2024届云南三校高考备考性联考卷（六）数学试题含答案

2024届云南三校高考备考实用性联考卷(六)

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答

题卡上填写清楚.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的)

1.设集合4=[％|1W%<3},B={Q,1,2,3,4),则(％4)n3=

A.|0,1,3,41B.{0,3,4}

C.[0,4]D.10,1,41

2.已知复数z满足(z-l)i=l+i,贝归=

A.2-iB.-2+i

C.2+iD.-2-i

贝2cos2-+sina=

2

-yi5-5

B-

D.d

4

4.已知数列]an\的通项公式为an=----前-n项和为S”，则Sn取得最小值时n的值为

2/1-17

A.6B.7

C.8D.9

5.将函数/(%)=2sin(2%+^的图象向右平移/个单位后得到g(%)的图象，则％e

7TTT

一彳，不时，g(%)的值域为

A.[-2,2]B,[-1,2]

C.[-2,1]D,[-1,1]

数学•第1页(共6页)

6.随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对

信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.其中电磁波在空间中自由

传播时能量损耗满足传输公式：L=32.44+201gZ)+201gF,其中。为传输距离，单位是

km,歹为载波频率，单位是MHz,£为传输损耗(亦称衰减)，单位为dB.若传输距

离增加到原来的2倍，传输损耗增加了18dB,则载波频率约增加到原来的(参考数

据：lg2=0.3)

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

7.已知F],K分别是椭圆C：5+2=1(。义＞0)的左、右焦点，M,N是椭圆C上两点,

ab

且2宙=3及不，MF\­MN=O,则椭圆C的离心率为

"B.?C-|D.?

8.如图1所示的三棱锥S-ABC中，SCLBC,SCA.AC,BC±AB,AB1SB,^AB-BC=

10,SC=6,则其外接球表面积的最小值为

A.25TT

B.20TT

125TT

6

65FA

图1

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中,

有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.已知函数/(%)=%-上，则

A./(%)为奇函数B./(%)在定义域内单调递增

有2个零点D./(%)的最小值为含

10.已知圆M：/+0+1)2=4和圆N：/2+/-4%+3=0相交于4,3两点，下列结论正确

的是

A.直线AB的方程为y=-2x+2

B.若点尸为圆W上的一个动点，则点尸到直线A3的距离的最大值为得+1

C.线段熊的长为竽

D.直线4”-3厂13=0是圆M与圆N的一条公切线

数学•第2页(共6页)

11.如图2,正方体ABCO-4出£。1的棱长为1,下列结论正确的是

A.若尸在棱AB上运动，则直线4D与直线'P所成的夹角一定

为90。

B.若尸在棱48上运动，则三棱锥6-，尸。的体积为:

O

C.若尸在底面46C。内(包含边界)运动，且满足OP=、1,则动点图2

P的轨迹的长度为f

D.若P在△ABC内(包含边界)运动，则直线。『与平面4BCO所成角的正弦值的

取值范围为g,用

12.已知函数/(%)=%ln%+侬;2(zn<0)有两个极值点％1,%2(%2>%I),则下列正确的是

A.--<771<0

2

C./(x2)>-yD./(孙)>5

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.为进一步提升物业管理和服务质量，某小区随机抽取频率

砸

100名住户开展了年度幸福指数测评活动，将其测评a

0.025

得分(均为整数)分成六组：［40,50),［50,60),

0.015

…，［90,100］,并绘制成如图3的频率分布直方0.01

0.005

图.由此估计此次测评中居民幸福指数的第75百分0

位数为.

14.已知单位向量淀，6的夹角为低，~c=a-3b,若入砥+b与"垂直，则入=.

15.若函数/(%)=sinx-(%+l)cos%在区间［0,2F］的最小值为a,最大值为6,则a+6=

16.已知K,b2分别为双曲线。：马=1(6>0)的左、右焦点，。为坐标原点，过七

3b

作渐近线的垂线，垂足为P,且Sin乙乙尸。=名，过双曲线C上一点。作两渐

B3

近线的平行线分别交渐近线于M,N两点，则四边形。MQN的面积为.

数学•第3页(共6页)・■□□,口,

四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

3

在锐角△ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c.从条件①：sin及osBtan5="

条件②：gsi—条件③：2ccos5-6cos4=acosB这三个条件中选择一个作

V3sinB+cosB2

为已知条件.（注：若选择多个条件作答，则只按第一个解答计分）

（1）求角8的大小；

（2）若6=3"，45的平分线助交4。于点。，且即="，求△46C的面积.

