数学单元测试：第二章圆锥曲线与方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精本章测评(时间90分钟满分100分）一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若焦点在x轴上的椭圆eq\f（x2,2)＋eq\f（y2,m）＝1的离心率为eq\f(1,2），则m等于(）A.eq\r（3)B.eq\f(3，2)C.eq\f(8,3)D。eq\f(2,3）2已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f（3，4)x，则此双曲线的（)A．焦距为10B．实轴与虚轴分别为8和6C．离心率是eq\f（5,4）或eq\f（5，3）D．离心率不确定3P是椭圆eq\f（x2，9)＋eq\f(y2，5)＝1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM的中点的轨迹方程为(）A.eq\f(4x2，9)＋eq\f(y2，5）＝1B.eq\f(x2，9)＋eq\f(4y2,5）＝1C.eq\f(x2，9)＋eq\f(y2，20）＝1D。eq\f(x2，36)＋eq\f(y2，5)＝14与圆x2＋y2－4x＝0外切，又与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（)A．y2＝8xB．y2＝8x（x＞0)或y＝0(x＜0）C．y2＝8x或y＝0D．y2＝8x（x≠0）5已知点A为双曲线x2－y2＝1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是（)A。eq\f（\r（3）,3)B。eq\f（3\r（3)，2)C．3eq\r（3)D．6eq\r(3)6双曲线的虚轴长为4，离心率e＝eq\f(\r(6),2)，F1、F2分别是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且|AB|是|AF1|、｜AF2｜的等差中项,则｜BF1｜等于()A．8eq\r(2）B．4eq\r(2)C．2eq\r(2)D．87设A、B∈R，A≠B,且A·B≠0，则方程Bx－y＋A＝0和方程Ax2－By2＝AB在同一坐标系下的图象大致是图中的（)8设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(eq\r(3),0)的直线与抛物线相交于A，B两点,与抛物线的准线相交于点C，|BF｜＝2，则△BCF与△ACF的面积之比eq\f(S△BCF,S△ACF)等于（）A。eq\f(4，5）B.eq\f（2,3）C.eq\f(4，7)D。eq\f(1，2)9已知点P是抛物线y2＝2x上的动点,点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(eq\f（7,2），4）,则｜PA|＋｜PM|的最小值为(）A.eq\f(7,2）B．4C。eq\f(9，2)D．510双曲线eq\f（x2,a2)－eq\f（y2，b2)＝1(a＞0,b＞0)的两焦点为F1、F2，|F1F2｜＝2c,P为双曲线上一点,PF1⊥PF2，则P到实轴的距离等于（)A。eq\f(b2,c)B。eq\f（a2,c）C.eq\f(b2，a）D。eq\f（c2,a)二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分,共20分．把答案填在题中的横线上）11椭圆x2＋eq\f(y2,2)＝1的离心率为________．12若椭圆eq\f（x2,a2）＋eq\f（y2,b2)＝1（a＞b＞0）的离心率为eq\f(\r（5）－1，2），则双曲线eq\f（x2，b2）－eq\f(y2，a2）＝1的离心率是________．13直线l：x－y＋1＝0和椭圆eq\f（x2,4)＋eq\f(y2，3)＝1相交于A,B两点，则弦｜AB｜＝________。14已知双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的虚轴的上端点为B，过点B引直线l与双曲线的左支有两个不同的交点，则直线l的斜率的取值范围是________．15以下命题:①两直线平行的充要条件是它们的斜率相等．②过点（x0，y0）与圆x2＋y2＝r2相切的直线方程是x0x＋y0y＝r2.③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．④抛物线上任意一点M到焦点的距离等于点M到其准线的距离．