人教版八年级数学上册 11.3多边形及其内角和 同步分层训练（培优卷）（附解析答案）

人教版八年级数学上册11.3多边形及其内角和同步分层训练（培优卷）班级：姓名：一、选择题1．一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是（）边形A．8 B．7 C．6 D．52．从一个多边形的一个顶点出发共可作10条对角线，则这个多边形共有对角线的条数为（）A．35 B．65 C．70 D．1303．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上（）根木条.A．1 B．2 C．3 D．44．三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要使钉上（）根木条A．1 B．2 C．3 D．45．从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是()A．n B．n-1 C．n-2 D．n-36．将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（）A．360° B．540° C．720° D．730°7．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（）A．180° B．360 C．270° D．540°8．一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（）A．增加180° B．减少180°C．不变 D．以上三种情况都有可能9．下图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）

A．36° B．42° C．45° D．48°10．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是（）A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）二、填空题11．过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画条对角线，且把n边形分成个三角形.12．凸n边形的对角线的条数记作an(n≥4)，例如：a4=2，那么：①a5=；②a6-a5=；③an+1-an=(n≥4，用含n的代数式表示).13．如图所示，△ABO与△CDO称为“对顶三角形”，其中∠A+∠B=∠C+∠D．利用这个结论，在图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=°14．在△ABC中，AD，BE为三角形的高，M为AD，BE所在直线的交点，∠BMD=50°，则∠C的度数是.15．已知，在四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若∠A＝α，∠D＝β，（1）如图①，当α+β＞180°时，∠F＝（用含α，β的式子表示）；（2）如图②，当α+β＜180°时，请在图②中，画出∠F，且∠F＝（用含α，β的式子表示）；（3）当α，β满足条件时，不存在∠F．三、解答题16．探究归纳题：（1）试验分析：如图1，经过A点可以作条对角线；同样，经过B点可以作条；经过C点可以作条；经过D点可以作条对角线.通过以上分析和总结，图1共有条对角线.（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有条对角线；图3共有条对角线；（3）探索归纳：对于n边形(n>3)，共有条对角线．(用含n的式子表示)（4）特例验证：十边形有条对角线.17．已知：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形的边长为7，周长为63．求(n−m)t18．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小．

19.求证：三角形的外角和等于360°．一般地，n边形的外角和等于360°四、综合题20．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BE⊥DC，交DC的延长线于点E，CB平分（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若cos∠BAD=2521．如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．（1）猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝58°，∠C＝152°，求∠BOD的度数；（3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的数量关系．22．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：多边形的顶点数45678……n从一个顶点出发的对角线的条数12345……①多边形对角线的总条数2591420……②（1）观察探究请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①；②；（2）实际应用数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？（3）类比归纳乐乐认为（1）、（2）之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．23．Pn表示n边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么Pn与n的关系式是：Pn=n(n−1)24•（n2（1）通过画图，可得：四边形时，P4=；五边形时，P5=（2）请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a，b的值．

1．【答案】B【解析】【解答】∵一个多边形最少可分割成五个三角形，∴这个多边形的边数为5+2=7，那么它是七边形．故答案为：B．点睛：本题主要考查了多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n-2）．【分析】从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n-2）．2．【答案】B【解析】【解答】解：∵从一个多边形的一个顶点出发共可作10条对角线，∴n-3=10n=13那么这个多边形对角线的总数为：13×(13−3)2故答案为：B．【分析】根据对角线的概念，知一个多边形从一个顶点出发有（n-3）条对角线，求出n的值，再根据多边形对角线的总数为n(n−3)23．【答案】C【解析】【解答】解：根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上3根木条；要使一个n边形木架不变形，至少再钉上（n-3）根木条．故答案为：C.【分析】从一个多边形的一个顶点出发，能做（n-3）条对角线，把三角形分成（n-2）个三角形．4．【答案】B【解析】【解答】过五边形的一个顶点作对角线，有5-3=2条对角线，所以至少要钉上2根木条．故答案为：B．【分析】三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．5．【答案】C【解析】【解答】从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（n-2）个．故答案选C．

【分析】根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系，可分成（n-2）个三角形直接判断。6．【答案】D【解析】【解答】解：①将长方形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和：180°+180°=360°；②将长方形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°；③将长方形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：180°+540°=720°，④将长方形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，其内角和为：180°+540°=720°，故答案为：D.【分析】分四种情况：①将长方形沿对角线剪开，得到两个三角形；②将长方形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形；③将长方形沿一组对边剪开，得到两个四边形；④将长方形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，据此分别求解再判断即可.7．【答案】B【解析】【解答】如图，设AF、ED相交于点O，延长AF交DC于点G.由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得：∠DOF=∠E+∠OFE，∠OGC=∠DOF+∠D.由等量代换，得：∠OGC=∠E+∠OFE+∠D，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠OFE=∠A+∠B+∠OGC+∠C=（4﹣2）×180°=360°.故答案为：B.【分析】根据三角形外角的性质，可得∠DOF与∠E、∠OFE的关系，∠DOF、∠OGC、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案.8．【答案】D【解析】【解答】解：如图所示，

共有三种截法，得到的图形分别是五边形、四边形和三角形，得到的内角和分别是增加180°，不变和减少180°；

故答案为：D.

