天津市部分区2024-2025学年高一数学下学期期末考试试题含解析

PAGE14-天津市部分区2024~2025学年度其次学期期末考试高一数学一、选择题1.下列命题正确的是（）A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面C.梯形可确定一个平面 D.圆心和圆上两点确定一个平面【答案】C【解析】【分析】依据公理对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A选项错误.对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B选项错误.对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确.对于D选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查公理的理解和运用，属于基础题.2.复数（是虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求得对应的坐标，由此得出正确选项.【详解】复数对应的坐标为，在第四象限.故选：D【点睛】本小题主要考查复数对应点所在象限的推断，属于基础题.3.用斜二测画法画边长为2的正方形的直观图时，以射线，分别为轴、轴的正半轴建立直角坐标系，在相应的斜角坐标系中得到直观图，则该直观图的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据原图和直观图面积关系，求得题目所求直观图的面积.【详解】设原图的面积为，直观图的面积为，则.正方形的面积为，所以其直观图的面积为.故选：A【点睛】本小题主要考查斜二测画法有关的面积计算，属于基础题.4.一个袋子中装有大小和质地相同的3个红球和2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中红球和白球各有1个的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用古典概型概率计算公式，求得所求的概率.【详解】依题意，这个球中红球和白球各有个概率为.故选:B【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.5.已知，，且，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】利用向量夹角公式求得向量与的夹角的余弦值，由此求得向量与的夹角.【详解】设向量与的夹角为，则，由于，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查向量夹角公式，属于基础题.6.在中，已知，，，则（）A.4 B.2 C.3 D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理求得的值.【详解】依题意.故选：D【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题.7.已知向量，则与平行的单位向量的坐标为（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】【分析】由单位向量的定义，计算，即得．【详解】由已知，所以与平行的单位向量为或．故选：D．【点睛】本题考查单位向量的概念，解题时要留意与与平行的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向．8.四名同学各掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.依据下面四名同学的统计结果，可以推断出肯定没有出现点数6的是（）（注：一组数据的平均数为，它的方差为）A.平均数为2，方差为2.4 B.中位数为3，众数为2C.平均数为3，中位数为2 D.中位数为3，方差为2.8【答案】A【解析】【分析】假设出现6点，依据均值估计方差的大小，错误的可举反例说明．【详解】若平均数2，若出现6点，则方差，不行能是2.4，因此A中肯定不会出现6点，其它选项可各举一反例：如，中位数是3，众数是2；如，平均数为3，中位数为2；如，中位数为3，方差为2.8．故选：A．【点睛】本题考查样本数据特征，驾驭均值，方差，中位数，众数等概念是解题基础．属于基础题．9.棱长为2的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的体积为（）（注：球的体积，其中为球的半径）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正方体的体对角线计算出球的直径，由此得到半径，进而求得球的体积.【详解】正方体的体对角线长为，设球的半径为，则，所以球的体积为.故选：C【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，属于基础题.10.已知的三个内角的对边分别为.向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，结合正弦定理进行化简，由此求得的值，进而求得的大小.【详解】由于，所以，即，由正弦定理得，，，由于，所以，所以，，由于，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，考查正弦定理，考查两角和与差的正弦公式、协助角公式，属于中档题.二、填空题11.已知甲、乙两名射击运动员射击中靶的概率分别为0.7和0.8，且甲、乙两人射击的结果互不影响.若甲、乙两人各射击一次，则两人都中靶的概率为_______.【答案】【解析】【分析】利用相互独立事务概率计算公式，计算出所求概率.