抛物线的定义及标准方程

2.4.1抛物线及其标准方程8/27/2024抛物线的生活实例投篮运动8/27/20248/27/2024萨尔南拱门8/27/20248/27/2024

抛物线及其标准方程

8/27/2024实验模型：

MF

如图，点F是定点,L是不经过点F的定直线。H是L上任意一点，过点H作，线段FH的垂直平分线交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？

实验8/27/2024

平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线一、抛物线定义其中

定点F叫做抛物线的焦点定直线l

叫做抛物线的准线lHFM··定义告诉我们：1、判断抛物线的一种方法2、抛物线上任一点的性质：|MF|=|MH|8/27/20241、到定点（3，0）与到直线的距离相等的点的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线2、到定点（3，0）与到直线的距离相等的点的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线CD练习8/27/2024二、抛物线的标准方程1.建:建立直角坐标系.3.限（现）:根据限制条件列出等式;4.代:代入坐标与数据;5.化:化简方程.2.设:设所求的动点(x,y);回顾求曲线方程一般步骤：8/27/2024·FMlH建系xyyOyOON·KNFK8/27/2024（一）标准方程的推导:yo·F设︱KF︱=p（p

>0）由|MF|=|MH|可知，化简得y2=2px（p＞0）如图，以过F点垂直于直线的直线为轴，F和垂足的中点为坐标原点建立直角坐标系K则F（，0），：x=-

p2p2设动点M的坐标为（x，y），·M(x,y)H8/27/2024

把方程

y2=2px（p＞0）

叫做抛物线的标准方程而p

的几何意义是:

焦点到准线的距离

其中焦点

F（，0），准线方程l：x

=-

p2p2KOlFxy.想一想:在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程，那么抛物线的标准方程有哪些不同的形式？看图8/27/2024图形标准方程焦点坐标准线方程（二）四种抛物线的标准方程图8/27/2024（三）区别与联系1、四种形式标准方程及图像的共同特征（1）、二次项系数都化成了_______（2）、四种形式的方程一次项的系数都含2p1（3）、四种抛物线都过____点；焦点与准线分别位于此点的两侧，且离此点的距离均为____O8/27/20241、一次项(x或y)定焦点2、一次项系数符号定开口方向.正号朝坐标轴的正向，负号朝坐标轴的负向。二、四种形式标准方程及图像的区别8/27/2024例1已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；解:∵2P=6,∴P=3所以抛物线的焦点坐标是（，0）准线方程是x=是一次项系数的是一次项系数的的相反数三、应用8/27/2024练习求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（1）y

2=-20x（2）y=6x

2

焦点F(-5,0)准线：x=5焦点F(0,)124准线：y=－1248/27/2024例2已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）求它的标准方程。解:因为焦点在y的负半轴上,所以设所求的标准方程为x2=-2py

由题意得，即p=4∴所求的标准方程为x2=-8y8/27/2024解题感悟:求抛物线标准方程的步骤：（1）确定抛物线的形式.（2）求p值（3）写抛物线方程8/27/2024求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。

．AOyx解:（1）当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2=2py，得p=（2）当焦点在x轴的负半轴上时，把A（-3，2）代入y2=-2px，得p=∴抛物线的标准方程为x2

=

y或y2

=

x。巩固提高：注意:焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论8/27/2024例3.一种卫星接收天线的轴截面如图。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m,深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。8/27/2024小结1.理解抛物线的定义,2.掌握抛物线的标准方程的四种形式以及P的几何意义.3.注重数形结合、分类讨论思想的应用8/27/2024练习根据下列条件写出各自的抛物线的标准方程（1）焦点是F（3，0）（2）焦点到准线的距离为2y2=12xy2=4x,y2=－4x,x2=4y,x2=－4y8/27/20244a1焦点坐标是（0，），准线方程是：y=4a1②当a<0时,,抛物线的开口向下p2=14a焦点坐标是（0，），准线方程是：y=4a114a①当a>0时,,抛物线的开口向上p2=14a二次函数

(a≠0)的图象为什么是一条抛物线？试指出它的开口方向、焦点坐标和准线方程。解：二次函数化为：

其中思考:8/27/2024作业

P73A组：1,2（必做）补充：求经过点p（4，-2）的抛物线的标准方程。8/27/2024解法一：以

为

轴，过点

垂直于

的直线为轴建立直角坐标系（如下图所示）,则定点设动点点，由抛物线定义得：化简得：M(x,y)xyOFL8/27/2024解法二：以定点

为原点，过点垂直于

的直线为

轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点