苏科版九年级数学上册举一反三系列专题1.6一元二次方程中的动点问题专项训练(30道)特训(原卷版+解析)

专题1.6一元二次方程中的动点问题专项训练（30道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了一元二次方程中的动点问题所有类型！一．填空题（共7小题）1．（2022•峨边县模拟）在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为时，△PQB为直角三角形．2．（2022春•衢江区校级期末）如图，B是AC上一点，且BC＝6cm，AB＝4cm，射线BD⊥AC，垂足为B，动点M从A出发以2cm/s的速度沿着AC向C运动，同时动点N从B出发以3cm/s的速度沿着射线BD向下运动，连接MN．当△BMN的面积为32cm2，两动点运动了t（s），则t的值为3．（2022•临清市一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以2cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒，则t＝秒时，S1＝2S2．4．（2022•于洪区校级模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6cm，AB＝8cm，BC＝14cm．动点P、Q都从点C同时出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．若点P以1cm/s速度运动，点Q以22cm/s的速度运动，连接BQ、PQ．当时间t为秒时，△BQP的面积为24cm2．5．（2022秋•惠来县月考）如图，已知AB⊥BC，AB＝12cm，BC＝8cm．一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为秒．6．（2022秋•兰山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过s后，P，Q两点之间相距25cm．7．（2022秋•渭滨区期中）如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，直到点B为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动，当时间为时，点P和点Q之间的距离是10cm．二．解答题（共23小题）8．（2022秋•方城县期末）如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为ts，请解决下列问题：（1）若点P在边AC上，当t为何值时，△APQ为直角三角形？（2）是否存在这样的t值，使△APQ的面积为23cm2？若存在，请求出t9．（2022秋•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．（1）BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代数式表示）（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？10．（2022春•淄川区期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD＝21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？11．（2022•红谷滩区校级模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为6cm？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？12．（2022秋•射阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B移动，同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D移动（点P到达点B停止时，点Q也随之停止运动），设点P运动时间为t秒．（1）试求当t为何值时四边形APQD为矩形；（2）P、Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为5cm．13．（2022春•铜山区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．问：（1）几秒时△PBQ的面积等于8cm2；（2）几秒时△PDQ的面积等于28cm2；（3）几秒时PQ⊥DQ．14．（2022•宿迁三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动（P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．15．（2022春•嘉兴期末）如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t＝1秒时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t＝以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）16．（2022秋•皇姑区校级月考）（1）求x2+6x+1的最小值；（2）求﹣2x2+6x+1的最大值；（3）如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，设AP＝x，直接用含有x的代数式表示MN2，并直接写出MN2的最小值．17．（2022秋•宽城区校级月考）如图①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4．