2024-2025学年高中数学第三章统计案例单元综合测试含解析北师大版选修2-3

单元综合测试三(第三章综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是(D)A．任何两个变量都具有相关关系B．球的体积与该球的半径具有相关关系C．农作物产量与施肥量之间是一种确定性关系D．某商品的生产量与该商品的价格是一种非确定性关系解析：任何两个变量不肯定有相关关系，故A错；球的体积与该球的半径是函数关系而不是相关关系，故B错；农作物产量与施肥量之间是一种非确定的相关关系，故C错；某商品的生产量与该商品的销售价格之间是一种非确定性的关系，故D对．2．下列现象的相关程度最高的是(B)A．某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为0.87B．流通费用率与商业利润之间的相关系数为－0.94C．商品销售额与商业利润之间的相关系数为0.51D．商品销售额与流通费用率之间的相关系数为－0.81解析：|r|越接近1，相关程度越高．3．某商品销售量y(单位：件)与销售价格x(单位：元/件)负相关，则其回来方程可能是(A)A．y＝－10x＋200B．y＝10x＋200C．y＝－10x－200D．y＝10x－200解析：由y与x负相关，可解除B、D两个选项，而C选项中的y＝－10x－200<0不符合实际，故选A.4．依据如下样本数据得回来方程y＝bx＋a，则(B)x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0A.a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0解析：由题意可知大多数样本数据y随x的增大而减小，具有负的相关关系，所以b<0.又回来方程表示的直线经过样本点的中心(5.5,0.25)，所以a>0.故选B.5．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多总数喜爱玩电脑嬉戏18927不喜爱玩电脑嬉戏81523总数262450则认为喜爱玩电脑嬉戏与认为作业量的多少有关系的把握大约是(B)A．99% B．95%C．90% D．无充分依据解析：由表中数据得χ2＝eq\f(50×18×15－8×92,26×24×27×23)≈5.059>3.841，所以约有95%的把握认为两变量之间有关系．6．已知数据(3,2.5)，(4,3)，(5,4)，(6,4.5)线性相关，则其回来直线方程为(A)A．y＝0.7x＋0.35 B．y＝x－3C．y＝0.5x＋0.3 D．y＝－0.4x＋5.1解析：方法一：∵所给数据eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，eq\x\to(y)＝eq\f(2.5＋3＋4＋4.5,4)＝3.5，阅历证y＝0.7x＋0.35经过(4.5,3.5)，而另三项不经过(4.5,3.5)，∴选A.方法二：计算eq\x\to(x)＝4.5，eq\x\to(y)＝3.5，又eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5.eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝9＋16＋25＋36＝86，∴b＝eq\f(66.5－4×4.5×3.5,86－4×4.52)＝0.7，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝3.5－0.7×4.5＝0.35.∴所求线性回来直线方程为：y＝0.7x＋0.35.7．下表是甲、乙两个班级进行数学考试，按学生考试及格与不及格统计成果后的2×2列联表：不及格及格合计甲班123345乙班93645合计216990则χ2的值为(A)A．0.559B．0.456C．0.443D．0.4解析：χ2＝eq\f(90×12×36－9×332,45×45×21×69)≈0.559.8．在某次独立性检验中，得到如下列联表：Aeq\x\to(A)总计B2008001000eq\x\to(B)180a180＋a总计380800＋a1180＋a最终发觉，两个分类变量A和B没有任何关系，则a的值可能是(B)A．200B．720C．100D．180解析：依据题意，结合列联表可知eq\f(200,1000)和eq\f(180,180＋a)基本相等，检验可知，B满意条件．故选B.9．某工厂为预料某种产品的回收率y，须要探讨它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取了8组视察值．计算知eq\i\su(i＝1,8,x)i＝52，eq\i\su(i＝1,8,y)i＝228，eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)＝478，eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝1849，则y对x的线性回来方程是(A)A．y＝11.47＋2.62xB．y＝－11.47＋2.62xC．y＝2.62＋11.47xD．y＝11.47－2.62x解析：由已知条件得eq\x\to(x)＝6.5，eq\x\to(y)＝28.5.由b＝eq\f(\i\su(i＝1,8,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,8,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)，计算得b≈2.62，a≈11.47，所以y＝11.47＋2.62x.10．