18.（本小题满分12分）

如图4,在四棱锥ET5C。中，平面平面45&点£1在以口为直径的半圆。

上运动（不包括端点），底面极力为矩形，AD=BC=^AB=\.

（1）求证：BE_L平面ADE；

（2）当四棱锥E-ABC。体积最大时，求平面4OE与平面4CE

所成夹角的余弦值.

图4

19.（本小题满分12分）

2-1-IA

已知数列的前几项和为S",且S小巴一」.在数列｛%｝中，4=0,鼠=k

（1）求｛g｝,历“｝的通项公式；

（2）设C“=Q“（ld”），求数列〔cj的前兀项和却

数学•第4页（共6页）

20.（本小题满分12分）

数学中有这么一个定理：喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回

不了家.这个定理数学家波利亚在1921年给出证明，它与随机游走有关，随机游走

是概率论中的一个重要概念，它描述了一个在空间中随机移动的过程，随机游走最简

单的形式是一维随机游走，即一个点在数轴上以一定的概率向左或向右移动，如图

5,一个质点在随机外力的作用下，从原点。出发，每隔1s等可能地向左或向右移动

一个单位，记移动人次后质点回到原点位置的概率为入，其中人为偶数.

It1_________II1_______111111T

-6-5-4-3-2-10123456

图5

（1）求Po,Pl,04；

（2）证明：2P*+2-P"N0.

21.（本小题满分12分）

已知4,B,。是抛物线/=4%上三点，且GOC3,CD1AB,垂足为D.

（1）当C的坐标为（0,0）时，求点。的轨迹方程；

（2）当。的坐标为（1,2）时，是否存在点。，使得为定值，若存在，求出。的

坐标；若不存在，请说明理由.

数学,第5页（共6页）

22.（本小题满分12分）

牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.

比如，我们可以先猜想某个方程/（%）=0的其中一个根r在4=*0的附近，如图6所

示，然后在点（%。，/（软））处作下（工）的切线，切线与％轴交点的横坐标就是看,用与

代替工。重复上面的过程得到％2；一直继续下去，得到出,到，町，…，与•从图形上

我们可以看到的较他接近r,牝较阳接近广，等等.显然，它们会越来越逼近二于

是，求r近似解的过程转化为求乙，若设精度为£,则把首次满足的不

称为「的近似解.

已知函数/（%）=df+l,aeR./I//

（1）试用牛顿迭代法求方程/⑷=0满足精度£=0.5的近似解

（取殉=-1,且结果保留小数点后第二位）；

（2）若f（%）+3，+6%+5+Q/wO对任意％eR都成立，求整数a\”

的最大值.1///

（计算参考数值：e«2.72,eL35«3.86,eI5«4.48,1.353«图6

2.46,1.35?”82）

勺

数学•第6页（共6页）■□□■□

2024届云南三校高考备考实用性联考卷（六）

数学参考答案

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求）

题号12345678

答案BCACCDBA

【解析】

1.由题意，^,A={x\x<l^x^3],(①⑷Cl8={0,3,4},故选B.

2.(z-l)i=l+i=-(z-l)=i-lnz=2-i=W=2+i,故选C.

3.由于sina=-^^,cosa=',所以2cos24+sina=,故选A.

4424

M—0

4.由---->0得〃<2或〃〉8.5,所以〃=8时，S”取得最小值，故选C.

2//-17〃

5由题意得g(x)=2sin2[1一己)+.=2sinf2x-^,*.*xe一^，.

•_7C7C7C.if.、

,,2x----G—，_，..g(x)£[—2,1]，C.

6|_26J

6.设厂是变化后的传输损耗，F是变化后的载波频率，。是变化后的传输距离，则

£'=£+18,Dr=2D,

r)fp

18=T-Z=201gDz+201gF,-201gD-201gF=201g—+201g—,则

DF

pfp'

201g—=18-20lg2«12,即1g—。0.6。电4,从而尸。4尸,即载波频率约增加到原来的

FF

4倍，故选D.

7.连接咫，设|=2〃，贝小班|=3〃，\MF2\=2a-3/7,|Ng|=2。-2〃，在中,

ii222

\MN^+\MF2\=\NF2\,即(5«)+(2a-3„)=(2a-2„),所以n=~,所以

数学参考答案•第1页（共9页）

\MFt\=—,\MF2|=y,在Rt△孙月中，即25c2=17",所

e=^^-,故选B.

