2024年中考数学复习：运用轴对称变换寻求解题的突破讲义

运用轴对称变换寻求解题的突破讲义

这一讲我们将给同学们重点介绍关于轴对称变换的问题触对称变换一般来说分作两类：一类是图形经

过翻折引出的计算与证明问题，也就是说题目的图形是在轴对称变换的操作过程中形成的；另一类是问题

中轴对称变换是解题的工具.也就是说借助轴对称变换来构造辅助线求解问题.

图形经过翻折(折叠)，实际是做轴对称变换，可以实现等线段、等角的转移.这类问题求解的关键是把

轴对称的性质和背景图形的特征恰当结合起来.当图形背景是基本的轴对称图形，如等腰三角形(包括等边

三角形)、正方形等，或图形中出现基本的轴对称元素，如角的平分线、线段的垂直平分线等，这些对称性

往往就体现着问题的本质并暗示着解题的方向.还有一些特殊的数学问题，也是需要借助轴对称变换来解决

的，如二倍角问题、线段和最短问题等.

例1如图1,在矩形ABCD中,AB=16,BC=8,将矩形沿对角线AC折叠，点D落在E点处，且CE与AB交

于点F,求AF的长.

【分析】原图形为矩形，经过折叠后，可得Nl=N2=/3,所以AF=CF.设AF=xJU!lCF=x,BF=16-x,在

RtABCF中，由勾股定理列方程82+(16-%)2=久2,解得x=10.这种方法代表了矩形类折叠计算问题的通法，

应落实掌握.

【解答】如图2,由题意得,AACE0aACD,

所以/1=N2.

在矩形ABCD中，

因为NB=90。.AB〃CD,

所以/l=/3.

所以/2=/3.

所以AF=CF.

在RtABCF中，图2

设AF=x，贝UCF=x.BF=16-x,

所以82+(16-%)2=%2,

解得x=10.所以AF=10.

例2如图3,正方形ABCD边长为1,先对折使AB边与CD边重合，得折痕MN,再过点B折叠使得点

C落在MN上的P点处彳导折痕BQ,连接PQ.

⑴求MP的长；

(2)求PQ的长.

【分析】对正方形的第一次折叠，根据轴对称的性质，MN是BC的垂直平分线，连接PB,PC后，则

PB=PC.第二次沿BQ翻折彳导PB=CB,所以APBC是边长为1的等边三角形，这是题目要求两条线段长的计

算基础.

处处留心皆学问，在这道题目中我们还能学会一张正方形纸片(ABCD),如何经过两次折叠，得到同

边长的等边三角形(APBC).

【解答】如图4,连接PB,PC.

由题意得，MN是BC的垂直平分线.

且ABCQ乌△BPQ.

所以PB=PC,BC=BP,

PQ=CQ,ZCBQ=ZPBQ.图4

所以APBC是等边三角形，

所以PB=BC=1,

ZBPN=ZCBQ=30°.

在RtABPN中，

因为PB=1,ZBPN=3O°,

所以PN=当

又MN=AB=1,

所以MP=1—当

在RtABCQ中，

因为BC=1,NCBQ=3O。，

所以CQ=.

所以PQ=^

例3如图5,将矩形ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH若

EH=3,EF=4,求AD,AB的长.

BFC

图5

【分析】根据轴对称的性质,AAEH与AMEH重合,ABEF与AMEF重合狷AE=EM=EB,所以点E是

AB的中点.同理，点G是CD的中点，连接EG厕EG〃AD,EG=AD.由翻折不难理解四边形EFGH是矩形，所

以对角线相等,HF=EG=AD有了上面这些对翻折理解到位的分析，接下来的问题就转化为直角三角形中已

知两条直角边求斜边及斜边上的高的常规问题了.

【解答】如图6,将AAEH折起与AMEH重合，

AHD

得AE=EM.

同理，将ABEF折起与AMEF重合，

得BE=EM,

所以AE=BE,即E是AB的中点.

图6

同理，可得G是CD的中点，连接EG,

则EG〃AD,EG=AD.

由翻折得四边形EFGH是矩形.

