3.2.2 双曲线的简单几何性质-2020-2021学年高二数学重难点手册（圆锥曲线篇人教A版2019选择性必修第一册）

3.2.2双曲线的简单几何性质知识储备双曲线的标准方程和几何性质标准方程(a＞0，b＞0)(a＞0，b＞0)图形性质范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．设双曲线上的点M到两焦点F1，F2的距离之差的绝对值为2a，则0＜2a＜|F1F2|，这一条件不能忽略．①若2a＝|F1F2|，则点M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；②若2a＞|F1F2|，则点M的轨迹不存在；③若2a＝0，则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.[熟记常用结论]1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2.5．若P是双曲线(a＞0，b＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a＝b；②e＝；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.典例剖析eq\a\vs4\al(考点三双曲线的几何性质)[考法全析]考法(一)求双曲线的离心率(或范围)[例1](1)已知点F是双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(1,2)C．(2,1＋) D．(1,1＋)(2)设双曲线C：(a＞0，b＞0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|＝|OF|，则双曲线C的离心率为()A．5 B.C. D.【答案】BA【解析】(1)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B.(2)根据直线4x－3y＋20＝0与x轴的交点F为(－5,0)，可知半焦距c＝5，设双曲线C的右焦点为F2，连接PF2，根据|OF2|＝|OF|且|OP|＝|OF|可得，△PFF2为直角三角形，如图，过点O作OA垂直于直线4x－3y＋20＝0，垂足为A，则易知OA为△PFF2的中位线，又原点O到直线4x－3y＋20＝0的距离d＝4，所以|PF2|＝2d＝8，|PF|＝＝6，故结合双曲线的定义可知|PF2|－|PF|＝2a＝2，所以a＝1，故e＝＝5.考法(二)求双曲线的渐近线[例2](2020·武汉调研)已知双曲线C：(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为()A．4x±3y＝0B．3x±4y＝0C．4x±3y＝0或3x±4y＝0D．4x±5y＝0或5x±4y＝0【答案】A【解析】由题意知，椭圆中a2＝25，b2＝16，∴椭圆的离心率e＝＝，∴双曲线的离心率为＝，∴，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.故选A.考法(三)求双曲线的方程[例3]已知双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A. B.C. D.【答案】B【解析】由离心率为，可知a＝b，c＝a，所以F(－a,0)，由题意知kPF＝＝1，所以a＝4，解得a＝2，所以双曲线的方程为.[规律探求]看个性考法(一)：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)；考法(二)：求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系：k＝±＝±＝±＝±；考法(三)：求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲线方程找共性求解双曲线的几何性质问题，其通用的方法是利用方程思想解题，其思维流程是：能力检测姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题1．设双曲线的右焦点为，点.已知点在双曲线的左支上，且，，不共线，若的周长的最小值是，则双曲线的离心率是（）A．3 B． C．5 D．【答案】D【解析】如图，设为的左焦点，连接，，则，，所以的周长.因为，所以的周长.因为的周长的最小值是，所以，所以，所以双曲线的离心率是.故选D2．已知点为双曲线：（，）的右焦点，点到渐近线的距离是点到左顶点的距离的一半，则双曲线的离心率为（）A．或 B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，即.∵点到渐近线的距离是点到左顶点的距离的一半∴，即.∴，即.∴∴双曲线的离心率为.故选B.3．已知双曲线，其虚轴长为2，则双曲线的离心率是（）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】由题可知，因为虚轴长为2，所以，所以，得，所以离心率，故选：A4．点到双曲线的一条渐近线距离为（）A． B． C．4 D．3【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为，可以求得点到直线的距离为，故选：B.5．当变化时，对于双曲线，值不变的是（）A．实轴长 B．虚轴长 C．焦距 D．离心率【答案】D【解析】由题意可得，故选：D.6．双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．3【答案】B【解析】由题知：，，则，所以.故选：B7．