点P从点A出发，沿A→D→C→D运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时出发，点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）．连接PQ、AC、CP、CQ．（1）点P到点C时，t＝；当点Q到终点时，PC的长度为；（2）用含t的代数式表示PD的长；（3）当三角形CPQ的面积为9时，求t的值．18．（2022春•大庆期中）如图，菱形ABCD中，AC，BD交于O，AC＝8cm，BD＝6cm，动点M从A出发沿AC方向以每秒2cm匀速直线运动到C，动点N从B出发沿BD方向以每秒1cm匀速直线运动到D，若M，N同时出发，问出发后几秒钟时，△MON的面积为菱形ABCD面积的11219．（2022秋•海州区校级月考）如图，在正方形ABCD中，AB＝5cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动时间为ts（0＜t＜5）．在P、Q两点移动的过程中，PQ的长度能否等于10cm？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．20．（2022•曹县二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝1cm，AB＝3cm，BC＝5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts（t＞0）（1）求线段CD的长；（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？21．（2022秋•天宁区月考）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）求点Q的坐标；（2）当t为何值时，△APQ的面积为24522．（2022秋•镇江期中）在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C移动，点P运动到点B时，点Q也停止运动，几秒钟后△PQC的面积等于16cm2？23．（2022秋•丹阳市校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝10cm，点P从点A出发沿射线AB以1cm/s的速度做直线运动，点Q从点C出发沿射线BC以2cm/s的速度做直线运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，S△PCQ=1225S△24．（2022春•萧山区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．有一动点P从B点出发，在射线BC方向移动，速度是2cm/s，在P点出发后2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线AC方向移动，速度是1cm/s．若设P出发后时间为t秒．（1）用含t的代数式分别表示线段AQ、PC的长度，并写出相应的t的取值范围．（2）连接AP、PQ，求使△APQ面积为3cm2时相应的t的值．（3）问是否存在这样的时间t，使AP平分∠BAC或者∠BAC的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．25．（2022秋•营山县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，问几秒钟时△PBQ的面积等于8cm2？26．（2022秋•淮安校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后△PBQ的面积等于8cm2？27．（2022秋•武侯区期末）如图，AB＝200cm，O为AB的中点，OE⊥AB，P从A点以2cm/s的速度向B运动，点Q从O点以3cm/s的速度运动向E运动，当P、Q两点运动多少时间时，△POQ的面积为1800cm2？28．（2022春•永嘉县期中）附加题（1）试用一元二次方程的求根公式，探索方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根互为相反数的条件是．（2）已知x、y为实数，3x−2+y2−4y+4=0（3）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90度，BC＝16，AD＝21，DC＝12，动点P从点D出发，沿线段DA方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒．①设△BPQ的面积为S，求S和t之间的函数关系式；②当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？（分类讨论）29．（2022秋•驻马店期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，点F是CD延长线上一点，且DF＝2cm．点P、Q分别从A、C同时出发，以1cm/s的速度分别沿边AB、CB向终点B运动，当一点运动到终点B时，另一点也停止运动．FP、FQ分别交AD于E、M两点，连接PQ、AC，设运动时间为t（s）．（1）用含有t的代数式表示DM的长；（2）设△FCQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）线段FQ能否经过线段AC的中点？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）设△FPQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式，并回答：在t的取值范围内，S是如何随t的变化而变化的？30．（2022春•文登区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从A出发向C以1cm/s的速度运动、点Q同时从C出发向B以1cm/s的速度运动，当一个点运动到终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，当两个点都到达终点时也停止运动．