其中正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共4个小题,共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16(9分）动点P(x,y）到定点A(2，0）与到定直线l：x＝4的距离之和为6，求点P的轨迹．17（10分)已知双曲线的方程是eq\f（x2，9)－eq\f(y2,16）＝1,求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．18（10分)设抛物线y2＝4px（p＞0）的准线与x轴的交点为M，过点M作直线l交抛物线于A、B两点．(1）求线段AB中点的轨迹方程;(2)若线段AB的垂直平分线交对称轴于N（x0，0）,求证：x0＞3p。19（11分）已知椭圆C1的方程eq\f（x2,4）＋y2＝1.(1)F1,F2为C1的左右焦点，求椭圆上满足eq\o（PF1，\s\up6(→）)·eq\o(PF2，\s\up6(→))＝0的点P的轨迹方程C2;(2)若过曲线C2内一点P0(－1，1）作弦AB,当弦AB被点P0平分时，求直线AB的方程；(3)双曲线C3的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C3的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，若直线l：y＝kx＋eq\r(2)与双曲线C3恒有两个不同的交点M和N,且eq\o（OM，\s\up6(→)）·eq\o（ON，\s\up6(→）)＞2(其中O为原点）．求k的取值范围．参考答案1解析:a＝eq\r(2），c＝eq\r(2－m)，eq\f(c,a)＝eq\f（\r(2－m）,\r（2）)＝eq\f（1,2)，所以eq\r(2－m）＝eq\f(\r（2)，2）。又m＞0,所以m＝eq\f（3，2)。所以选B.答案：B2解析：由双曲线渐近线方程y＝±eq\f（3,4）x，所以eq\f(b,a)＝eq\f(4，3）或eq\f(b,a）＝eq\f（3，4）。e＝eq\f(c，a）＝eq\f(\r(a2＋b2)，a）＝eq\r（1＋\f（b,a)2）＝eq\f（5,4）或eq\f(5，3)。所以选C。答案：C3解析：用代入法，设P(x1,y1），中点（x，y)，则x1＝x,y1＝2y，代入椭圆方程即得．答案：B4解析:设圆心(x，y)(x≠0)，则eq\r（x－22＋y2)＝2＋|x|，化简得y2＝4x＋4｜x｜,当x＞0时，y2＝8x；当x＜0时，y＝0.答案:B5解析：由双曲线关于x轴对称，可知BC⊥x轴．设△ABC边长为a，则B点坐标（eq\f（\r(3)，2）a－1，eq\f（a,2))，代入双曲线方程，得(eq\f(\r（3）a，2）－1）2－eq\f（a2,4）＝1，得a＝2eq\r（3)或a＝0(舍去）．所以S△ABC＝eq\f(\r(3)，4)(2eq\r(3))2＝3eq\r（3).答案:C6解析：由题意，b＝2，a＝2eq\r(2）,c＝2eq\r（3)，由|AB｜是｜AF1｜、|AF2｜的等差中项及双曲线的定义得|BF1|＝a.答案：C7解析：方程Ax2－By2＝AB可变为eq\f（x2，B)－eq\f（y2,A）＝1，令x＝0,直线可变为y＝A。结合A、B、C选项可知A＜0，故不选C.令y＝0，直线可变为x＝－eq\f(A,B），由选项A可知－eq\f(A,B)＜0，则eq\f(A，B）＞0，与A图矛盾．对于D，A＞0，eq\f(x2，B）－eq\f(y2,A）＝1表示焦点在x轴的双曲线，故与D矛盾．所以选B项．答案：B8解析：由|BF|＝2小于点M到准线的距离（eq\r（3)＋eq\f(1，2）)知点B在A、C之间，由抛物线的定义知点B的横坐标为eq\f(3,2），代入得y2＝3，则B(eq\f(3，2)，－eq\r(3）)〔另一种可能是(eq\f（3，2）,eq\r（3）)〕，那么此时直线AC的方程为eq\f（y－0，－\r(3）－0)＝eq\f(x－\r（3)，\f(3，2）－\r(3)），即y＝eq\f（2x－\r(3），2－\r(3）),把y＝eq\f(2x－\r(3),2－\r(3）)代入y2＝2x,可得2x2－7x＋6＝0，可得x＝2，则有y＝2,即A(2,2)，那么S△BCF∶S△ACF＝BC∶AC＝(eq\f(3,2)＋eq\f(1,2））∶（2＋eq\f（1,2)）＝4∶5.答案：A9解析:设抛物线焦点为F,连结AF，AF与抛物线的交点P为所求P点，此时|PA｜＋｜PM｜＝｜PA｜＋|PF|－eq\f（1,2）≥|AF｜－eq\f(1,2)＝eq\f（9，2)。答案：C10解析：由PF1⊥PF2,得｜PF1｜2＋|PF2｜2＝4c2.又∵｜|PF1｜－｜PF2｜|＝2a，∴|PF1｜｜PF2|＝2b2。∴点P到实轴的距离为eq\f（｜PF1||PF2｜，｜F1F2｜）＝eq\f（b2，c).