一元一次方程与等式的基本性质压轴题七种模型全攻略(解析版) 七年级数学下册

专题01一元一次方程与等式的基本性质压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一根据一元一次方程的定义求参数的值】 1【考点二已知一元一次方程的解求参数的值】 2【考点三已知一元一次方程的解求代数式的值】 3【考点四等式的基本性质】 4【考点五解一元一次方程--去分母】 6【考点六新定义型一元一次方程的求解】 8【考点七一元一次方程的解中含字母参数问题】 11【过关检测】 13【典型例题】【考点一根据一元一次方程的定义求参数的值】例题：（2023春·福建泉州·七年级统考期中）若是关于x的一元一次方程，则a的值为．【答案】【分析】根据一元一次方程的定义列出关于的式子，求出结果即可．【详解】解：∵是关于x的一元一次方程，∴且，解得．故答案为：．【点睛】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数，且未知数次数为1的方程叫做一元一次方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·河南开封·七年级统考期中）已知方程是关于的一元一次方程，则．【答案】【分析】根据一元一次方程的定义，得出，注意，进而得出答案．【详解】解：由题意得：，，解得：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确把握定义得出是解题关键．2．（2023春·河南南阳·七年级统考期中）如果方程是关于的一元一次方程，则．【答案】【分析】根据一元一次方程的定义进行求解即可．【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．【考点二已知一元一次方程的解求参数的值】例题：（2023春·七年级课前预习）已知是方程的解，那么．【答案】【分析】把代入方程求出的值即可．【详解】解：把代入方程得：，解得：．故答案为：．【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．【变式训练】1．（2023·全国·七年级假期作业）若是方程的解，则．【答案】1【分析】直接把代入方程中求出a的值即可．【详解】解：∵是方程的解，∴，∴，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，熟知一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．2．（2023·全国·七年级假期作业）如果是关于的方程的解，那么．【答案】【分析】把代入得到关于的方程，然后解方程即可求解．【详解】把代入得：，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟悉方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．【考点三已知一元一次方程的解求代数式的值】例题：（2023春·重庆北碚·七年级重庆市朝阳中学校考期中）若是关于x的方程的解，则代数式的值为．【答案】【分析】把代入方程中推出，再根据进行求解即可．【详解】解：∵是关于x的方程的解，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，求代数式的值，熟知一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考开学考试）若是关于x的方程的解，则代数式的值是．【答案】【分析】把代入得，则，即可解答．【详解】解：把代入得：，∴，∴故答案为：．【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．2．（2023秋·湖南长沙·八年级统考开学考试）已知是关于的方程的解，则式子的值为．【答案】【分析】将代入得出，代入代数式，即可求解．【详解】解：将代入得即∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，得出是解题的关键．【考点四等式的基本性质】例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）下列运用等式变形错误的是（）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得【答案】D【分析】直接利用等式的基本性质分别分析得出答案．【详解】解：A、若，则，正确，不合题意；B、若，得，正确，不合题意；C、若，则，正确，不合题意；D、若，则，故此选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了等式的基本性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．【变式训练】1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）下列运用等式的性质，变形不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据等式的性质逐项判断即可得出答案．【详解】解：A.若，等号两边同时加上，等式依然成立，即变形正确，不合题意；B.若，等号两边同时乘以，等式依然成立，即变形正确，不合题意；C.若，当时，变形不正确，符合题意；D.若，等号两边同时乘以，等式依然成立，即变形正确，不合题意；故选C．【点睛】本题考查等式的变形，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．2．（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）下列结论错误的个数为（