对某校高一学生进行心理障碍(其中焦虑、说谎、懒散都是心理障碍)测试得到如下列联表：焦虑说谎懒散总计女生5101530男生20105080总计252065110下列说法正确的是(B)A．在这三种心理障碍中与性别关系最大的是焦虑B．在这三种心理障碍中与性别关系最大的是说谎C．在这三种心理障碍中与性别关系最大的是懒散D．这三种心理障碍与性别有关系的概率一样大解析：本题主要考查独立性检验等基础学问．对于焦虑、说谎、懒散三种心理障碍分别构造三个统计量χeq\o\al(2,1)，χeq\o\al(2,2)，χeq\o\al(2,3)，由表中数据可得χeq\o\al(2,1)＝eq\f(110×5×60－25×202,30×80×25×85)≈0.863，χeq\o\al(2,2)＝eq\f(110×10×70－20×102,30×80×20×90)≈6.366，χeq\o\al(2,3)＝eq\f(110×15×30－15×502,30×80×65×45)≈1.410.因为χeq\o\al(2,2)的值最大，所以说谎与性别关系最大，故选B.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．为了推断中学三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科男1310女720依据表中数据，得到χ2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844.则有95%的把握，认为选修文科与性别有关系．解析：∵χ2＝4.844>3.841，∴至少有95%的把握认为是否选修文科与性别有关．12．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y＝3e2x＋1的图像旁边，则可通过转换得到的线性回来方程为y＝1＋ln3＋2x.解析：由y＝3e2x＋1，得lny＝ln(3e2x＋1)，即lny＝ln3＋2x＋1.令u＝lny，v＝x，则线性回来方程为u＝1＋ln3＋2v.13．如下图是依据某集团1993年至2013年的出口贸易额的原始数据得到的散点图．给出下列公式：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋b；③y＝a·ebx，依据该散点图的特征，可得拟合程度最不好的公式的序号为①.解析：本题考查回来方程模型的选用．由散点图可知，数据分布呈单调递增趋势，且递增的速度越来越快，并且可视察到样本数据点并不分布在一条直线的四周，因此不宜用线性回来方程来拟合，所以直线y＝ax＋b拟合程度最不好．14．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为0.5；用线性回来分析的方法，预料小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53.解析：平均命中率eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5；经计算可得eq\x\to(x)＝3，b＝0.01，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝0.47，∴y＝0.01x＋0.47，令x＝6，得y＝0.53.15．某工厂对新研发的一种产品进行试销，得到如下数据表：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(万件)908483807568已知销量y与单价x具有线性相关关系，该工厂每件产品的成本为5.5元，请你利用所求的线性相关关系预料：要使得利润最大，单价应当定为9元．附：线性回来方程y＝bx＋a中斜率和截距的最小二乘估计公式：b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).解析：由已知得eq\x\to(x)＝eq\f(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9,6)＝8.5，eq\x\to(y)＝eq\f(90＋84＋83＋80＋75＋68,6)＝80.代入公式可得b＝－20，则a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝250.所以回来方程为y＝－20x＋250，利润z＝(x－5.5)y＝(x－5.5)(－20x＋250)＝－20(x－5.5)(x－12.5)．对称轴为x＝9，所以要使得利润最大，单价应当定为9元．三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本题满分12分)在国家未实施西部开发战略前，一新闻单位在应届高校毕业生中随机抽取1000人问卷，只有80人志愿加入西部建设．而国家实施西部开发战略后，随机抽取1200名应届高校毕业生问卷，有400人志愿加入国家西部建设．依据以上数据建立一个2×2的列联表．解：2×2的列联表如下：志愿者非志愿者总计开发战略公布前809201000开发战略公布后4008001200总计4801720220017.(本题满分12分)男性更简单患色盲吗？某机构随机调查了1000人，调查结果如下表(单位：人)：试问：男性是否更有可能患色盲？解：问题是推断患色盲是否与性别有关，由题目所给数据得到如下列联表(单位：人)：由公式计算得χ2＝eq\f(1000×442×6－514×382,956×44×480×520)≈27.139.