已知第一象限内的点M既在双曲线上，又在抛物线上，设的左、右焦点分别为、，若的焦点为，且是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为的左、右焦点分别为、，的焦点为，所以抛物线的准线方程为：，又因为是以为底边的等腰三角形，过M作MA垂直准线，如图所示：则，所以四边形是正方形，则是等腰直角三角形，所以，所以，又，所以，即，解得.故选：A8．已知F为双曲线的左焦点，过点F的直线与圆于A，B两点（A在F，B之间），与双曲线E在第一象限的交点为P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，由圆的方程，得圆的半径为．过作的垂线，则为的中点，又，为的中点，设双曲线的右焦点为，连接，则为三角形的中位线，可得，则，由，可得．，则，由勾股定理可得：，整理得：．解得：或（舍．故选：．9．若双曲线的离心率，则该双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．【答案】B【解析】因为双曲线的离心率，所以，，所以该双曲线的渐近线方程为，故选B.10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的左支交于、两点，若，则的内切圆半径为（）A． B． C． D．2【答案】A【解析】设内切圆的圆心为，设圆与三角形的边分别切于，，，如图所示：连接，，，由内切圆的性质可得：，，，所以，，所以，由双曲线的定义可知：，所以可得，重合，所以，所以.故选：．11．设双曲线（）的焦距为12，则（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因为可化为，所以，则.故选：B.二、多选题12．曲线与的离心率分别为，，下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由曲线，可得，则，可得离心率，由曲线，可得，则，可得离心率，因为，故A错误；因为，故B正确；因为，故C正确；因为，故D错误.故选：BC.三、填空题13．已知双曲线：的焦点关于一条渐近线的对称点在轴上，则该双曲线的离心率为____________．【答案】【解析】设焦点坐标是，其中一条渐近线方程是，设焦点关于渐近线的对称点是，则，得：，解得：，所以，，所以双曲线的离心率是.故答案为：.14．双曲线的渐近线方程为_______.【答案】【解析】根据双曲线的方程得则其渐近线方程为故答案为：15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，是双曲线在第一象限上的点，直线，分别交双曲线左、右支于另一点，，，且，则双曲线的离心率为________.【答案】【解析】由题意，，，，，，，由余弦定理可得，，．故答案为：．16．己知双曲线的左、右焦点分别为，直线是双曲线过第一、三象限的渐近线，记直线的倾斜角为，直线，，垂足为，若在双曲线上，则双曲线的离心率为_______【答案】【解析】设，则，即，解得，则，所以，即，代入双曲线的方程可得，所以所以解得.故答案为：四、解答题17．已知命题表示双曲线，命题表示焦点在轴上的椭圆；（1）若p且q为真命题，则p是q的什么条件？（2）若p或q为假命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）必要而不充分条件；（2）或.【解析】（1）因为p且q为真命题，故为真命题，为真命题.所以表示双曲线是真命题，所以．解得．又命题表示焦点在轴的椭圆是真命题，所以，解得．因为，所以p是q的必要而不充分条件．（2）∵p或q假命题，∴假且假．当假时，由（1）可知，有或①，当为假，有或②，由①②解得或.18．已知是抛物线的焦点，恰好又是双曲线的右焦点，双曲线过点，且其离心率为．（1）求抛物线和双曲线的标准方程；（2）已知直线过点，且与抛物线交于，两点，以为直径作圆，设圆与轴交于点，，求的最大值．【答案】（1）抛物线E的标准方程为，双曲线C的标准方程为（2）【解析】（1）由双曲线过点，且其离心率为．，，，联立解得：，．双曲线的标准方程为：．由，可得，解得．抛物线的标准方程为：．（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为：．此时，．的方程为：．可得，．．②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，由题意可得：．联立，化为：．设，，，．则，．，．设的半径为，则．过点作，垂足为．在中，．，则．综上可得：的最大值为．19．已知双曲线C：的离心率为，点是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求.【答案】(1)；(2)【解析】(1)因为双曲线C：的离心率为，点是双曲线的一个顶点，所以解得，所以双曲线的方程为(2)双曲线的右焦点为所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为．联立得.设，则.所以.20．已知椭圆的方程为，双曲线的一条渐近线与轴所成的夹角为，且双曲线的焦距为.(1)求椭圆的方程；(2)设分别为椭圆的左，右焦点，过作直线(与轴不重合)交椭圆于，两点，线段的中点为，记直线的斜率为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)一条渐近线与轴所成的夹角为知，即，又，所以，解得，，所以椭圆的方程为.(2)由(1)知，设，，设直线的方程为.联立得，由得，∴，又，所以直线的斜率.①当时，；②当时，，即.综合①②可知，直线的斜率的取值范围是.21．已知双曲线（1）若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；