）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或整式等式仍成立；②等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或整式等式仍成立，即可解决．【详解】解：∵，∴，∴，故（1）正确，不符合题意；∵，，∴，故（2）错误，符合题意；∵，∴，故（3）正确，不符合题意；∵，∴，故（4）错误，符合题意；错误的共2个，故选C【点睛】本题考查的是等式的基本性质的应用，熟记等式的基本性质是解本题的关键．【考点五解一元一次方程--去分母】例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：去分母，得：，去括号，得：，移项，合并，得：，系数化1，得：；（2）解：去分母，得：，去括号，得：，移项，合并，得：，系数化1，得：．【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的进行计算．【变式训练】1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先将此方程的分母化为整数，再按解方程的步骤依次进行计算即可；（2）先将此方程的分母化为整数，再按解方程的步骤依次进行计算即可．【详解】（1）解：原方程可化为，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得；（2）解：原方程可化为，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1是解题的关键．2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）解：去分母，得：，移项，合并，得：，系数化1，得：．（2）去分母，得：，去括号，得：，移项，合并，得：，系数化1，得：．（3）去分母，得：，去括号，得：，移项，合并，得：，系数化1，得：．（4）去分母，得：，去括号，得：，移项，合并，得：，系数化1，得：．【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算．【考点六新定义型一元一次方程的求解】例题：（2023春·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）定义一种新运算“※”，其规则为．例如：．再如：．(1)计算值为______．(2)若，求的值．【答案】(1)31(2)【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值；（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值．【详解】（1）根据题中的新定义得：（2）利用题中的新定义化简得：，解得：【点睛】此题考查定义新运算，一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．【变式训练】1．（2023秋·江苏·七年级专题练习）定义一种新运算“”：，如(1)求的值；(2)若，求x的值；【答案】(1)2(2)【分析】（1）根据所给的新定义进行代值计算即可；（2）根据所给的新定义可得方程，解方程即可．【详解】（1）解：由题意得，；（2）解：∵，∴，∴，解得．【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，解一元一次方程，正确理解所给的新定义是解题的关键．2．（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）规定的一种新运算“”：，例如：．(1)试求的值；(2)若，求的值；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)根据定义，直接计算求解即可．(2)根据定义，转化为一元一次方程计算求解即可．(3)根据定义，转化为一元一次方程计算求解即可．【详解】（1）．

．（2）．（3）．【点睛】本题考查了新定义问题，一元一次方程的解法，正确理解定义，熟练掌握解方程是解题的关键．【考点七一元一次方程的解中含字母参数问题】例题：（2023春·四川宜宾·七年级校考阶段练习）已知关于的方程与方程的解相同，求的值．【答案】．【分析】先求出第二个方程的解，把代入第一个方程，求出的值即可．【详解】解：，去括号得，移项合并得，解得，把代入方程得：，解得：．【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，解此题的关键是得出关于的方程，难度不是很大．【变式训练】1．（2023春·河南周口·七年级校联考阶段练习）已知关于x的方程的解与的解相同，则m的值为．【答案】【分析】先求出方程的解，再把解代入方程，再求解即可得到答案．【详解】解：解方程，得：，把代入方程，得：，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了同解方程和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．2．（2023春·吉林长春·七年级长春市第五十二中学校考期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．(1)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，则______；(2)若两个“和谐方程”的解相差2，其中较小的一个解为n，则______．(3)若关于x的两个方程与是“和谐方程”，求m的值．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“和谐方程”的定义列出关于m的方程和n的方程解答即可；（2）利用“和谐方程”的定义列出关于n的方程解答即可；（3）分别求得两个方程的解，利用“和谐方程”的定义列出关于m的方程解答即可．【详解】（1）解：，，关于x的方程与方程是“和谐方程”，

；（2）“和谐方程”两个解之和为1，另一个方程的解为：，两个“和谐方程”的解相差2，，；（3），，，，关于x的两个方程与是“和谐方程”，，．【点睛】本题考查了一元一次方程，解题的关解是利用“和谐方程”的定义找到方程解的关系．【过关检测】一、单选题1．（2023上·辽宁大连·七年级校考阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐项判断即可．【详解】因为方程的最高次数不是1次，所以A不符合题意；因为符合一元一次方程的定义，所以B符合题意；因为和含有2个未知数，所以C，D不符合题意．故选：B．2．（2023上·江苏连云港·七年级统考阶段练习）若是方程的解，则a的值是（

