人教A版必修第二册8 6 3 平面与平面垂直练习

【基础】863平面与平面垂直优选练习

一.单项选择（）

1.设a为平面，a,。为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）

A.若a//a,hila?贝p若a_La,allb则Z7_La

iiii

C.若a_La,a_L。，\^bl/ap若a//a,aLbt则〃_La

2.如图，入43c内接于圆°,AB是圆。的直径，

DC=BE,DCUBE,DC±CB,DC1CA,则三棱锥E-ABC体积的最

大值为（）

J_I12

A.4B.3C.2D.3

3.已知点A.3在平面a的两侧，则点A.B到a的距离分别为3和5,则16的中点

到a的距离为（）

A.4B.3C.2D.1

4.设m,n是不同的直线，。，B,/是不同的平面，下列命题正确的是（）

A.若mlla,〃ua,则tnlln

B若相〃夕，B,mua,〃ua,则a〃/?

c.W,m,B,则加〃a

D.若a_L/,01丫，aC\j3=m（〃uy,则加_L〃

5.设a.夕是空间两个不同平面，a.0是空间三条不同直线，下列命题为真命题

的是（）

A.若a%,bHa,则R/尸

B.若直线。与力相交，alia,blip则a与月相交

C.若a，力,aHa,则尸

D若a_LA,ac[3=a,bua,bLa,c工/3,则Z?〃c

6.在四面体ABCD中，下列条件不能得出AB_LCD的是（）

AABJ_BC且AB_LBDB.

C.AC=AD且BC=BDD.ACJ_BC且ADJLBD

7.已知"，0为不同直线，a,A为不同平面，则下列结论正确的是（）

A.若a'。，则初^B.若。,bua,川甲，夕甲,则a〃尸

C.若alla,b工0,allbt则■月D.若尸=匕，aua,aJ./?,则aJ-月

8.已知空间几何体ABC。是由圆柱切割而成的阴影部分构成，其中A,8为下底面圆

直径的两个端点，C,0为上底面圆直径的两个端点，且A5,CO,圆柱底面半径是

1,高是2,则空间几何体ABC。可以无缝的穿过下列哪个图形（）

A.椭圆B.等腰直角三角形C.正三角形D.正方形

9.已知‘"，〃，’是三条不同的直线，a,£是两个不同的平面，则下列结论一定正

确的是（）

A.若〃ua,lua,/〃_!_〃，则加_La

g若〃z/〃，Illa,则根//a

Q若mJ_〃，〃_L/,I工B,则〃2,尸

D若m//a,a///7,则帆_L〃

10.关于直线加，〃与平面a、B,有下列四个命题，其中真命题的序号是（）

①〃〃/a,〃//4且a//月，则加〃〃；

②m_La,〃，尸且口，尸，则根J_〃；

③机_La,"〃尸且。//4，则〃?_L〃；

④〃/z/a,且a>L/?,则〃〃/〃,

A.①②B.③④C.①④D.②③

11.已知直线4.匕和平面a,下列说法中不正确的有（）个

（1）.若a〃a,〃a,则a//b.（2）.若。例，b1/a,则a//a.鸣）.若al/a,bua,

则a〃H（4）.直线〃平行于平面a内的无数条直线，则a〃a.

A.1B.2C.3D.4

12.四棱锥P-ABC。中，小=尸8=及，其余各棱的长均为2,则点P到平面A3CD

的距离为（）

1立5叵

A.2B.2c.了D.4

13.蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连

接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是l"。28',这

样的设计含有深刻的数学原理.我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有《谈

谈与蜂房结构有关的数学问题》.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在正六棱柱

ABCDEF-A!B'C'DE'的三个顶点4。，七处分别用平面BFM,平面BDO,平面

DFN截掉三个相等的三棱锥M-ABF,O-BCD,N-OE尸，平面BFM，平面的，

平面DFN交于点、P,就形成了蜂巢的结构.

D

如图，设平面PB°D与正六边形底面所成的二面角的大小为o,贝ijcose=_______.（用

含tan54°44'的代数式表示）

14.下列说法正确的是（）

A.如果直线,不平行于平面0，那么平面a不存在与/平行的直线

B.如果直线〃/平面a,平面a〃平面夕，那么直线〃/平面£

C.如果直线/与平面a相交，平面a〃平面£,那么直线/与平面£也相交

D.如果平面a，平面/,平面尸3•面/,那么平面a〃平面£

15.在正方体AB。。—46cA中，E是线段上的动点，尸是线段上的动点,

且瓦厂不重合，则直线与直线M的位置关系是（）

A.相交且垂直B.共面C.平行D.异面且垂直

参考答案与试题解析

1.【答案】B

【解析】利用空间线线.线面.面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解.