（1）几秒后，△CPQ的面积为Rt△ABC的面积的18（2）填空：①点经过秒，点P在线段AB的垂直平分线上．②点Q经过秒，点Q在∠BAC的平分线上．专题1.6一元二次方程中的动点问题专项训练（30道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了一元二次方程中的动点问题所有类型！一．填空题（共7小题）1．（2022•峨边县模拟）在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为2或5+5或5−5时，△【分析】要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB＝90°或∠PBQ＝90°，进而利用勾股定理分别分析得出PB2＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2＝（6﹣2t）2+22，PQ2＝（2t﹣t）2+t2＝2t2，再分别就∠PQB＝90°和∠PBQ＝90°讨论，求出符合题意的t值即可；【解答】解：作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，∵∠POQ＝45°，∴∠OPG＝45°，∵OP=2t∴OG＝PG＝t，∴点P（t，t），又∵Q（2t，0），B（6，2），根据勾股定理可得：PB2＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2＝（6﹣2t）2+22，PQ2＝（2t﹣t）2+t2＝2t2，①若∠PQB＝90°，则有PQ2+BQ2＝PB2，即：2t2+[（6﹣2t）2+22]＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，整理得：4t2﹣8t＝0，解得：t1＝0（舍去），t2＝2，∴t＝2，②若∠PBQ＝90°，则有PB2+QB2＝PQ2，∴[（6﹣t）2+（2﹣t）2]+[（6﹣2t）2+22]＝2t2，整理得：t2﹣10t+20＝0，解得：t＝5±5．∴当t＝2或t＝5+5或t＝5−5时，△故答案为：2或5+5或5−2．（2022春•衢江区校级期末）如图，B是AC上一点，且BC＝6cm，AB＝4cm，射线BD⊥AC，垂足为B，动点M从A出发以2cm/s的速度沿着AC向C运动，同时动点N从B出发以3cm/s的速度沿着射线BD向下运动，连接MN．当△BMN的面积为32cm2，两动点运动了t（s），则t的值为2−22或2+2【分析】分0＜t＜2及2＜t≤5两种情况考虑，当0＜t＜2时，BM＝（4﹣2t）cm，BN＝3tcm，根据△BMN的面积为32cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值；当2＜t≤5时，BM＝（2t﹣4）cm，BN＝3tcm，根据△BMN的面积为32cm2，即可得出关于【解答】解：当0＜t＜2时，BM＝（4﹣2t）cm，BN＝3tcm，∴12（4﹣2t）•3t=整理得：2t2﹣4t+1＝0，解得：t1=2−22，t当2＜t≤5时，BM＝（2t﹣4）cm，BN＝3tcm，∴12（2t﹣4）•3t=整理得：2t2﹣4t﹣1＝0，解得：t3=2−62（不合题意，舍去），t综上所述，t的值为2−22或2+2故答案为：2−22或2+23．（2022•临清市一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以2cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒，则t＝6秒时，S1＝2S2．【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S1和S2，然后根据S1＝2S2，即可列方程求解．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，∴AD＝BD＝CD＝82cm，又∵AP=2t则S1=12AP•BD=12×82×2t＝8∵PE∥BC，∴∠AEP＝∠C＝45°，∠APE＝∠ADC＝90°，∴∠PAE＝∠PEA＝45°∴PE＝AP=2t∴S2＝PD•PE＝（82−2t）•2∵S1＝2S2，∴8t＝2（82−2t）•2解得：t＝6或0（舍弃）故答案是：6．4．（2022•于洪区校级模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6cm，AB＝8cm，BC＝14cm．动点P、Q都从点C同时出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．若点P以1cm/s速度运动，点Q以22cm/s的速度运动，连接BQ、PQ．当时间t为2秒时，△BQP的面积为24cm2．【分析】由于点P在线段CB上运动，而点Q沿C→D→A方向做匀速运动，所以分两种情况讨论：①点Q在CD上；②点Q在DA上．针对每一种情况，都可以过Q点作QG⊥BC于G．由于点P、Q运动的时间为t（s），可用含t的代数式分别表示BP、QG的长度，然后根据三角形的面积公式列出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围，根据面积为24cm2，列出方程，解方程并结合t的范围取舍．【解答】解：如图1，过D点作DH⊥BC，垂足为点H，则有DH＝AB＝8cm，BH＝AD＝6cm．∴CH＝BC﹣BH＝14﹣6＝8cm．在Rt△DCH中，∠DHC＝90°，∴CD=DH2+C当点P、Q运动的时间为t（s），则PC＝t．①如图1，当点Q在CD上时，过Q点作QG⊥BC，垂足为点G，则QC＝22t．又∵DH＝HC，DH⊥BC，∴∠C＝45°．∴在Rt△QCG中，QG＝QC•sin∠C＝22t×sin45°＝2t．