）A． B．5 C．1 D．【答案】D【分析】此题考查一元一次方程的解，将代入到方程后即可求得的值．【详解】解：∵是方程的解，∴解得：，故选：D．3．（2023上·山东青岛·七年级校考阶段练习）下列变形过程错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【分析】本题主要考查等式的性质．解题的关键是熟练掌握等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或式，等式仍成立；②等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或式，等式仍成立．【详解】解：A、若，当时，，故本选项变形错误，符合题意；B、若，则，原式变形正确，故本选项不符合题意；C、若，则，原式变形正确，故本选项不符合题意；D、若，则，则原式变形正确，故此选项不符合题意．故选：A．4．（2023上·江苏镇江·七年级校考阶段练习）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值：则关于的方程的解为(

)0123048A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了方程的解的定义，正确理解的意义是解题的关键．【详解】根据表可以得到当时，．故选D．5．（2023上·山东威海·七年级校考阶段练习）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（

）A．1 B． C．3 D．【答案】B【分析】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．也考查了换元法．把方程看作关于的一元一次方程，则根据题意得到，从而得到的值．【详解】解：∵∴关于的一元一次方程的解为，关于y的一元一次方程的解为，．故选：B．二、填空题6．（2023下·全国·八年级假期作业）若，则（填“>”“<”或“=”）．【答案】【解析】略7．（2023上·陕西西安·七年级校考阶段练习）已知方程是关于x的一元一次方程，则．【答案】2【分析】本题考查了一元一次方程的概念．熟练掌握一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键．根据一元一次方程的定义求解即可．【详解】解：根据题意，得，解得．故答案为：2．8．（2023上·云南楚雄·七年级统考期末）若2是关于的一元一次方程的解，则代数式的值为．【答案】【分析】本题考查了一元一次方程的解及代数式的化简求值，将代入可得到，再将化简为，将代入化简后的式子即可得出答案．熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：∵2是关于的一元一次方程的解，∴将代入得，，将代入上式可得原式，故答案为：．9．（2023上·安徽宿州·七年级校考阶段练习）一列方程如下排列：的解是；的解是；的解是，……，根据观察得到的规律，写出其中解是的方程：．【答案】【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用题中方程的特点和方程的解之间的关系写出形式与题中的方程一样且解是的方程．【详解】解：解：的解为．故答案为：．10．（2023上·浙江·七年级专题练习）定义一种新的运算“⊗”，它的运算法则为：当a、b为有理数时，，比如：，则方程的解为．【答案】/【分析】本题主要考查新运算法则，根据新运算法则化简后解一元一次方程即可．【详解】解：∵，∴，解得，故答案为：．三、解答题11．（2023上·山东东营·六年级校考阶段练习）解方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1，即可求解．（1）移项，合并同类项，将系数化为1，即可求解；（2）去括号，移项，合并同类项，将系数化为1，即可求解；（3）去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1，即可求解；（4）分子分母同时扩大10倍去小数分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1，即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．12．（2023上·江苏徐州·七年级校考阶段练习）已知关于x的方程是一元一次方程，求：(1)m的值是多少？(2)的值．【答案】(1)(2)7【分析】本题考查一元一次方程的定义，求代数式的值．（1）一元一次方程中，一次项指数为1，系数不为0，由此可解；（2）根据去括号，合并同类项化简代数式，再将m的值代入求解．【详解】（1）解：根据一元一次方程的定义可得：且，解得或，且，故；（2）解：原式，，，的值为7．13．（2023上·江苏镇江·七年级校考阶段练习）定义一种新运算“”：，比如：．(1)若，求的值，(2)若关于的方程的解为正整数，则满足条件所有整数的和为_____．【答案】(1)(2)或或或【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握理解新运算的定义是解题关键．（1）先根据新运算的定义可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得；（2）先根据新运算的定义可得一个关于x的一元一次方程，解方程得出方程的解，再根据方程的解为正整数和k为整数即可得．【详解】（1）解：，则，解得；（2），则，整理得：，∵关于x的方程的解为正整数，且为整数，∴或或或，故答案为：或或或．14．（2023上·浙江金华·七年级统考阶段练习）在实数范围内定义运算“”：，例如：．(1)若，，计算的值．(2)若，求的值．(3)若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程