高中三年级上学期数学《离散型随机变量的分布列》(教学设计)

7.2.2离散型随机变量的分布列（教学设计）【学习目标】1.能知道取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念2.会求出简单的离散型随机变量的分布列并能记住分布列的性质3.能知道两点分布及其导出过程，并能简单的运用 【自主学习】知识点一离散型随机变量的分布列(1)所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．(2)离散型随机变量X可能的取值为x1，x2，…，xi，…，xn，则它的概率分布列用表格可表示为Xx1x2…xnPp1p2…pn用等式可表示为P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，离散型随机变量分布列的变化情况可以用图象来表示．知识点二两点分布随机变量X的分布列是：X10Ppq其中0<p<1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数p的两点分布．称p＝P(X＝1)为成功概率．

【合作探究】探究一求离散型随机变量的分布列【例1】从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．(1)以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列；(2)求出赢钱(即X>0时)的概率．【解】(1)从箱中取两个球的情形有以下6种：{2个白球}，{1个白球，1个黄球}，{1个白球，1个黑球}，{2个黄球}，{1个黑球，1个黄球}，{2个黑球}．当取到2个白球时，随机变量X＝－2；当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X＝－1；当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X＝1；当取到2个黄球时，随机变量X＝0；当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X＝2；当取到2个黑球时，随机变量X＝4.所以随机变量X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4.P(X＝－2)＝26212＝522，P(X＝－1)＝112212＝211，P(X＝0)＝22212＝166，P(X＝1)＝114212＝411，P(X＝2)＝112212＝433，P(X＝4)＝24212＝111.所以X的分布列如下：X－2－10124P522211166411433111(2)P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝4)＝411＋433＋111＝1933.所以赢钱的概率为1933.归纳总结：解题的关键有两点：一是依据试验的所有可能结果写出随机变量的可能取值；二是依据随机变量取值所对应的结果求出随机变量取每一个值的概率.另外，利用随机变量分布列中各个概率和为1对所求分布列进行验证也会防止出错【练习1】一袋中装有4只同样大小的球，编号分别为1,2,3,4，现从中随机取出2个球，以X表示取出球的最大号码，则X的分布列为X234P161312.解析：由题意随机变量X所有可能取值为2,3,4.且P(X＝2)＝124＝16，P(X＝3)＝1224＝13，P(X＝4)＝1324＝12.因此X的分布列为X234P161312探究二分布列的性质【例2】设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ai(i＝1,2,3,4)，求：(1)P({X＝1}∪{X＝3})；(2).解题中所给的分布列为X1234Pa2a3a4a由离散型随机变量分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＝1，解得a＝110.(1)P({X＝1}∪{X＝3})＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝110＋310＝25.(2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝110＋210＝310.归纳总结：本题是一道离散型随机变量的分布列的计算与离散型随机变量的分布列的性质的应用综合起来的好题.主要先由离散型随机变量的分布列的性质求出a的值，然后写出其相应的离散型随机变量的分布列，再利用离散型随机变量的分布列求出其相应的概率.本题中离散型随机变量取不同的值时所表示的随机事件彼此互斥，故由概率的加法公式求出其概率【练习2】已知离散型随机变量ξ的分布列如下：ξ12…nPk2k…2n－1·k求k的值．解：因为1＝k＋2k＋…＋2n－1k＝k(1＋2＋…＋2n－1)＝k·1－2n1－2＝(2n－1)k，所以k＝12n－1.探究三两点分布【例3】袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝0，两球全红；1，两球非全红.)求X的分布列.解由题设可知X服从两点分布P(X＝0)＝25215＝221；P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝1921.∴X的分布列为X01P2211921归纳总结：两步法判断一个分布是否为两点分布(1)看取值：随机变量只取两个值：0和1.(2)验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立.如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布.【练习3】篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.85，求他一次罚球得分的分布列.解由题意，结合两点分布的特征可知，所求分布列为X01P0.150.85探究四分布列与统计知识的综合应用【例4】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的分布列．【思路分析】每一个小矩形的面积即相应的概率．【解】(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000，当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65000.所以T＝800X－39000，100≤X<130，65000，130≤X≤150.)(2)由(1)知利润T不少于57000元时120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.10.20.30.4归纳总结：【练习4】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．解：(1)根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为40×(0.05×5