又∵BP＝BC﹣PC＝14﹣t，∴S△BPQ=12BP×QG=12（14﹣t）×2t＝14t当Q运动到D点时所需要的时间t=CD∴S＝14t﹣t2（0＜t≤4），当S＝24时，14t﹣t2＝24，解得：t1＝2，t2＝12（舍）．②如图2，当点Q在DA上时，过Q点作QG⊥BC，垂足为点G，则：QG＝AB＝8cm，BP＝BC﹣PC＝14﹣t，∴S△BPQ=12BP×QG=12（14﹣当Q运动到A点时所需要的时间t=CD+AD22∴S＝56﹣4t（4＜t≤4+3当S＝24时，56﹣4t＝24，解得：t＝8＞4+3综上，当t＝2时，S＝24，故答案为：2．5．（2022秋•惠来县月考）如图，已知AB⊥BC，AB＝12cm，BC＝8cm．一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为2秒．【分析】根据题意可知CN＝tcm，AM＝2tcm，进而可得出BN＝（8﹣t）cm，BM＝（12﹣2t）cm，根据△MNB的面积为24cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解答】解：根据题意可知CN＝tcm，AM＝2tcm，∴BN＝（8﹣t）cm，BM＝（12﹣2t）cm，∵△MNB的面积为24cm2，∴12×（12﹣2t）×（8﹣整理得：t2﹣14t+24＝0，解得：t1＝2，t2＝12（不合题意，舍去）．故答案为：2．6．（2022秋•兰山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过10s后，P，Q两点之间相距25cm．【分析】设x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：设x秒后P、Q两点相距25cm，则CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm，由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252，解得，x1＝10，x2＝0（舍去），则10秒后P、Q两点相距25cm．故答案是：10．7．（2022秋•渭滨区期中）如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，直到点B为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动，当时间为85s或245s时，点P和点Q之间的距离是10【分析】设当t秒时PQ＝10cm，利用勾股定理得出即可．【解答】解：设当时间为t时，点P和点Q之间的距离是10cm，过点Q作ON⊥AB于点N，则QC＝2tcm，PN＝（16﹣5t）cm，故62+（16﹣5t）2＝100，解得：t1=85，t2即当时间为85s或245s时，点P和点Q之间的距离是10故答案为：85s或245二．解答题（共23小题）8．（2022秋•方城县期末）如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为ts，请解决下列问题：（1）若点P在边AC上，当t为何值时，△APQ为直角三角形？（2）是否存在这样的t值，使△APQ的面积为23cm2？若存在，请求出t【分析】（1）当点P在边AC上时，由题意知AP＝2t，AQ＝6﹣t，再分∠APQ＝90°和∠AQP＝90°两种情况分别求解即可；（2）分点P在边AC上和点P在边AC上两种情况，表示出S△APQ，再根据△APQ的面积为23cm2列出关于t【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形∴AB＝BC＝CA＝6，∠A＝∠B＝∠C＝60°，当点P在边AC上时，由题意知，AP＝2t，AQ＝6﹣t，当∠APQ＝90°时，AP=12AQ，即2t=12（6﹣当∠AQP＝90°时，AQ=12AP，即6﹣t=12×所以，点P在边AC上，当t为1.2s或3s时，△APQ为直角三角形；（2）存在，①当点P在边AC上时，此时0≤t≤3，过点P作PD⊥AB于点D，在Rt△APD中，∠A＝60°，AP＝2t，∴sinA=PDAP，即sin60°∴PD=3t，S△APQ=12AQ•PD=1由12（6﹣t）•3t=23②当点P在边BC上时，此时3≤t≤6，如图，过点P作PF⊥AB于点F，在Rt△BPF中，∠B＝60°，BP＝12﹣2t，∴sinB=PFBP，即sin60°∴PF=3(6−t)，S△APQ=12AQ•PF=1由12（6﹣t）•3(6−t)=23得t1＝4，因此，当t的值是(3−5)s或4s时，△APQ的面积为239．（2022秋•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．（1）BP＝（12﹣2t）cm；BQ＝4tcm；（用t的代数式表示）（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？【分析】（1）根据速度×时间＝路程列出代数式即可；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，利用三角形中位线定理求得DH的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，所以BP＝（12﹣2t）cm，故答案是：（12﹣2t）；4t；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵∠B＝90°，即AB⊥BC．∴AB∥DH．又∵D是AC的中点，∴BH=12BC＝12cm，DH是△∴DH=12AB＝6根据题意，得12×12×24−12×4t×（12﹣2t）−12整理，得t2﹣6t+8＝0．解得：t1＝2，t2＝4，即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2．10．（2022春•淄川区期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD＝21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？