河南省郑州市2023-2024学年高二年级下册期末考试数学试卷（含答案解析）

河南省郑州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若/（x）=sinx-cosa,则/等于（）

A.cosx-sinaB.cosx+sintz

C.cosxD.sinx

2.已知随机变量X满足。（2-2X）=4,下列说法正确的是（）

A.O（X）=-1B.D（X）=1

C.D（X）=4D.D（X）=2

3.五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土.

现将“金木、水、火、土”排成一排，贝上土、水”相邻的排法种数为（）

A.12B.24C.48D.72

4.已知由样本数据（^.,7,）（/=1,2,3,--,10）组成一个样本，可得到回归直线方程为y=2x+a,

且手=3,y=4.7,则样本点（4,7）的残差为（）

A.0.3B.-0.3C.1.3D.-1.3

5.某校乒乓球社团为了解喜欢乒乓球运动是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查.

已知抽查的男生、女生人数均为6加（根eN*）,其中男生喜爱乒乓球运动的人数占男生人数的

21

女生喜爱乒乓球运动的人数占女生人数的不若本次调查得出“有99.5%的把握认为喜爱

32

乒乓球运动与性别有关”的结论，则冽的最小值为（）

n(ad-bc¥

附：参考公式及数据：/=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

a0.100.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

A.20B.21C.22D.23

6.函数/（月=/-3x在区间（m,2）上有最小值,则”?的取值范围是（）

试卷第1页，共6页

A.[-3,1)B.(-3,1)C.(-2,1)D.[-2,1)

7.不等式3A：42A幻+6A；的解集为（）

A.{3,4,5}B.{3,4,5,6}C.{x|3<x<5)D.{x|3<x<61

2023]।2025

8.设”声!—,c=In------,则（)

20242024

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.c<a<b

二、多选题

9.下列说法中，正确的是（）

A.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1

B.在样本数据=1,2,3,…,10）中，根据最小二乘法求得线性回归方程为夕=3尤-1,

去除一个样本点（4，兀）后，得到的新线性回归方程一定会发生改变

C.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越低

D.已知随机变量4~N（0,〃），若P9>2）=0.2,贝！（-24442）=0.6

10.已知函数〃x）=ox-lnx,则“/（x）有两个零点”的一个充分不必要条件是（）

12

A.0<。<—B.0<tz<—

ee

C.0<tz<-D.0<。<—

2e4e

11.杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》

和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称

这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，

由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.根据以上材料，以下说法正确的

是（）

试卷第2页，共6页

A.第2024行中，第1012个数最大

B.杨辉三角中第8行的各数之和为256

C.记第〃行的第，个数为％,则£2"4=3"

Z=1

D.在“杨辉三角”中，记每一行第4(AeN*)个数组成的数列称为第左斜列，该三角形数

阵前2024行中第左斜列各项之和为C；025

三、填空题

12.曲线y=xe'在点(l,e)处切线的斜率为.

13.某班教室一排有6个座位，如果每个座位只能坐1人，现安排三人就座，恰有两个空位

相邻的不同坐法有种.(用数字作答)

14.在4尻C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%人患了流感.假设这三个

地区的人口数的比为5:7:8,现从这三个地区中任取一人，则这个人患流感的概率

是；如果此人患流感，此人选自A地区的概率.

四、解答题

15.已知二项式'x+jj(〃eN*)的二项展开式中二项式系数之和为256.

(1)求展开式中一的系数；

试卷第3页，共6页

(2)求展开式中所有的有理项.

16.在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车发展的方向.为促进新能源汽

车发展，实施差异化交通管理政策，公安部将在2018年上半年，将在全国所有城市全面启

用新能源汽车专用号牌.2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划》

(2021—2035年)要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质

量可持续发展.随着国家对新能源汽车产业的支持，很多国产新能源汽车迅速崛起，又因其

颜值高、空间大、提速快、用车成本低等特点深得民众的追捧，目前充电难问题已成为影响新

能源汽车销量的关键因素，国家为了加快新能源汽车的普及，在全国范围内逐步增建充电桩.