又因为EG是矩形EFGH的一条对角线，

所以EG=HF,AD=HF.

在矩形EFGH中,EH=3,EF=4.

于是HF=5,AD=5.

在RtAEFH在SEFu=/EM•HF=/EH-EF,

所匚l以I'IEM=E—H'E—F=12

nrb

所以AB=2AE=2EM=y.

例4已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A(ll,0),点B(0,6),点P为BC

边上的动点(不与B,C重合)，经过点O,P折叠该纸片彳导点B，和折痕OP设BP=1.

⑴如图7,当NBOP=30。时，求点P的坐标;

(2)如图8，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB1±，得点L和折痕PQ,若AQ=m,试用含有t

的式子表示m;

⑶在⑵的条件下，当点C恰好落在边OA上时，求点P的坐标(直接写出结果即可).

【分析】这道题目就是典型的有关轴对称变换第一类问题的中考综合题，是轴对称性质与坐标系、动

点问题、解直角三角形、相似计算等知识的综合.

在问题⑴中(如图9),其实是含有30。角的直角三角形的计算问题，与翻折无关.在问题⑵中，根据轴

对称的性质。通过导角能得出/OPQ=90。，则问题就转化为经典的“K型”相似，列出比例式詈=器可求

得m=——t+6(0<t<11).

而问题(3)则有一定难度，很好地体现了中考综合题对考查的区分度.其实难度表现在对已知条件“当点

C恰好落在边OA上时”的理解上，经过分析，可知此时."PL=NOBP(如图10),所以想到构造ACPH与

ii±m

△OCB全等，则OC'=CP=CP从而AC=BP=t,最后在RtAAC'Q中，列出方程可求得t=

3

【解答】(1)如图9,因为点A(ll,0),B(0,6),

所以。4=11,05=6.

在Rt△BOP中，因为乙BOP=30°,

所以BP=詈=2V3.

所以P(2V5,6).

⑵因为△OBRAQCP分别是由△OBRAQCP折叠得到的,

所以.△OB'P=AOBPAQC'P=△QCP.

所以.NOPB'=乙OPB.乙QPC'="PC

因为NOPB'+乙OPB+“PC+“PC=180°,

所以/OPB+/QPC=90。.

图10

因为NBOP+/OPB=90。，

所以NBOP=NQPC.

又因为NOBP=ZC=90°,

所以ACIBPsZiPCQ,

所rrr-p以IO正B=而BP

由题设BP=t,AQ=m,BC=ll,AC=6,

贝！]PC=ll-t,CQ=6-m.

所以/=

11—t6—771

所以m=32一3[+6(0<[<11)即为所求.

oo

(3)点P的坐标为(弋空，6)或(咛旦6),

例5如图11,在AABC中,/B=2/C,AD_LBC于点D,AB=5,BD=3,求CD的长.

【分析】首先，/B=2/C这样的二倍角关系，必须在图形里借助辅助线转化为等角关系；其次，AD

±BC产生的直角是平角的一半，则DA可看作特殊的角平分线.基于以上的分析，有了轴对称变换的想法，

作AABD关于AD的轴对称图形AABD,则AB'=AB=5,。9=DB=3,Nl=NB,借助三角形的外角把二

倍角关系转化为/C=N2这样的等角关系，所以CB，=AB'=5,从而CD=8,问题轻松得解.

【解答】如图12,在DC上截取DB'=DB=3,,连接AB'.

因为AD_LBC于点D,A

所以.N4DB=NADB'=90。.

所以△ADBgAADB',/r

所以.Zl=NB=2N&aB'=aB=5.BDB-C

图12

又因为/1=N2+/C,

所以N2=/C.

所以CB'=AB'=5.

所以CD=CB'+DB'=8.

让我们换一种轴对称的视角再来认识这道题.以BC边的垂直平分线为轴，作AABD的轴对称图形

△ECF,连接AE.显然四边形ADFE是矩形，则NB=2/C的二倍角关系转化为/1=/3以及/1=/2进而

得到/2=/3这样的等角关系.