【分析】以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当PB＝PQ时，当PQ＝BQ时，当BP＝BQ时，由等腰三角形的性质就可以得出结论．【解答】解：如图1，当PB＝PQ时，作PE⊥BC于E，∴EQ=12∵CQ＝t，∴BQ＝16﹣t，∴EQ＝8−12∴EC＝8−12t+t＝8+∴2t＝8+12解得：t=16如图2，当PQ＝BQ时，作QE⊥AD于E，∴∠PEQ＝∠DEQ＝90°，∵∠C＝∠D＝90°，∴∠C＝∠D＝∠DEQ＝90°，∴四边形DEQC是矩形，∴DE＝QC＝t，∴PE＝t，QE＝CD＝12．在Rt△PEQ中，由勾股定理，得PQ=t16﹣t=t解得：t=7如图3，当BP＝BQ时，作PE⊥BC于E，∵CQ＝t，∴BP＝BQ＝BC﹣CQ＝16﹣t，∵PD＝2t，∴CE＝2t，∴BE＝16﹣2t，在Rt△BEP中，（16﹣2t）2+122＝（16﹣t）2，3t2﹣32t+144＝0，△＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0，故方程无解．综上所述，t=163或72时，以B，P11．（2022•红谷滩区校级模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为6cm？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【分析】（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为6cm，根据勾股定理列式求解即可；（2）设经过y秒，使△PBQ的面积等于8cm2，由三角形的面积公式列式并求解即可；（3）分三种情况列方程求解即可：①点P在线段AB上，点Q在射线CB上；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上；点P在射线AB上，点Q在射线CB上．【解答】解：（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为6cm，则AP＝x（cm），QB＝2x（cm），∵AB＝6cm，BC＝8cm∴PB＝（6﹣x）（cm），∵在△ABC中，∠B＝90°∴由勾股定理得：（6﹣x）2+（2x）2＝6化简得：5x2﹣12x+30＝0∵△＝（﹣12）2﹣4×5×30＝144﹣600＜0∴点P，Q之间的距离不可能为6cm．（2）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，由题意得：12（6﹣x）•2x解得：x1＝2，x2＝4检验发现x1，x2均符合题意∴经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2．（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上设经过m秒，0＜m≤4，依题意有12（6﹣m）（8﹣2m∴m2﹣10m+23＝0解得；m1＝5+2（舍），m2＝5∴m＝5−2②点P在线段AB上，点Q在射线CB上设经过n秒，4＜n≤6，依题意有12（6﹣n）（2n∴n2﹣10n+25＝0解得n1＝n2＝5∴n＝5符合题意；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上设经过k秒，k＞6，依题意有12（k﹣6）（2k解得k1＝5+2，k2＝5−∴k＝5+2∴经过（5−2）秒，5秒，（5+2）秒后，△PBQ的面积为1cm12．（2022秋•射阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B移动，同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D移动（点P到达点B停止时，点Q也随之停止运动），设点P运动时间为t秒．（1）试求当t为何值时四边形APQD为矩形；（2）P、Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为5cm．【分析】（1）根据矩形的对边相等得到AP＝PQ，由时间×速度＝路程求得线段AP、PQ的长度，然后等量关系AP＝PQ列出方程并解答；（2）过点P作PE⊥CD于点E，利用勾股定理列出关于t的方程，通过解方程求得答案．【解答】解：（1）∵四边形APQD为矩形，∴AP＝PQ，∴2t＝6﹣t，∴3t＝6，∴t＝2．（2）过点P作PE⊥CD于点E，∵∠A＝∠D＝∠DEP＝90°，∴四边形APED是矩形．∴AP＝DE＝2t，∴EQ＝CD﹣DE﹣CQ＝6﹣3t，在Rt△PQE中，PE2+EQ2＝PQ2，即（6﹣3t）2＝9，解得t1＝1，t2＝3，答：当出发1s或3s时，线段PQ的长度为5cm．13．（2022春•铜山区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．问：（1）几秒时△PBQ的面积等于8cm2；（2）几秒时△PDQ的面积等于28cm2；（3）几秒时PQ⊥DQ．【分析】（1）表示出PB，QB的长，利用△PBQ的面积等于8cm2列式求值即可；（2）设出发秒x时△DPQ的面积等于28平方厘米，根据三角形的面积公式列出方程，再解方程即可；（3）如果PQ⊥DQ，则∠DQP为直角，得出△BPQ∽△CQD，即可得出BPCQ=BQCD，再设AP＝x，QB＝2x，得出【解答】解：（1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm2．则AP＝x，QB＝2x．∴PB＝6﹣x．∴12×（6﹣x）2解得x1＝2，x2＝4，答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2；（2）设出发秒x时△DPQ的面积等于28cm2．