数学人教A必修5新一线应用案巩固提升31不等关系与不等式

[A基础达标]1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是()A．f(x)<g(x) B．f(x)＝g(x)C．f(x)>g(x) D．随x值变化而变化解析：选C.f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以f(x)>g(x)．故选C.2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示为()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y≥380，,z>45)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y>380，,z≥45))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>95，,y>380，,z>45)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y>380，,z>45))解析：选D.由题中x不低于95；即x≥95，y高于380，即y＞380；z超过45即z>45.3．已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是()A．a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) B．a＋eq\f(1,a)≥b＋eq\f(1,b)C.eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1) D．b－eq\f(1,b)>a－eq\f(1,a)解析：选A.因为a>b>0，所以eq\f(1,b)>eq\f(1,a)>0，所以a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a)，故选A.4．设a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是()A．ab>bc B．ac>bcC．ab>ac D．a|b|>c|b|解析：选C.因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，b可正、可负、可为零．由b>c，a>0知，ab>ac.故选C.5．(2019·河南省实验中学模考)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列结论中不正确的是()A．a2<b2 B．ab<b2C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|解析：选D.因为eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，所以b<a<0，所以b2>a2，ab<b2，a＋b<0，所以A，B，C均正确，因为b<a<0，所以|a|＋|b|＝|a＋b|，故D错误，故选D.6．给出四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推得eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的是________．解析：eq\f(1,a)<eq\f(1,b)⇔eq\f(b－a,ab)<0，所以①②④能使它成立．答案：①②④7．一辆汽车原来每天行驶xkm，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程就超过2200km，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．解析：①原来每天行驶xkm，现在每天行驶(x＋19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2200km”，写成不等式为8(x＋19)>2200.②若每天行驶(x－12)km，则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”，写成不等式为8x>9(x－12)．答案：8(x＋19)>22008x>9(x－12)8．已知三个不等式①ab>0；②eq\f(c,a)>eq\f(d,b)；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．解析：①②⇒③，③①⇒②.(证明略)由②得eq\f(bc－ad,ab)>0，又由③得bc－ad>0.所以ab>0⇒①.所以可以组成3个正确命题．答案：39．已知a，b∈R，a＋b>0，试比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小．解：因为a＋b>0，(a－b)2≥0，所以a3＋b3－ab2－a2b＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)(a－b)(a＋b)＝(a－b)2(a＋b)≥0，所以a3＋b3≥ab2＋a2b.10．已知－2<a≤3，1≤b<2，试求下列代数式的取值范围．(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.解：(1)|a|∈[0，3]．(2)－1<a＋b<5.(3)依题意得－2<a≤3，－2<－b≤－1，相加得－4<a－b≤2；(4)由－2<a≤3得－4<2a≤6，①由1≤b<2得－6<－3b≤－3，②由①②得，－10<2a－3b≤3.[B能力提升]11．实数x，y，z满足x＋y＋z＝0，xyz>0，若T＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)，则()A．T>0 B．T<0C．T＝0 D．T≥0解析：选B.因为x＋y＋z＝0且xyz>0，不妨设x>0，则y<0，z<0，则T＝eq\f(xy＋yz＋xz,xyz)＝eq\f(y（x＋z）＋xz,xyz)＝eq\f(－y2＋xz,xyz).因为x>0，z<0，所以xz<0.又－y2<0，所以－y2＋xz<0.又xyz>0，所以T<0.故选B.12．已知0<a<eq\f(1,b)，且M＝eq\f(1,1＋a)＋eq\f(1,1＋b)，N＝eq\f(a,1＋a)＋eq\f(b,1＋b)，则M，N的大小关系是________．解析：因为0<a<eq\f(1,b)，所以1＋a>0，1＋b>0，1－ab>0，所以M－N＝eq\f(1－a,1＋a)＋eq\f(1－b,1＋b)＝eq\f(2－2ab,（1＋a）（1＋b）)>0，即M>N.答案：M>N13．若bc－ad≥0，bd＞0，求证：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).证明：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bc－ad≥0⇒bc≥ad,bd>0⇒\f(1,bd)>0))⇒eq\f(c,d)≥eq\f(a,b)⇒eq\f(c,d)＋1≥eq\f(a,b)＋1⇒eq\f(c＋d,d)≥eq\f(a＋b,b)⇒eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).14．(选做题)某家电生产企业计划在每周工时不超过40h的情况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：家电名称空调彩电冰箱工时/heq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,4)若每周生产空调x台、彩电y台，试写出满足题意的不等式组．解：由题意，知x≥0，y≥0，每周生产冰箱(120－x－y)台．因为每周所用工时不超过40h，所以eq\f(1,2)x＋eq\