以

5

8.因为SC_L8C,SC_L/C,且BCn/C=C,BCu平面/8C,AC

平面48c,所以SC_L平面NBC,又因为2C_L/2,AB1SB,且

BCCSB=B,2Cu平面SBC,S2u平面SBC,所以N2_L平面

SBC,所以可以将三棱锥S-ABC放入一个长方体ABFE-DCSG中,

该长方体以NBSC,2c为长，宽，高，如图1所示，则长方体

图1

ABFE-DCSG的外接球就是三棱锥S-N8C的外接球，下面计算该长方体外接球半径7?

的最小值；因为45・8C=10,所以AB2+BC2^2AB-BC=20,所以

AB2+BC2+SC2^20+5=25,即（2Ry225,所以所以该长方体外接球表面积的

最小值为4成2=4兀x1|）=25兀，所以三棱锥S-ABC的外接球表面积的最小值为25兀，

故选A.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

题号9101112

答案ACBCDABDABC

【解析】

9.因为〃-x）=-/（X）,所以A正确；因为「（幻二工-,=。，得x=±二，所以C正确，故

2x2

选AC.

10.圆M的圆心为M（0,-1）,半径12,圆N：x2+y2-4x+3=0,即（x-2>+/=i的圆

心为N（2,0）,半径々=1；A选项，两圆方程作差得4x+2y-6=0,即y=-2x+3,所

以两圆公共弦N8所在直线方程为y=-2x+3,A错误B选项，圆心N（2,0）到直线幺台

的距离半径々=1,所以点尸到直线N2的距离的最大值为好+1,B

V4TT55

数学参考答案•第2页（共9页）

■■r~ir~i■r~i■

正确；C选项，|/切=2，］=半，C正确；D选项，圆心M(0,-1)到直线

4x-3y-13=0的距离4==2=外,圆心N(2,0)至U直线4x-3y-13=0的距离

-V16+9

d2=-^===\=r2,所以直线4x-3y-13=0是圆〃与圆N的一条公切线，D正确，故

选BCD.

11.对于A,连接AD］,4。，则4D_LAD|,AB_L平面/二4。_LNBABPlADt=A,

AB<=平面ABC。,AD,u平面ABCR,：.AXD1平面ABCXD},D{Pu平面ABCR,

：.AXDVD}P,所以直线4〃与直线2尸所成的夹角一定为90。；对于B,连接尸C,

PC,,D}C,则三棱锥G-°PC的体积等于三棱锥尸-CCB的体积，〃平面

CDRG，点、P到平面CDDG的距离=BC,为定值1,即三棱锥P-CCR的高为1,底

面三角形CD|G的面积为工，.,.L_0Pc=/“cc=1x』xlxlxl=J,所以B正确；对于

21111326

C,因为P满足。尸=1,则动点尸的轨迹的长度为以。为圆心，1为半径的圆的周长的四

分之一，所以尸点的轨迹的长度为m；对于D,在正方体力3。-4462中，平

面N8CZ).对于平面N8C,为垂线，A尸为斜线，。尸为射影，所以NAP2即为直

线2P与平面N5C所成角.设则NCLBO.因为尸是A/BC内(包括边

界)的动点，所以当P与。重合时，0P=必=包最小，此时sin/DPn=」一=诿，

22D}P3

当尸与8重合时，DP=DB=C最大,止匕时sinADPDX=—=^_,所以

sinZDPD.e—,—,故选ABD.

133

12.由题意知/<x)=lnx+l+2加x(x>0),令/'(x)=0得，lnx+1+2加x=0(x〉0)有两个解

再，/，令g(x)=lnx+l+2加x=0,即等价于g(x)有且仅有两个零点，也即g(x)在(0,+8)

上有唯一的极值点且不等于零，又g'(x)=S"且加<0,所以当X.0,-工］时，

xI2m)

z

g(x)>0,则g(x)单调递增，当xj--L,+oo］时，g\x)<0,则g(x)单调递减，所以

\2m)

数学参考答案.第3页(共9页)

%=---是函数g(x)的极大值点，则g\--—|>0，

2m\2m)

=-ln(-2m)>0,尚军得一!<加<0,且有0<再<———<x2,*.*f\xx)=In+1+2mx1

22m

=0=>InXj=-1-2mxx,f\x2)=Inx2+1+2mx2=0=>lnx2=-l-2mx2,f(x1)=x［Inxx+

mxf=%1(-1-2冽石)+mxf=一再(1+mxx)<0.g（x）单调递减，所

以gf-—Vo,g(x,)=0,所以/(x)在,%］上单调递增,则有

I2mJ［_2m_

又因为

f(x2)>f

—<加<0------>1,/z(x)=x|Inx—|fx>l,则/z'(x)=Inx+1—=InxH—>0,

22mv2J22

所以函数/z(x)在(1,+oo)上单调递增，贝！］/z(x)>分(1)=-g,所以故选

ABC.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

题号13141516

372

答案-71

82-5F

【解析】

13.因为每组小矩形的面积之和为1,所以(0.01+0.015x2+0+0.025+0.005)x10=1,所以

a=0.03,测评得分落在［40,80)内的频率为(0.01+0.015x2+0.03)x10=0.7,落在

［40,90)内的频率为(0.01+0.015*2+0.03+0.025)x10=0.95,设第75百分位数为x,由

0.7+(%-80)x0.025=0.75,解得x=82,故第75百分位数为82.