由于27.139>6.635，所以有99%以上的把握认为患色盲与性别有关．结合男、女色盲比例分别为eq\f(19,221)和eq\f(3,257)且eq\f(19,221)>eq\f(3,257)可认为男性更有可能患色盲．18．(本题满分12分)对一作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到数据如下表：时刻x/(s)12345678位置观测值y/(cm)5.547.5210.0211.7315.6916.1216.9821.06(1)画出散点图；(2)求位置y和时刻x的线性相关系数；(3)试估计当x＝9s时的位置y的值．解：(1)作出散点图，如图所示．由图可以看出，y与x呈现出近似的线性关系．(2)由表中数据计算得eq\x\to(x)＝4.5，eq\x\to(y)＝13.0825，eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)＝204，eq\i\su(i＝1,8,y)eq\o\al(2,i)＝1563.1098，eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝560.07，故位置y和时刻x的线性相关系数r≈0.987.(3)由相关系数r≈0.987知，两个变量有较强的线性相关程度．由公式计算可得b≈2.1214，a≈3.5361，故y对x的线性回来方程为y＝3.5361＋2.1214x.当x＝9s时，位置y的估计值为3．5361＋2.1214×9＝22.6287(cm)．19．(本题满分12分)在某次试验中，有两个试验数据x，y，统计的结果如下面的表格1.x12345y23445表格1(1)在给出的坐标系中画出数据(x，y)的散点图．(2)补全表格2，然后依据表格2的内容和公式b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).序号xyx2xy112122234633491244416165552525∑表格2①求出y对x的回来直线方程y＝a＋bx中回来系数a，b；②估计当x为10时y的值是多少．解：(1)数据(x，y)的散点图如图所示：(2)表格如下：序号xyx2xy112122234633491244416165552525∑15185561①计算得eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝3.6，因为b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(61－5×3×3.6,55－5×32)＝0.7，所以a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝3.6－0.7×3＝1.5，所以y＝a＋bx＝1.5＋0.7x，②当x为10时，y＝8.5.20．(本题满分13分)为考察中学生是否喜爱数学课程与性别之间的关系，在某城市的某校中学生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：性别与喜爱数学课程列联表喜爱数学课程不喜爱数学课程合计男3785122女35143178合计72228300由表中数据计算得χ2＝4.514.中学生的性别与是否喜爱数学课程之间是否有关系？为什么？解：可以有95%的把握认为“性别与喜爱数学课之间有关系”．作出这种推断的依据是独立性检验的基本思想，详细过程如下：分别用a，b，c，d表示样本中喜爱数学课的男生人数，不喜爱数学课的男生人数，喜爱数学课的女生人数，不喜爱数学课的女生人数．假如性别与是否喜爱数学课有关系，则男生中喜爱数学课的比例eq\f(a,a＋b)与女生中喜爱数学课的人数比例eq\f(c,c＋d)应当相差许多，即|eq\f(a,a＋b)－eq\f(c,c＋d)|＝|eq\f(ad－bc,a＋bc＋d)|应很大．将上式等号右边的式子乘以常数eq\f(\r(a＋b＋c＋da＋bc＋d),\r(a＋cb＋d))，然后平方得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.因此χ2越大，“性别与喜爱数学课之间有关系”成立的可能性越大．另一方面，假设“性别与喜爱数学课之间没有关系”为事务A，由于事务A＝{χ2>3.841}的概率为P(χ2>3.841)≈0.05，因此事务A是一个小概率事务．而由样本数据计算得χ2＝4.514，这表明小概率事务A发生．依据假设检验的基本原理，我们应当断定“性别与喜爱数学课之间有关系”成立，并且这种推断出错的可能性约为5%.所以，约有95%的把握认为“性别与喜爱数学课之间有关系”．21．(本题满分14分)一个车间为了规定工时定额，须要确定加工零件数与所花费时间的关系，为此进行了10次试验，测得的数据如下表：零件数x(个)102030405060708090100加工时间y(分钟)626875818995102108115122(1)y与x是否具有线性相关关系？(2)假如y与x具有线性相关关系，求线性回来方程；(3)说明求出的线性回来方程的意义，并预料加工200个零件所用的时间约为多少(精确到1分钟)．解：由题中所给条件作出下面数据表.i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi62013602250324044505700714086401035012200eq\x\to(x)＝55，eq\x\to(y)＝91.7，eq\i\su(i＝