∵S矩形ABCD﹣S△APD﹣S△BPQ﹣S△CDQ＝S△DPQ∴12×6−12×12x−12×2x（6﹣化简整理得x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，答：2秒或4秒后△PDQ的面积等于28cm2；（3）设x秒后PQ⊥DQ时，则∠DQP为直角，∴△BPQ∽△CQD，∴BPCQ设AP＝x，QB＝2x．∴6−x12−2x∴2x2﹣15x+18＝0，解得：x=3经检验x=32是原分式方程的根，当x＝6时，P点到达B点、Q点到达C点，此时PQ⊥DQ．答：32秒或6秒后PQ⊥DQ14．（2022•宿迁三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动（P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．【分析】（1）根据题意可以分别计算出两个点运动到终点的时间，从而可以解答本题；（2）先判断，然后计算出相应的时间即可解答本题．【解答】解：（1）点P从开始到运动停止用的时间为：（12+6）÷2＝9s，点Q从开始到运动停止用的时间为：（6+12）÷1＝18s，∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，∴点P先到终点，此时点Q离终点的距离是：（6+12）﹣1×9＝9cm，答：点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm；（2）在运动过程中，△APQ的面积能等于22cm2，当P从点B运动到点C的过程中，设点P运动时间为as，∵△APQ的面积能否等于22cm2，∴12×6−2a×6解得，此方程无解；当点P从C到D的过程中，设点P运动的时间为（b+6）s，∵△APQ的面积能否等于22cm2，∴12×6−(6+2b)×12解得，b1＝1，b2＝14（舍去），即需运动6+1＝7s，△APQ的面积能等于22cm2．15．（2022春•嘉兴期末）如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t＝1秒时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t＝3+72，3−72，65，−6+2333．【分析】（1）如图1，当t＝1时，就可以得出CQ＝1cm，AP＝2cm，就有PB＝6﹣2＝4cm，由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论，如图3，当PQ＝DQ时，如图4，当PD＝PQ时，如图5，当PD＝QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．∵CQ＝1cm，AP＝2cm，∴AB＝6﹣2＝4cm．∴S=2(1+4)2=5答：四边形BCQP面积是5cm2；（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t．∵AP＝2t，∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝9，解得：t=6±如图2，作PE⊥CD于E，∴∠PEQ＝90°．∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE＝BC＝2cm，BP＝CE＝6﹣2t．∵CQ＝t，∴QE＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t﹣6）2+4＝9，解得：t=6±综上所述：t=6−53（3）如图3，当PQ＝DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t．∵AP＝2t，∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．∵PQ＝DQ，∴PQ＝6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，解得：t=3±如图4，当PD＝PQ时，作PE⊥DQ于E，∴DE＝QE=12DQ，∠∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE＝BC＝2cm．∵DQ＝6﹣t，∴DE=6−t∴2t=6−t解得：t=6如图5，当PD＝QD时，∵AP＝2t，CQ＝t，∴DQ＝6﹣t，∴PD＝6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2＝（6﹣t）2，解得t1=−6+2333，t综上所述：t=3+72，3−72故答案为：3+72，3−72，16．（2022秋•皇姑区校级月考）（1）求x2+6x+1的最小值；（2）求﹣2x2+6x+1的最大值；（3）如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，设AP＝x，直接用含有x的代数式表示MN2，并直接写出MN2的最小值．【分析】（1）将代数式配方，由于二次项系数大于0，代数式有最小值，根据配方式可得最小值；（2）将代数式配方，由于二次项系数小于0，代数式有最大值，根据配方式可得最大值；（3）连接PM、PN．首先证明∠MPN＝90°，设PA＝x，则PB＝8﹣x，PM=12x，PN=3（4【解答】解：（1）x2+6x+1＝（x+3）2﹣8，当x＝﹣3时，x2+6x+1有最小值，最小值是﹣8；（2）﹣2x2+6x+1＝﹣2（x−32）2当x=32时，﹣2x2+6x+1有最大值，最大值是（3）连接PM、PN．∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴∠CPM=12∠APC＝60°，∠EPN=1∴∠MPN＝60°+30°＝90°，设PA＝x，则PB＝8﹣x，PM=12x，PN=3（4MN2＝（12x）2+[3（4−12x）]2＝x2﹣12x+48＝（x∴x＝6时，MN2有最小值，最小值为12，故答案为：12．17．