14./la+g与c垂直，贝!j(/la+•(a-3］)=0,即4a+a•b-3Aa•S-3S=/l+(l-32)a-b

—3=0,其中a•否=|a||刃|cos2=1x1x」=L代入可解得2=-5.

322

15.因为/'(无)=cosx-cosx-(x+l)(-sin无)=(x+l)sinx.所以当xe(0,兀)时，f'(x)>0,

f(x)为增函数;当xe(兀，2兀)时，f'(x)<0,f(x)为减函数;所以/(x)在［0,2兀］上的

最大值6=/(兀)=兀+1.又因为/(0)=-1,"2兀)=-2兀-1,所以八>)在［0,2兀］上的最小

数学参考答案•第4页（共9页）

值a=/（2兀）=一2兀一1,所以。+6=—兀.

16.如图2,因为3PH片〃|=6,所以|P"|=2Q.因为

h5

sin/片尸O=弋，所以tanAFXPO=、，在RtAPHR中,

tan4pH=2,所以2=正，所以2=收，又因为

2。2a2a

22

。=6，所以6=遥，所以双曲线方程为=因为

36

f97口所以他/.9=苧.设时,%）到两渐近线的距离为4,a'贝U

J」方媪「拒募％」2x：；端.又因为2x；-需=6,所以4・4=2,所

d.d3A/2

以SOMQN=\QM\.\QN\-smAMON==+.

smAMON2

四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

解：（1）选条件①：因为sin5cos5tan5=3,所以sinBcosB包包=,，即

4cosB44

又因为△45C为锐角三角形，所以BE（。，

所以sinB二"，所以5=三.

23

选条件②：因为省sin5_cos,所以2（百sin5-cos5）=百sin5+cos5，

。3sin5+cos52

所以Gsin8=3cosB,

又因为BE（。，I）,所以cosBwO,

所以tanB=V3，所以5=乌.

3

选条件③:由正弦定理可得2sinCcosB-sinBcos4=sin4cosB,

即2sinCcos8=sin/cos5+sin5cosA=sin(4+B)=sinC,

又因为sinCwO，所以cos5=1,

2

因为Be,,1),所以5=..................................................................(5分)

数学参考答案.第5页（共9页）

■■r~ir~i■r~i■

(2)由此平分乙小。，得S“BC=S^BD+SABCD，

则,acsin'='xGxcsin二+一xexasin'，即QC=Q+C.

232626

在△45。中，由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos—，

3

又6=3亚，贝巾+/一改=18,

TTV\cic=a+Cy—/口。。

联可得QC—3〃c—18=0,

[a7+c9-ac=18,

解得QC=6(QC=-3舍去).

痂<?_1•兀_1AV3_3A/3.

故=5acsm§=]x6x彳=^—.........................(]0刀)

18.(本小题满分12分)

(1)证明：•..点£在蓝上且为直径，.•./£，班，

又平面/BCD1平面/BE,AD1AB,且40u平面/BCD,AD1平面/BE,

：BEu平面/BE,:.AD_LBE,

y.'：DAHAE=A,；.BEJ_平面NDE...........................(6分)

(2)解：当四棱锥E-4BC。体积最大时，E是筋的中点，o片「

止匕时N£=8£,OE1AB,\\^/

取CD中点尸，连接。尸，如图3,0'/y

则OF〃AD,BPOF1平面/BE,^^==^E=：：=^

又•.•OEL/8,图3

...以。为坐标原点，分别以OE,OB,。尸所在直线为x轴，y轴及z轴，建立如图所

示的空间直角坐标系，

；.。(0,0,0),4(0,-1,0),2(0,1,0),C(0,1,1),£(1,0,0),

AC=(0,2,1),AE=(1,1,0),

设平面/CE的一个法向量为〃=(x,y,z),贝叫___"

n•AE=x+y=0,

取x=l,可得〃=(1,—1,2),

平面4DE的一个法向量为屉=(1,-1,0),

设平面ACE与平面ADE所成夹角为0,则cos6=匕%=/=止

\n\\BE\V6xV23

数学参考答案.第6页(共9页)