详解：若“"a,b//a,则。与人相交.平行或异面，故A错误；

若a'a,allbt则由直线与平面垂直的判定定理知,故8正确；

11

若a'a,alb,则力//。或bua,故C错误；

若a"a,'aJb,则人〃。，或匕ua,或6与a相交，故。错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.

2.【答案】B

【解析】根据已知证明物上平面.C,只要设AC=x，贝

222

VF_ABC=-x-A/4-X=—Jx(4-x)

从而可得体积‘66、''，利用基本不等式可得最大值.

详解：因为DC=BE,DC"BE,所以四边形OC8E为平行四边形.又因为

DC.LCB,DC.LC4,CBcCA=C,CBu平面ABCCAu平面ABC,

所以。C,平面ABC,所以8E1平面ABC.在直角三角形ABE中，AB=2EB=2,

设4C=x,则8C=j4—x2（o<x<2）,

所以22，所

22

22x+4-xY

222X（4-X）<

VEABC=-x-V4-x=-Jx（4-x）^，

以人又因为

66VI,当且仅

x2+4-x2

X2（4-X2）<

、2­

当7,即时等号成立,

(VF"c)=~

所以J.

故选：B.

【点睛】

本题考查求棱锥体积的最大值.解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后

设出底面三角形一边长为x,用建立体积V与边长X的函数关系，由基本不等式得最值,

或由函数的性质得最值.

3.【答案】D

【解析】如图，设48的中点为G过48分别作平面0的垂线，垂足为A.B：

则A4'〃5B',四点共面.过。作CC'_LAB\垂足为C,则℃'〃/W,

又AA_La,则CCa.即CC即为所求点到平面a的距离.

,,CC="+5_1

在平面中，AA=5,B8'=3,。为四中点，则2

故选：D.

4.【答案】D

【解析】A.由m//n或异面判断；B.由或相交判断；C.由则mHa或加ua判断;

D.由面面垂直的性质判断.

详解：A.若〃〃/a,"ua,则〃〃/〃或异面，故错误；

B若加〃尸，〃〃£,mua,〃ua,则。〃力或相交，故错误；

C.若二，尸，加，，，则加〃a或机ua,故错误；

D.若八丫,£口£=加，则加工/,又口,所以加上〃，故正确.

故选：D

【点睛】

本题主要考查命题的真假判断，空间中线线.线面.面面间的位置关系，还考查了空间

想象和逻辑推理的能力，属于中档题.

5.【答案】D

【解析】分析：根据已知条件直线判断ABC各选项中线面.面面的位置关系，可判断ABC

选项的正误，利用面面垂直和线面垂直的性质可判断D选项的正误.

详解：对于A选项，若a"P,bHa,则bl/蜀u/3,卜选项错误；

对于B选项，若直线。与匕相交，"a,blip则a与,相交或平行，B选项错误；

对于C选项，若aL0,alia,则a与/的位置关系不确定，C选项错误；

对于D选项，若,ac/3二a,bua,ka,由面面垂直的性质可得",〃，

,•,c'B,所以，R/c,D选项正确.

故选：I).

6.【答案】D

【解析】在几何体中选取边长的中点，运用等腰三角形的性质，直线平面的垂直，平面

与平面的垂直问题判断即可得出答案.

®VAB±BD,AB±BC,BDABC=B,

AABlffiBCD,

VCD?面BCD,

AABICD,

②设A在面BCD射影为0,AO_L面BCD,

VAD1BC,AC1BD,

.•.0为4BCD的垂心

连接BO,贝!]B01CD,AOICD

ACDlffiABO.

VAB?面ABO.

AAB±CD,

③取CD中点G,连接BG,AG,

VAC=AD且BC=BD,

ACDIBG,CD1AG,

VBGnAG=G,

ACDlffiABG,

VAB?ffiABG

AAB±CD,

综上选项A,B,C能够得出ABLCD,

故选D

【点睛】

本题综合考查了空间几何体中点直线，平面的垂直问题，关键是利用平面几何知识，空

间直线平面的性质定理，判定定理转化直线的位置关系判断即可.

