症状人数为6.5万，其中含4B症状同时出现1.8万人，AC症状

同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，4BC症状同时出现0.5万人：

数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.

(I)依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？

(II)根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？

失眠不失眠合计

患心脑血管疾病

不患心脑血管疾病

合计

参考数据如下:

PK>k0)0.500.400.250.150.10

ko0.4550.7081.3232.0722.706

P(K2>fc0)0.050.0250.0100.0050.001

ko3.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-bc)2

参考公式:K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】(I)比例大约为20%；(II)有95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在“强关联”.

【解析】

【分析】

(I)根据题设数据得到韦恩图各部分数据，再结合容斥原理，即得解；

(H)根据数据2填写表格,利用依=再湍簿两即得解.

【详解】

(I)设4=｛出现A症状的人｝、B=｛出现B症状的人｝、C=｛出现C症状的人｝(card表示有限集合元素个数)

根据数据1可知card(4nB)=1.8,card(i4nC)=1,card(BnC)=2,cardQ4nBnC)=0.5,所以

card(i4U8UC)=card(4)+card(B)+card(C)+card(4)—[card(i4nB)+card(AnC)+card(5nC)]+card(i4nBnC)

=8.5+9.3+6.5-(1.8+1+2)+0.5

=20

得患失眠症总人数为20万人，比例大约为20%

（II）根据数据2可得：

失眠人数（万）不失眠人数（万）

患病人数（万）5712

不患病人数（万）157388

2080100

100x(5x73-15x7)2

k2=«4.001>3.841

12x88x80x20

有95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在“强关联”.

【点睛】

本题考查了统计和集合综合，考查了容斥原理，卡方检验等知识点，考查了学生数据处理，数学应用，数学运算的能力，属于基

础题.

9.2019年12月16日，公安部联合阿里巴巴推出的“钱盾反诈机器人”正式上线，当普通民众接到电信网络诈骗电话，公安部钱

盾反诈预警系统预警到这一信息后，钱盾反诈机器人即自动拨打潜在受害人的电话予以提醒，来电信息显示为“公安反诈专号”.

某法制自媒体通过自媒体调查民众对这一信息的了解程度，从5000多参与调查者中随机抽取200个样本进行统计，得到如下数据：

男性不了解这一信息的有50人，了解这一信息的有80人，女性了解这一信息的有40人.

（1）完成下列2x2列联表，问：能否在犯错误的概率不超过0.0】的前提下，认为200个参与调查者是否了解这一信息与性别有

关？

了解不了解合计

男性

女性

合计

（2）该自媒体对200个样本中了解这一信息的调查者按照性别分组，用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人给

予一等奖，另外3人给予二等奖，求一等奖与二等奖获得者都有女性的概率.

_____n(ad-bc)2_____

附：K2=n=Q+b+c+d

(a+b)(Q+c)(c+d)(b+d)

P(K2>k)0.010.0050.001

k6.6357.87910.828

【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为200个参与调查者是否了解这一信息与性别有关.（2）（

【解析】

【分析】

（1）男性不了解这一信息的有50人，了解这一信息的有80人，女性了解这一信息的有40人，补全列联表.再根据2X2列联表,

代入求临界值的公式，求观测值，利用观测值临界表进行比较.

（2）根据了解这一信息的男女比例，确定抽取6人中，男女的人数，然后列举从6人中任取3人的基本事件的总数，再从中找出

含有一名女性的基本事件的个数，再代入古典概型概率公式求解.

【详解】

U）由随机抽取200个样本进行统计，男性不了解这一信息的有50人，了解这一信息的有80人，女性了解这一信息的有40人.

得2x2列联表如下，

了解不了解合计

男性8050130

女性40307()

合计12080200

on(ad-be)2200(30x80-40x50)2

K2=-------------------------------------=——-------------------------—=0.3663<6.635

(Q+b)(a+c)(c+d)(b+d)130x70x80x120

所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为200个参与调查者是否了解这一信息与性别有关.

(2)从了解这一信息的调查者按照性别分组，用分层抽样的方法抽取6人中，男性有含x6=4人，女性有2人，设男生编号为

1.2,3,4,女性编号分别为5,6,则“从这6人中任选3人”的基本事件有；

(I,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),(1,3,4),(1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(I,4,6),(1,5,6),(2,3,4),

(2,3,5)(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),

(2,5,6),(3,4,5)(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6)共20个

其中事件A“一等奖与二等奖获得者都有女性”的基本事件有

(1,2,5),(1,2,6),(1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(1,4,6),(2,3,5)(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(3,4,5)--

(3,4,6)共12个

所以一等奖与二等奖获得者都有女性的概率为］

【点睛】

本题主要考查独性检验和古典概型概率的求法，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.

10.某种植物感染a病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗a病毒的制剂，现对20株感染了a病毒的该植株样本进行喷

雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg)进行统计规定：植株

吸收在6mg(包括6mg)以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量

统计得下表.已知“植株存活''但”制剂吸收不足量'’的植株共1株.

04

编号0102030506070809