【分析】根据所截位置不同，分别得到新多边形的边数也不同，再求出每种情况的新多边形的内角和即可。9．【答案】D【解析】【分析】根据图（1）先求出梅花扇的内角的度数是120°，则两锐角的和等于60°，把梅花图案连接成正五边形，求出每一个内角的度数，然后解答即可．【解答】如图，梅花扇的内角的度数是：360°÷3=120°，

180°-120°=60°，

正五边形的每一个内角=（5-2)•180°÷5=108°，

∴梅花图案中的五角星的五个锐角均为：108°-60°=48°．

故选：D．

【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的性质，仔细观察图形并作出辅助线是解题的关键，难度中等10．【答案】B【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°①；在△ADE中∠A+∠ADE+∠AED＝180°②；在四边形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠ADE+∠AED＝360°③；∴①+②﹣③得2∠A＝∠1+∠2.故答案为：B.【分析】根据内角和定理可得∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，根据四边形内角和为360°可得∠B+∠C+∠1+∠2+∠ADE+∠AED＝360°，代入求解可得结论.11．【答案】(n−3)；(n−2)【解析】【解答】解：从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形；从n边形的一个顶点出发，可以引(n−3)条对角线，将n边形分成(n−2)个三角形故答案为：(n−3)，(n−2).【分析】根据四边形可以4−3=1条对角线，被分成了4-2=2个三角形，五边形可以引5−3=2条对角线，被分成了5-2=3个三角形，依此类推，n边形可以引(n−3)条对角线，被分成(n−2)个三角形.12．【答案】5；4；n-1【解析】【解答】①a5=5×(5−3)2②a6-a5=6×(6−3)2③an+1-an=(n+1)(n+1−3)=2n−2故答案为：①5；②4；③n-1【分析】从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的对角线的条数为n（n-3）÷2．13．【答案】540【解析】【解答】解：如图2，连接BE，由对顶三角形可得，∠C+∠D=∠CBE+∠DEB．∵五边形ABEFG中，∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G=540°，即∠A+∠ABC+∠CBE+∠BED+∠DEF+∠F+∠G=540°，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G=540°．故答案为540．【分析】解决本题的关键是做辅助线构造“对顶三角形”以及五边形，并得出∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，解题时要注意，五边形的内角和为540°14．【答案】50°或130°【解析】【解答】解：①高AD，BE所在的直线交于点M在三角形内部，如图，∵∠BMD=50°，∴∠EMD=180°-∠BMD=130°，∵AD、BE是高，∴∠BEC=∠ADC=90°，在四边形CDME中，∠C=360°-∠EMD-∠BEC-∠ADC=360°-130°-90°-90°=50°；②高AD，BE所在的直线交于点M在三角形外部，如图，∵AD、BE是高，∴∠BDM=∠AEM=90°，在四边形CDME中，∠DCE=360°-∠BMD-∠BDM-∠AEM=360°-50°-90°-90°=130°，∴∠ACB=∠DCE=130°；故答案为：50°或130°.【分析】根据题意可知要分两种情况讨论：①两高交点在三角形内部；②两高交点在三角形外部，分别画图求解即可.15．【答案】（1）12（2）90°﹣12（3）α+β＝180°【解析】【解答】解：（1）如图：由四边形内角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，由三角形的外角性质得，∠FCE＝∠F+∠FBC，∵BF、CF分别是∠ABC和∠DCE的平分线，∴∠FBC＝12∠ABC，∠FCE＝1∴∠F+∠FBC＝12（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝12（∠A+∠D）+∴∠F＝12∵∠A＝α，∠D＝β，∴∠F＝12由（1）可知，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，∴∠FCE＝∠F+∠FBC，∵∠FBC＝12（360°﹣∠ABC），∠FCE＝180°﹣1∴∠F=∠FCE﹣∠FBC=180°﹣12（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）﹣1∴∠F=90°﹣12∴∠F＝90°﹣12∴∠F＝90°﹣12此时∠F不存在．【分析】（1）根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠FBC=12∠ABC，∠FCE=12∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠F+∠FBC=∠FCE，然后整理即可得解；（2）与（1）的思路相同，得到∠FBC=1216．【答案】（1）1；1；1；1；2（2）5；9（3）n(n−3)（4）35【解析】【解答】解：（1）通过画图可知（如下图），经过A点可以作1条对角线；经过B点可以作1条对角线；经过C点可以作1条对角线；经过D点可以作1条对角线.通过以上分析和总结，图1共有2条对角线.

故答案为：1；1；1；1；2.

（2）运用（1）的分析方法，如下图所示，可得：图2共有5条对角线；图3共有9条对角线.

故答案为：5；9.

（3）对于n边形（n＞3），从每个点出发可以引出（n-3）条对角线，共有n（n-3）条对角线，除去两两之间重复的对角线，所以需要除以2，因此共有n（n−3）2条对角线.

故答案为：n（n−3）2.

（4）十边形，n=10，代入n（n−3）2计算，得十边形有35条对角线.