7.【答案】C

【解析】A选项，若a'a,bYa,则。〃。或8ua,A错;

B选项，若a,bua,3甲，blipt当a//b时，a与P可能相交，故B错；

C选项，若出比,S/3,根据线面垂直的性质，可得尸，又a〃a,根据面面垂直

的判定定理，可得a，耳，故C正确；

11

D选项，若aC"aua,a工b,垂直于交线，并不能推出垂直于另一平面，因

此不能得出。工尸，即不能推出&工尸.故D错；

故选：C.

8.【答案】D

【解析】分析：由题意可知/3=CD=2,且该几何体的高也是2,A中直接根据椭圆

的几何性质可知A不符合题意；B.C中设°为8的中点，连接OA,OB,易得AAO3

既不是直角三角形，也不是正三角形，均不符合题意；D中边长为2的正方形恰好和以

A8为直径的圆相切，符合题意.

详解：解：由题意可知钻=8=2,且该几何体的高也是2,

A中，若椭圆的长轴长为2,短轴长小于2,则几何体无法穿过，若椭圆的短轴长为2,

长轴长大于2,则几何体穿过时有缝隙，均不符合题意；

B中，设°为8的中点，连接OA,0B,则易证为二面角A-CD-3的平面

角，易求得°A=°B=逐，而AB=2,则AAO8不是直角三角形，故B不符合题意;

C中，由B中结论，0A=°8HA3,MOB不是正三角形，故c不符合题意；

D中，由题意，边长为2的正方形恰好和以AB为直径的圆相切，故D符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题主要考查几何体的截面问题，考查几何体的结构特征，考查空间想象能力与逻辑推

理能力，属于中档题.

9.【答案】I)

【解析】对于A项，需要加上〃与,相交才符合线面垂直的判定定理，故A错误；

对于B项，有可能mua,故6错误；

对于C项，加与用没有关系，斜交？垂直平行都有可能，故C错误；

对于D项，若〃，尸，a/f,则〃J_a,而加〃a,故故D正确.

故选:D.

10.【答案】D

【解析】根据线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理，对四个结论逐一进行分析，

易得到答案.

详解：若m//a,"//6且a//尸，则m,〃可能平行也可能异面，也可以相交，故①

错误；

若加J_a,〃_L/?且a_L〃，则加！•〃，故②正确；

证明：夕=，，Pel,在01内作"/,在夕内作

Qa工B,二面角。_/一,是直二面角，,

又由aJL〃，。口尸=/,aua,a上0,

•・•相上0,：.a//n.同理力//根，故加_L〃.

若帆_La,〃///且&//，，则相_L〃，故③正确；

证明：过〃作平面/n/=c,〃///,.-.n//c

•：mLaal甲，z.m1/?；cu。,:.mlct故相

若m//a,〃'/?且则阳，〃可能相交？平行也可能异面，故④错误

故选:D

【点睛】

考查线线平行与垂直的判定，基础题.

H.【答案】D

【解析】根据直线.平面间的位置关系进行判断，

详解：由直线匕和平面a,得：

在A中，若a〃a,bHa,则“与人相交.平行或异面，故A错误；

在B中，若aHb,blla,则a〃a或aua,故B错误；

在C中，若a〃a,bua,则。与力平行或异面，故c错误；

在D中，直线。平行于平面a内的无数条直线，则a〃a或aua,故D错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查命题的真假判断，掌握空间直线.平面间位置关系是解题关键.

12.【答案】B

【解析】如图，取AB中点E,8中点尸，连接心，PF,EF,

所以PE_LAB,PFLCD,且尸石=1,EF=2,PF=6,

所以PE2+PF2=EF2,所以PE_LPF,

sm/PEF=及百

所以EF2

因为％_LA。，EFVAD,PEcEF=E,所以AO,平面PEE,

因为AOu平面ABC。，所以平面。石尸_L平面ABC。,

过尸作PG_LEF于G,则PG_L平面ABC。，

所以PG就是点p到平面ABC。的距离，

PG=PE-sinZPEF=ix—=^-

所以22

所以点P到平面ABC。的距离为2,

故选：B.

13.［答案］一曲一

3tan54°44'

【解析】先证明一个结论：如图，A"。在平面a内的射影为△ABC,C-AB-C

证明：如图，在平面△内作CE_LA8,垂足为E,连接EC,因为在平面a内

的射影为△ABC,故CC'La,因为ABua,故CC'_LAB,因为CEcAB=E,

故AB_L平面ECC'.因为EC'u平面ECC,故CE_LA5，所以4CEC为二面角的平

rFC'V

cosZ.CEC=cos0=-----=白旭c

面角，所以NCEC'=。在直角三角形CEC中，ECS^BC.由

q

COS0=2XDBO

题设中的第二图可得：Sv.。