例5本身并不是很难，但这种利用轴对称变换构造新的图形关系以转移角、线段的方法是具有通性的.

例6如图14,已知AD为AABC的角平分线,/C=2NB,求证:AB=AC+CD.

【分析】角平分线最重要的性质是他的轴对称性，其他的性质都可由此推出，所以，遇到角平分线的

问题时，应利用轴对称构造全等转移线段、角，这种意识必须形成.例5也提到过，当三角形中出现二倍角

时，通过角平分线的轴对称性，把二倍角关系转化为等角关系，这是处理这一类问题的比较好的途径.

具体来说，在AB边上截取AE=AC,连接DE.由AD平分/CAB可证△ADE会AADC.所以ED=CD,Z

1=/C.这就是角平分线轴对称性的具体体现，也是做题时常见的操作方法.因为ZC=2ZB,Z1=ZB+ZEDB,

所以/B=/EDB,从而EB=ED=CD.问题得证.

【解答】在AB边上截取AE=AC,连接DE.

因为AD平分/CAB,

所以/CAD=/EAD.

所以△CADgZ\EAD,

所以/1=/C=2NB,CD=ED.

又/1=NEDB+/B,

所以NEDB=/B.

所以ED=EB=CD.

所以AB=AE+EB=AC+CD.

例7如图16.已知AB=AC,CD为.△4BC的角平分线,NA=100。,求证:BC=AD+CD.

BC

图16

【分析】CD作为角平分线，它的轴对称性必然要在图形中体现出来.所以我们还是以CD为轴在图上

构造全等关系(具体作法同例6,在CB上截取CE=CA),这时候我们就会发现已知的"AB=AC,NA=100。”的

巧妙之处,因为:NADC=NEDC=/BDE=60。(艮|]DE是/BDC的平分线),乙DBC=2乙DCB.

即在ADBC中,DE是ADBC的角平分线,NDBC=2/DCB,又形成了新的角平分线与二倍角的组合，这

就跟上面的例6完全相同了.所以不难得出(CD=BD+BE.例7可看作例6的拓展提高.

【解答】在CB上截取CE=CA,连接DE.

因为AB=AC,CD平分NACB,/A=100。，A

所以/ACD=/ECD=20。.

所以AACDdECD.\___

BE

所以^.ADC=乙EDC=180°-100°-20°=60°.图17

所以NBDE=60。，

即DE是/BDC的平分线.o

XZDBC=40°,ZDCB=20°,蒋厂

所以/DBC=2/DCB.BE

图18

所以根据例6的结论可知,CD=BD+BE.

所以AD+CD=AD+BD+BE=AB+BE=CE+BE=BC结论成立.

这道几何综合题，形式新颖简洁，却具有一定的思维难度，是一道训练思维、锻炼解题能力又能达到

一定复习效果的好题目表面上看，这道题和上面的例题类似，已知和求证部分都很接近，但是真正动手做

起来，就会发现难度不小.因为在本题中，CD和BC,AD这样的三条线段无论在位置关系还是在数量关系

上都很难直接建立联系.

例8如图19在直角坐标系中，点A(-6,3),点B(-2,5),点C(0,m),点D(n,0).当四边形ABCD的周长最短时,

求点C,D的坐标.

图19

【分析】A,B两点是定点,C,D两点不定,AB边不变，只要考虑其他三边，当BC+CD+DA和最小时，四边

形ABCD的周长最短.由此想到“将军饮马”问题，作点A关于x轴的对称点.4(-6,-3),作点B关于y轴的对

称点.9(2,5),当CD落在线段AB上时，三边之和最小(如图20所示).最后由待定系数法求出直线AE的解

析式y=x+3,直线AB与x轴、y轴的交点即为所求D,C两点的坐标.

图20

所以C(0,3),D(-3,0).例9如图21,在△ABC中,AB=AC,NABC=45o,D是AABC内一点〃DBC=15。,/

ACD=15。,求/CAD的度数.

【解答】根据题意可得AB不变，所以当BC+CD+和最小时，四边形ABCD的周长最短.

作点A关于x轴的对称点