（2022秋•宽城区校级月考）如图①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4．点P从点A出发，沿A→D→C→D运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时出发，点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）．连接PQ、AC、CP、CQ．（1）点P到点C时，t＝6；当点Q到终点时，PC的长度为4；（2）用含t的代数式表示PD的长；（3）当三角形CPQ的面积为9时，求t的值．【分析】（1）点P到点C时，所走路程为AD+CD，除以速度求出t的值，当点Q到终点时，P点回到CD中点，可直接求出PC；（2）分点P在A→D上时，D→C时，C→D时进行讨论；（3）同第2问三种情况进行讨论．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，∴CD＝AB＝8点P到点C时，所走路程为AD+CD＝12，∴t=122当点Q到终点时，t＝8s，P点回到CD中点，∴CP＝4；（2）当0≤t≤2时，PD＝4﹣2t；当2＜t＜6时，PD＝2t﹣4；当6≤t≤8时，PD＝8﹣（2t﹣12）＝20﹣2t；（3）当0≤t≤2时，AP＝2tPD＝4﹣2tAQ＝tBQ＝8﹣tS△CPQ＝4×8−12t×2t−12（8﹣t）×4−12（4﹣2t）×8＝﹣t2+10t＝9，当2＜t＜6时，PC＝12﹣2tS△CPQ=12（12﹣2t）×4＝24﹣4t＝9，当6≤t≤8时，PC＝2t﹣12S△CPQ=12（2t﹣12）×4＝4t﹣24＝9，t综上所述，当三角形CPQ的面积为9时t＝1或t=1518．（2022春•大庆期中）如图，菱形ABCD中，AC，BD交于O，AC＝8cm，BD＝6cm，动点M从A出发沿AC方向以每秒2cm匀速直线运动到C，动点N从B出发沿BD方向以每秒1cm匀速直线运动到D，若M，N同时出发，问出发后几秒钟时，△MON的面积为菱形ABCD面积的112【分析】根据点M、N运动过程中与O点的位置关系，分当x＜2时，点M在线段AO上，点N在线段BO上、当2＜x＜3时，点M在线段OC上，点N在线段BO上和当x＞3时，点M在线段OC上，点N在线段OD上三种情况分别讨论．【解答】解：设出发后x秒时，S△MON∵S菱形ABCD∴S△MON（1）当x＜2时，点M在线段AO上，点N在线段BO上．由12（4﹣2x）（3﹣x解得x1＝1，x2＝4（舍去）∵x＜2，∴x＝1；（2）当2＜x＜3时，点M在线段OC上，点N在线段BO上，由12（2x﹣4）（3﹣x）＝2；化简为x2﹣5x此时方程Δ＜0，原方程无实数解；（3）当x＞3时，点M在线段OC上，点N在线段OD上，由12（2x﹣4）（x解得x1＝1（舍去），x2＝4∵x＞3，∴x＝4，综上所述，出发后1s或4s时，S△MON19．（2022秋•海州区校级月考）如图，在正方形ABCD中，AB＝5cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动时间为ts（0＜t＜5）．在P、Q两点移动的过程中，PQ的长度能否等于10cm？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．【分析】在正方形ABCD中求出对角线AC的长度，过点P作PH⊥BC于点H，用含t的代数式表示出HQ、PH的长度，然后在Rt△PHQ中利用勾股定理得出PH2+HQ2＝PQ2，根据PQ的长度等于10cm列方程求解．【解答】解：在正方形ABCD中，∵AB＝5cm，∴AC＝52cm，∵动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动时间为ts（0＜t＜5），∴AP=2tcm，CQ＝tcm∴PC＝（52−2t）cm，BQ＝（5﹣t）过点P作PH⊥BC于点H，则PH＝HC=PC2=（5﹣t∴HQ＝|HC﹣CQ|＝|5﹣2t|cm．在Rt△PHQ中，∵∠PHQ＝90°，∴PH2+HQ2＝PQ2，∵PQ的长度等于10cm，∴（5﹣t）2+（5﹣2t）2＝（10）2，解得：t1＝2，t2＝4．故在P、Q两点移动的过程中，PQ的长度能等于10cm，此时t的值为2或4．20．（2022•曹县二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝1cm，AB＝3cm，BC＝5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts（t＞0）（1）求线段CD的长；（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？【分析】（1）作DE⊥BC于E，根据勾股定理即可求解；（2）线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分，分两种情况进行求解．【解答】解：（1）如图1，作DE⊥BC于E，则四边形ADEB是矩形．∴BE＝AD＝1，DE＝AB＝3，∴EC＝BC﹣BE＝4，在Rt△DEC中，DE2+EC2＝DC2，∴DC=D（2）∵点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒，∴BP＝t厘米，PC＝（5﹣t）厘米，CQ＝2t厘米，QD＝（5﹣2t）厘米，且0＜t≤2.5，作QH⊥BC于点H，∴DE∥QH，∴∠DEC＝∠QHC，∵∠C＝∠C，∴△DEC∽△QHC，∴DEQH=DC∴QH=65∴S△PQC=12PC•QH=12（5﹣t）•65t=−S四边形ABCD=12（AD+BC）•AB分两种情况讨论：①当S△PQC：S四边形ABCD＝1：3时，−35t2+3t=13×9，即解得t1=5−52，t②S△PQC：S四边形ABCD＝2：3时，−35t2+3t=23×9，即∵Δ＜0，∴方程无解，∴当t为5−52秒时，线段PQ将四边形21．