即平面与平面NCE所成夹角的余弦值为....................（12分）

3

19.（本小题满分12分）

解：（1）由题知，当〃=1时，Si=〃i=3,

〃2+〃+4(〃―1)2+(〃一])+4

当〃时,a

22n=_Sn_x=~~

因为4=3,所以(HeN*).

n,2

因为”=“一1+(;),所以6"-"一1=(!|由累加法得6“=1-g）

综上'%=♦；:'(〃eN*),..........................................(6分)

3,n=lj

(2)由⑴知g=a“(l-或)=〜(〃eN*),

〃•一，川与

〔⑵2

一?34n

所以｛。〃｝的前n项和北=q+Q+S+…+。〃-1+。〃=3+万+级+尹+…+^■①，

+•.•+—(2),

T

①-②得口=＞修

所以北=6一止n,2+〃

—r=6---------（12分）

2"-12"-1

20.（本小题满分12分）

（6分）

⑵证明：法一：设左=2"（"eN）,贝1J/4=2“=华1K

D=C"M(2〃+2)!缶

同理0EP-n+22，，+212)(M+1)!.(«+1)!UJ

所以曾瑞或M/〃！•

n\22„=2〃+1=]_]

而2〃+22〃+2

数学参考答案.第7页（共9页）

因为〃wN,所以—--，所以''+221,即2P左+2-p左20.

2〃+22pk2'

法二：当左=0时，由(1)知P0=2夕2，即2夕2—夕0=0；

当左wo时，设左=2〃(〃wN*),贝!

因为3,=c/+c“]=c吃+c,+c“+CT=C7+2射〃+因为

=（CU+2C%+C；）[]=；%+（cU+c“J

所以4+2=Pln+2

="+(CU+C切出，

(1Y〃+21

因为(C：+C>)匕J>0,所以。加2-即2H+2-/4>0；

综上，2pk+2-pk^0....................................................................................(12分)

21.(本小题满分12分)

解：(1)设血孙必)，B(X29%),直线48的方程为工=町+6.

(口2_4工

联立《'得V—4加y—4b=0,贝！］必+%=4加，%%=—46①，

因为C4_LC5,所以e3・。=0,即西超+%％=0，

所以(myx+b)(jny2+b)+必%=0②，

由①②得：ft2-4/)=0,因为bwO,所以b=4,直线恒过定点(4,0),

设点Z）（x,y）,pl!|kCD•kAB=-1,BP—•=-1,整理得（x-2）2+j?=4,

xx-4

所以点。的运动轨迹为以（2,0）为圆心，半径为2的圆（原点除外）.........（5分）

（2）由（1）因为C4_LCB,

所以0•瓦=0,直=a-1,必-2）,而=（%-1，%-2）,

则CA•CB=%/一（再+9）+1+必歹2_2（必+%）+4

二［（%％了+%%一（冽+2）（乂+>2）-2b+5（3）,

16

将①代入③得：b1-6b-4m2一8冽+5=0,

（6—3）2=4（加+1）2得，6-3=2（加+1）或者人一3=-2（加+1）.

数学参考答案.第8页(共9页)

当6-3=2(m+1)时,直线48过尸(5,-2).

当6-3=-2(旭+1)时，直线N2过(1,2),此时。在N2上，不合题意.

所以直线恒过P(5,-2).

因为。为定点，所以。为定值，

在RtZiCPD中取。中点0,连接。0,

所以为定值.

此时0的坐标为(3,0),

故存在点。(3,0),使得|DQ|为定值.........................(12分)

22.(本小题满分12分)

解：(1)/(x)=x3-x+1,则/'(x)=3/-1,

曲线/(x)在/=-1处的切线为>-1=2(工+1)=>西=-1.5,且|再-/120.5,

曲线/(x)在芭=7.5处的切线为y+g=+=_*，_&|x2-Xj|<0.5,

故，用牛顿迭代法求方程/(x)=0满足精度£=0.5的近似解为-1.35................(5分)

(2)将/(x)+3/+6x+5+aeW0整理得到：-~.—Na，

令g(x)=*一3X15A6,g,(x)=0±l=”，

eee

(A、Q_9A

因为/'(x)=3X2—1,/(x)的极小值为/2=-~~—>0,

、3J9

因此，/(x)有且仅有一个零点%,所以g(x)有且仅有一个极小值点/，即g(x)》g(Xo)，

所以有aWgOo),

方法一：由(1)有与R-1.35,

所以aWg(x0)<g(-1.35)=I"-3x1.35：5xL35-63s(246_546+