【详解】依据相互独立事务概率计算公式可知，两人都中靶的概率为.故答案为：【点睛】本小题主要考查相互独立事务概率计算，属于基础题.12.已知四面体各棱的长均为1，则这个四面体的表面积为_______.【答案】【解析】【分析】四个面均为正三角形，计算出三角形面积后可得四面体的表面积．【详解】由题意四面体的表面积为．故答案为：．【点睛】本题考查正四面体的表面积，驾驭表面积的概念是解题基础．本题属于基础题．13.已知，是两个不共线的向量，，.若与是共线向量，则实数的值为______.【答案】【解析】【分析】依据向量共线定理求解．【详解】∵与是共线向量，∴存在实数，使得，即，∴，解得．故答案为：－4．【点睛】本题考查平面对量共线定理，属于基础题．14.在正方体中，对角线与底面所成角的正弦值为____________.【答案】【解析】分析：依据直线和平面所成角的定义即可得到结论．详解：连结AC，则AC是A1C在平面ABCD上射影，则∠A1CA即为直线A1C与平面ABCD所成角正弦值，设正方体的棱长为1，则，则，点晴：本题须要先找出线面角所成角的平面角，然后放在三角形中进行解决即可15.已知中，为边上的点，且，若，则______.【答案】【解析】【分析】以为基底表示出，由此求得，进而求得.【详解】依题意，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查平面对量的线性运算，属于基础题.三、解答题16.已知是虚数单位，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若复数的虚部为2，且的虚部为0，求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用复数的四则运算求出后可求其模.（Ⅱ）设，利用复数的乘法计算出后再依据虚部为0求出，从而可得.【详解】解：（Ⅰ），所以，（Ⅱ）设，则，因为的虚部为0，所以，，即.所以.【点睛】本题考查复数的乘法和除法，前者运算时留意分子分母同乘以分母的共轭复数，另外，对于含参数的复数问题，我们常通过将复数设成的形式将问题转化为实数问题.17.从某校高一年级学生中随机抽取了20名学生，将他们的数学检测成果（分）分成六段（满分100分，成果均为不低于40分的整数）：，，...，后，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求图中实数的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生600名，试依据以上数据，估计该校高一年级数学检测成果不低于80分的人数.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）210.【解析】【分析】（Ⅰ）由等比数列性质及频率分布直方图，列出方程，能求出．（Ⅱ）利用频率分布直方图能求出成果不低于80分的人数．【详解】解：（Ⅰ）因为图中全部小矩形的面积之和等于1，所以，解得.（Ⅱ）依据频率分布直方图，成果不低于80分的频率为.由于该校高一年级共有学生600名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学检测成果不低于80分的人数为.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图，考查运算求解实力，考查函数与方程思想，属于基础题．18.在中，内角所对的边分别为，已知，，.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求角的正弦值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）用余弦定理计算出后可得；（Ⅱ）用正弦定理计算．【详解】解：（Ⅰ）由三角形的余弦定理，得.所以，.因为.所以.（Ⅱ）由三角形的正弦定理，得.所以内角的正弦值为.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，驾驭正弦定理和余弦定理是解题关键，本题属于基础题．19.己知某区甲、乙、丙三所学校的老师志愿者人数分别为240，160，80.为助力疫情防控，现采纳分层抽样的方法，从这三所学校的老师志愿者中抽取6名老师，参加“抗击疫情·你我同行”下卡口执勤值守专项行动.（Ⅰ）求应从甲、乙、丙三所学校的老师志愿者中分别抽取的人数；（Ⅱ）设抽出的6名老师志愿者分别记为，，，，，，现从中随机抽取2名老师志愿者担当测试体温工作.（i）试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；（ii）设为事务“抽取的2名老师志愿者来自同一所学校”，求事务发生的概率.【答案】（Ⅰ）3人，2人，1人；（Ⅱ）（i），，，，，，，，，，，，，，；（ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）依据分层抽样规则计算可得；（Ⅱ）（i）将全部可能结果一一列举，做到不重复不遗漏；（ii）依据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三所学校的老师志愿者人数之比为3:2:1由于采纳分层抽样的方法从中抽取6名老师，因此应从甲、乙、丙三所学校的老师志愿者中分别抽取3人，2人，1人.（Ⅱ）（ⅰ）从抽出的名老师中随机抽取2名老师的全部可能结果为，，，，，，，，，，，，，，，共15种.（ⅱ）由（Ⅰ），不妨设抽出的6名老师中，来自甲学校的是，，，来自乙学校的是，，来自丙学校的是，则从抽出的6名老师中随机抽取的2名老师来自同一学校的全部可能结果为，，，，共4种.所以，事务发生的概率.【点睛】本题考查分层抽样及古典概型的概率计算，属于基础题.20.如