八年级数学人教版（上册）第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定

13.1.2线段的垂直平分线的性质第十三章轴对称第1课时线段的垂直平分线的性质和判定目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入新课导入教学目标教学重点学习重点学习难点1.能叙述出线段垂直平分线的性质2.能运用线段垂直平分线的性质解决有关问题3.能说出线段垂直平分线的判定方法.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题

学习目标新课导入某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ABC讲授新课典例精讲归纳总结讲授新课线段垂直平分线的性质如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，…到点A

与点B

的距离之间的数量关系．ABlP1P2P3探究发现P1A____P1BP2A____P2BP3A____P3B＝＝＝讲授新课猜想：点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离分别相等．命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.由此你能得到什么结论？你能验证这一结论吗？讲授新课已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P

在l上．求证：PA=PB．

证明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．

又

AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．PABlC验证结论讲授新课归

纳由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.利用判定两个三角形全等的方法，也可以证明这个性质.讲授新课

如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线

DE交AB，AC于点E，D，(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；(2)若BC＝4，求△BCD的周长．例题讲授新课导引：由DE是AB的垂直平分线，得AD＝BD，所以BD

与CD的长度和等于AC的长，所以由△BCD的周长可求BC的长，同样由BC的长也可求△BCD的

周长．解：∵DE是AB的垂直平分线，

∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.(1)∵△BCD的周长为8，∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.(2)∵BC＝4，∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.讲授新课总

结本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD的长转化成AD的长，从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC的长．本题中AC的长、BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，知其二可求第三者．讲授新课1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A.6B.5C.4D.32.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E,

△BCE的周长等于18cm,则AC的长是

.B10cmPABCD图①ABCDE图②练一练讲授新课8ABCDE3.如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于______．讲授新课

尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.ABCDEK已知：直线AB和AB外一点C

.求作：AB的垂线，使它经过点C

.作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.（2）以点C

为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.F例题讲授新课（1）为什么任意取一点K，使点K与点C在直线两旁？（2）为什么要以大于的长为半径作弧？（3）为什么直线CF就是所求作的垂线？想一想：讲授新课

已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC.BACMNM'N'PPA=PB=PCPB=PC点P在线段BC的垂直平分线上PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上解析：例题讲授新课证明：∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，∴PA=PB.同理PB=PC.∴PA=PB=PC.结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.现在你能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？讲授新课例题

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可得出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．(2)先根据线段垂直平分线的性质得出出AB＝BF，再结合（1）即可解答．讲授新课证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.讲授新课线段垂直平分线的判定想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？PAB合作探究已知：如图，PA=PB．求证：点P在线段AB

的垂直平分线上．讲授新课证明：过点P

作AB

的垂线PC，垂足为点C．则∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA

和Rt△PCB

中，

PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又

PC⊥AB，∴点P在线段AB

的垂直平分线上．PABC讲授新课知识要点线段垂直平分线的判定与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．应用格式：∵

PA=PB，∴点P

在AB

的垂直平分线上．PAB作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.讲授新课

这些点能组成什么几何图形？

你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB

两端点距离相等的点？

与A，B

的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与A、B两点

的距离相等的所有点的集合.PABCl讲授新课应用格式：∵AB=AC，MB=MC，∴直线AM是线段BC

的垂直平分线．A

B

C

D

M这是判断一条直线是线段的垂直平分线的方法.讲授新课例题

已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.ABOEDC证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,∴DE=CE.∴

OE是CD的垂直平分线.又∵OE=OE，∴Rt△OED≌Rt△OEC.∴DO=CO.讲授新课例题

已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上，∴OA=OB.同理OB=OC.∴OA=OC.∴点O在AC的垂直平分线上.结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.现在你能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？讲授新课例题

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分

∠BAC，DE⊥AB于E.求证：直线AD是CE的

垂直平分线．讲授新课导引：根据角平分线的性质可得CD＝DE，所以点D

在CE的垂直平分线上，只要再证点A也在CE

的垂直平分线上，就能证明．证明：∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，

∴CD＝DE,∴点D在CE的垂直平分线上；

在Rt△ADC和Rt△ADE中，AD＝AD，CD＝ED，

∴Rt△ADC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，

∴点A也在CE的垂直平分线上，

∴直线AD是CE的垂直平分线．讲授新课利用判定定理要证一条直线是线段的垂直平分线，必须证明这条直线上有两点到线段两端点的距离相等(即证有两点在线段的垂直平分线上)．总

结当堂练习当堂反馈即学即用当堂练习1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（）A．AB垂直平分CD；B．CD垂直平分AB

；C．AB与CD互相垂直平分；D．CD平分∠ACB

．ＡＢＣＤA当堂练习2.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC

()A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点D当堂练习4.下列说法：①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的有

（填序号）.①②③3.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有

种.无数当堂练习5.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是

cm.ABCDE16当堂练习6.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC=BC，

AD=BD，AB与CD相交于点O.求证：AO=BO.证明：∵AC=BC，AD=BD，∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上，∴CD为线段AB的垂直平分线.又∵AB与CD相交于点O，∴AO=BO.当堂练习7.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.又∵AD＝AD，∴△