答案：A11答案:eq\f(\r(2）,2)12解析：e1＝eq\f（\r（5)－1，2)＝eq\f（\r(a2－b2),a)＝eq\r（1－\f（b2,a2)),eq\f(b2,a2）＝eq\f(\r(5)－1,2），双曲线的离心率e2＝eq\r（\f（a2＋b2,b2)）＝eq\r（\f（a2，b2)＋1）＝eq\r(\f(2,\r(5)－1）＋1）＝eq\r（\f(\r（5）＋1,2)＋1）＝eq\r（\f（6＋2\r（5），4)）＝eq\f（\r（5）＋1，2）。答案:eq\f(\r（5）＋1，2）13解析：设A(x1，y1），B（x2，y2)，由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,\f（x2,4）＋\f（y2，3）＝1））可得7x2＋8x－8＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(8,7),x1x2＝－eq\f(8，7)。由弦长公式可得｜AB｜＝eq\r（1＋k2）|x2－x1｜＝eq\r(1＋12）·eq\r（－\f（8，7）2－4×－\f（8,7）)＝eq\f(24，7)。答案:eq\f(24，7)14解析:因为B(0，1)，设过点B的直线l：y＝kx＋1,与eq\f(x2,4）－y2＝1联立，消去y得(eq\f（1，4）－k2)x2－2kx－2＝0.当eq\f(1,4）－k2＝0,即k＝±eq\f(1，2）,有一个交点；当eq\f(1，4)－k2≠0时，若有两个不同的交点，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4k2＋8\f（1,4)－k2＞0，，\f(2,k2－\f(1,4)）＞0，，\f(2k，\f(1，4）－k2)＜0，）)得eq\f（1，2）＜k＜eq\f(\r（2），2).综上所述得k的取值范围为eq\f(1,2)＜k＜eq\f（\r(2)，2）。答案：(eq\f(1,2），eq\f(\r（2),2）)15解析：①中斜率不一定存在；②点（x0，y0）不一定在圆上；③当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段．答案:④16分析：应用直接法求点P的轨迹方程即可．解：作PQ⊥l，垂足为Q，则P点的轨迹就是集合{P||PA｜＋｜PQ｜＝6｝，即eq\r（x－22＋y2）＋｜x－4|＝6。当x≥4时，方程为y2＝－16(x－6）(x≤6）；当x＜4时，方程为y2＝8x(x≥0）．故P点的轨迹为两条抛物线弧y2＝8x（0≤x＜4)和y2＝－16（x－6）（4≤x≤6）．17分析:由双曲线方程可求其右顶点坐标，从而求出抛物线的焦参数p.解:∵双曲线eq\f(x2，9）－eq\f（y2，16）＝1的右顶点坐标是(3，0),∴eq\f（p,2）＝3，且抛物线的焦点在x轴的正半轴上．∴所求抛物线的方程和准线方程分别为y2＝12x和x＝－3。18分析：应用点斜式设出l的方程，借助于中点坐标公式及根与系数的关系求得AB中点的轨迹方程．将x用k表示出来,通过k的范围求得x0的范围．解：（1)抛物线y2＝4px（p＞0）的准线为x＝－p∴M(－p,0)．设l：y＝k（x＋p)(k≠0)，代入y2＝4px，得k2x2＋2(k2－2)px＋k2p2＝0,由Δ＝4(k2－2)2p2－4k4p2＞0得－1＜k＜1(k≠0）,设线段AB的中点为Q（x,y)，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f（x1＋x2，2)＝\f（2，k2)－1p，，y＝kx＋p＝\f（2p，k)，))消去k，得y2＝2p(x＋p)（x＞p），这就是所求的轨迹方程．(2）由(1)知线段AB的中点Q(（eq\f（2,k2)－1）p，eq\f（2p，k)），线段AB的垂直平分线方程为y－eq\f(2p,k)＝－eq\f(1，k)[x－（eq\f(2,k2)－1)p］，令y＝0得x0＝(eq\f(2，k2）＋1)p，因为0＜k2＜1，所以x0＞3p.19解:(1）设点P（x，y)，由eq\f(x2，4)＋y2＝1，知F1(－eq\r（3）,0)，F2(eq\r（3)，0)，由eq\o(PF1，\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6（→））＝0得所求轨迹方程为x2＋y2＝3。(2)当弦AB被点P0平分时,OP0⊥AB，∵kOP0＝－1，∴kAB＝1,故直线AB的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.(3)设双曲线C3的方程为eq\f（x2,a2）－eq\f(y2，b2）＝1，则a2＝4－1＝3