（2022秋•天宁区月考）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）求点Q的坐标；（2）当t为何值时，△APQ的面积为245【分析】（1）过点Q作QH⊥AO于H，如图所示，易证△AHQ∽△AOB，根据相似三角形的性质可用t的代数式表示出QH，进而表示出HO的长，进而得出答案；（2）利用（1）中所求，从而得到△APQ的面积与t的关系，根据条件就可求出t的值．【解答】解：（1）过点Q作QH⊥AO于H，如图所示，则有∠AHQ＝∠AOB＝90°．又∵∠HAQ＝∠OAB，∴△AHQ∽△AOB，∴QHOB∴QH8∴QH=40−8t设HO＝x，则AH＝6﹣x，∵△AHQ∽△AOB，∴AH6故6−x解得：x=65则Q（40−8t5，65（2）由（1）得：S△APQ=12AP•QH=12当S△APQ=245时，解得：t1＝2，t2＝3．∴当t为2秒或3秒时，△APQ的面积为24522．（2022秋•镇江期中）在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C移动，点P运动到点B时，点Q也停止运动，几秒钟后△PQC的面积等于16cm2？【分析】设t秒钟后△PQC的面积等于16cm2．根据S△PQC＝S△PBC﹣S△PBQ列出方程并解答即可．【解答】解：设t秒钟后△PQC的面积等于16cm2．依题意得：12×6×（12﹣2t）−12×整理，得（t﹣10）（t﹣2）＝0，解得t＝10（舍去）或t＝2．答：2秒钟后△PQC的面积等于16cm2．23．（2022秋•丹阳市校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝10cm，点P从点A出发沿射线AB以1cm/s的速度做直线运动，点Q从点C出发沿射线BC以2cm/s的速度做直线运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，S△PCQ=1225S△【分析】分两种情况：P在线段AB上；P在线段AB的延长线上；进行讨论即可求得P运动的时间．【解答】解：设当点P运动x秒时，S△PCQ=1225S△①当P在线段AB上，此时CQ＝2x，PB＝10﹣x，S△PCQ=12•2x•（10﹣x）化简得x2﹣10x+24＝0解得x＝6或4；②P在线段AB的延长线上，此时CQ＝2x，PB＝x﹣10S△PCQ=12•2x•（x﹣10）化简得x2﹣10x﹣24＝0解得x＝12或﹣2，负根不符合题意，舍去．所以当点P运动4秒、6秒或12秒时△PCQ的面积S△PCQ=1225S△24．（2022春•萧山区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．有一动点P从B点出发，在射线BC方向移动，速度是2cm/s，在P点出发后2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线AC方向移动，速度是1cm/s．若设P出发后时间为t秒．（1）用含t的代数式分别表示线段AQ、PC的长度，并写出相应的t的取值范围．（2）连接AP、PQ，求使△APQ面积为3cm2时相应的t的值．（3）问是否存在这样的时间t，使AP平分∠BAC或者∠BAC的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）PC的长度分两种情况讨论：0≤t≤4，t＞4；AQ的长度分两种情况讨论：0≤t≤2，t＞2；（2）分两种情况讨论：①2＜t≤4，②t＞4；根据△APQ面积为3cm2，列出方程即可求解；（3）①过P点作PD⊥AB于D，根据勾股定理可求AB的长，再根据角平分线的性质可知PC＝PD，在Rt△PBC中，可求BP的长，可求t的一个解；②根据一个角的内角平分线和外角平分线互相垂直，可求t的另外一个解．【解答】解：（1）PC=8−2t(0≤t≤4)AQ=0(0≤t≤2)（2）①当2＜t≤4时，12（8﹣2t）（t﹣2）＝3，化简为t2﹣6t②当t＞4时，12（2t﹣8）（t﹣2）＝3，化简为t2﹣6t+5＝0，解得t1＝1（不合题意舍去），t2故使△APQ面积为3cm2时相应的t的值为5．（3）①过P点作PD⊥AB于D．在Rt△ABC中，AB=6∵AP平分∠BAC，∴PC＝PD，AC＝AD，∴BD＝10﹣6＝4，在Rt△PBC中，BP2＝42+（8﹣BP）2，解得BP＝5，则t＝5÷2＝2.5s，②∵一个角的内角平分线和外角平分线互相垂直，∴3：6＝6：（2t﹣8），解得t＝10．故使AP平分∠BAC或者∠BAC的外角时t的值为2.5或10．25．（2022秋•营山县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，问几秒钟时△PBQ的面积等于8cm2？【分析】设t秒钟后，S△PBQ＝8，则AP＝t，PB＝AB﹣AP＝6﹣t，QB＝2t，而S△PBQ=12PB×【解答】解：设t秒钟后，S△PBQ＝8，则12×2t（6﹣t2﹣6t+8＝0，∴t1＝2，t2＝4，答：2s或4s时△PBQ的面积等于8cm2．26．（2022秋•淮安校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后△PBQ的面积等于8cm2？【分析】表示出PB，QB的长，利用△PBQ的面积等于8列式求值即可．【解答】解：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2．则AP＝x，QB＝2x．∴PB＝6﹣x．∴12×（6﹣x）2解得x1＝2，x2＝4，答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2．27．（2022秋•武侯区期末）如图，AB＝200cm，O为AB的中点，OE⊥AB，P从A点以2cm/s的速度向B运动，点Q从O点以3cm/s的速度运动向E运动，当P、Q两点运动多少时间时，△POQ的面积为1800cm2？【分析】关键是用未知数x表示出△POQ的面积，AP＝2x，OP＝（100﹣2x），OQ＝3x，△POQ的面积为12×OQ×【解答】解：当点P在AO