故答案为：35.

【分析】（1）根据要求画出对角线，即可得出答案；

（2）根据要求画出对角线，即可得出答案；

（3）根据（1）（2）的分析探索，可得出规律；

17．【答案】解：依题意有n=4+3=7，m=6+2=8，t=63÷7=9，则(n﹣m)t=(7﹣8)9=﹣1．【解析】【分析】根据题意，由多边形的性质，分析可得答案．18．【答案】解：连结AD，如图，

在△EFG中，∠E+∠F+∠EGF=180°，

在△ADG中，∠1+∠2+∠AGD=180°，

∵∠EGF=∠AGD，

∴∠E+∠F=∠1+∠2，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，

=∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠1+∠2，

=∠BAD+∠B+∠C+∠CDA，

=360°.【解析】【分析】连结AD，根据三角形的内角和定理可得∠E+∠F+∠EGF=∠1+∠2+∠AGD=180°，由对顶角相等可得∠E+∠F=∠1+∠2，从而将∠E、∠F转化到同一个四边形中，根据四边形的内角和为360°即可得出答案.19．【答案】证明：如图，△ABC中，∠1、∠2∠3为三个内角，∠4、∠5、∠6为三个外角，我们有，∠1＋∠4=180°，∠2＋∠5=180°，∠3＋∠6=180°．所以∠4＋∠5＋∠6=3×180°-(∠1＋∠2＋∠3)=3×180°-180°=360°．同理，若∠α1，∠α2…∠αn°是n边形的n个内角，∠β1，∠β2，…，∠βn是它们所对应的n个外角，则有，∠α1＋∠β1=180°，∠α2＋∠β2=180°，……∠αn+∠βn=180°．所以∠β1+∠β2+…+∠βn=n×180°-(∠α1+∠α2+…+∠αn)=n×180°-(n-2)×180°=360°．【解析】【分析】三角形有三个内角，根据其对应的外角是其邻补角，可知其外角和=3×180°-三角形的内角和；此方法可以推广，即一般地，要求n边形的外角和，可知由n对邻补角，而这个n边形的内角和为（n-2）×180°．因此n边形的外角和为：n×180°-180°×(n-2)=360°.20．【答案】（1）证明：连接OB，如图，∵CB平分∠ACE，∴∠BCA=∠ECB．∵OB=OC，∴∠OBC=∠BCA∴∠ECB=∠OBC∴EC∥OB∵BE⊥DC∴OB⊥BE．∵OB为⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线；（2）解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCB+∠BAD=180°∵∠DCB+∠ECB=180°∴∠ECB=∠BAD．∵cos∠BAD=2∴cos∠ECB=2∵BE⊥DC，∴cos∠ECB=EC∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠ABC=∠CEB=90°．∵∠ECB=∠BCA，∴△ECB∽△BCA，∴EC∴BC∴BC=4∴EC∴EC=8【解析】【分析】（1）连接OB，求出OB∥EC，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可；

（2）因为四边形ABCD为⊙O的内接四边形，根据四边形内角和定理以及外角定理得出∠ECB=∠BAD，又BE⊥DC，根据余弦定理得出ECBC=25，AC是⊙O的直径得出21．【答案】（1）解：结论：∠1+∠2=∠A+∠C

∵∠A+∠C=360°-∠ADC-∠ABC，

∠1=180°-∠ADC，∠2=180°-∠ABC，

∴∠1+∠2=360°-∠ADC-∠ABC，

∴∠1+∠2=∠A+∠C.（2）解：∵∠ABC与∠ADC的平分线交于点O，

∴∠ADC=2∠CDO，∠ABC=2∠CBO，

∴∠ADC+∠ABC=2（∠CDO+∠CBO），

∵∠ADC+∠ABC=2（∠CDO+∠CBO）=360°-∠A-∠C=360°-58°-152°=150°，

∴∠CDO+∠CBO=75°，

∴∠BOD=360°-（∠CDO+∠CBO+∠C）=360°-（75°+152°）=133°（3）2∠O=∠C-∠A【解析】【解答】解：（3）结论：2∠O=∠C-∠A

理由如下：在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=360°-∠A-∠C，

∵BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线，

∴∠FDC=2∠ODC，∠CBE=2∠OBC，

∴∠ADC+∠ABC=360°-2∠ODC-2∠OBC，

∴360°-∠A-∠C=360°-2∠ODC-2∠OBC即∠A+∠C=2∠ODC+2∠OBC，

∴∠ODC+∠OBC=12（∠A+∠C）；

在四边形ADOB中∠A+∠ADB+∠ABC+∠ODC+∠OBC+∠O=360°，

∴∠A+360°-∠A-∠C+12（∠A+∠C）+∠O=360°，

∴-∠C+12（∠A+∠C）+∠O=0，

∴2∠O=∠C-∠A（2）利用角平分线的性质可知∠ADC=2∠CDO，∠ABC=2∠CBO，可推出∠ADC+∠ABC=2（∠CDO+∠CBO），利用四边形的内角和定理可求出∠CDO+∠CBO的值；然后利用四边形的内角和为360°，可求出