某地区2019—2023年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如表所示：

年份20192020202120222023

充电桩数量X/万台13579

新能源汽车年销量了/万辆2537485872

(1)由上表中新能源汽车年销售量(用和充电桩数量(x)的样本数据所画出的散点图知，它们

的关系可用线性回归模型拟合，请用所学统计知识进行定量分析；(结果精确到0.001)；

(2)求V关于龙的线性回归方程，且预测当该地区充电桩数量为24万台时，新能源汽车的年

销量是多少万辆？

nn

E(%一可(乂-力E%%一“反

参考公式：相关系数"“==反，1“，回归方程

(z-7)2也(％-才迂仇一河

Vi=ii=iyi=iz=i

才(占-可(乂-了)

y^a+bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为3=『-----------，石=7-层.参考数

可2

i=l

555

据：£(占-可2=40,£(力-歹)2=1326,£X,%=1430,753040«230.3041..

1=1Z=11=1

17.已知函数/(x)=ax2-(a+4)x+2ha,其中a>0.

⑴当a=l时，求函数在(0,4］上的最大值;

⑵讨论“X)的单调性.

18.从2020年开始，新高考数学试卷中出现了一种新的题型多选题.教育部考试中心通过科

试卷第4页，共6页

学测量分析，指出该题型扩大了试卷考点的覆盖面，有利于提高试卷的得分率，也有利于提

高试卷的区分度.新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正

确的，每一道题考生全部选对得6分.对而不全得3分，选项中有错误得0分.设一套数学试

卷的多选题中有2个选项正确的概率为P(O<P<1),有3个选项正确的概率为1-P，没有4

个选项都正确的(在本问题中认为其概率为0).在一次模拟考试中：

(1)小明可以确认一道多选题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答

案，若小明该题得6分的概率为1，求0；

(2)小明可以确认另一道多选题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方

案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另

外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若p=\，以最后得分的数学期望为决策依据，

小明应该选择哪个方案？

19.从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为『.牛顿在《流数法》一书

中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.具体做法如下：先在x轴找初始点

%伉,0),然后作y="x)在点。。(%,/伉))处切线，切线与无轴交于点月(国⑼，再作y=

f(x)在点。处切线(储轴，以下同)，切线与x轴交于点6(%,0),再作y=

f(x)在点2(%，/(%))处切线，一直重复，可得到一列数：尤。,国产2,…/”.显然，它们会越

来越逼近，•.于是，求〃近似解的过程转化为求斗，若设精度为£,则把首次满足"-七/<£

的X”称为r的近似解.

⑴设1(力=丁+/+1,试用牛顿法求方程/(力=0满足精度£=0.5的近似解(取X°=-1,

且结果保留小数点后第二位)；

(2)如图，设函数g(x)=2，；

试卷第5页，共6页

2#

PiC)(Po)|x

(i)由以前所学知识，我们知道函数8@)=2工没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加

以解释？

(ii)若设初始点为《(0,0),类比上述算法，求所得前〃个三角形

△PoQoC，△月。禺,...-10”_闺的面积和.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.c

【分析】按照导数四则运算法则求导即可.

【详解】r(x)=cosx.

故选：C.

2.B

【分析】根据随机变量线性运算的方差规律，直接求解即可.

【详解】根据随机变量线性运算的方差结论，得到〃(2-2X)=4O(X)=4,则。(X)=l.

故选：B.

3.C

【分析】利用捆绑法计算即可求解.

【详解】将“土、水”绑在一起，当做一个整体，有A；=2种排法，

将该整体与“金、木、火”全排列，共有A：=24种排法，

所以共有2x24=48种排法.

故选：C

4.A

【分析】先将中心丘,亍)代入回归方程求出将x=4代入回归方程求得e=6.7,结合残差

的定义即可求解.

【详解】由题意知，将点(3,4.7)代入步=2》+4,

得&=—1.3,所以9=2X-L3,

将x=4代入"2x-1.3,解得学=6.7,

所以样本点(4,7)的残差为7-6.7=0.3.

故选：A

5.D

【分析】依题意，作出2x2列联表，计算/的值，依题意，须使/的值不小于小概率0.005

对应的M。05,求解不等式即得.

【详解】依题意，作出2x2列联表：

男生女生合计

答案第1页，共10页

喜爱乒乓球运动4m3m7m

不喜爱乒乓球运动2m3m5m

合计6m6m12m

12m(4m-3m-2m-3m)212m

则力2

35

因本次调查得出“有99.5%的把握认为喜爱乒乓球运动与性别有关”的结论，故得

叫27.879,

35

解得加222.98,因加eN*,故机的最小值为23.

故选：D.

6.D

【分析】求出导数，判断单调性，结合函数图象，求出加的范围即可.

【详解】求导/''(x”3x2-3=3(x+l)(x-l),令/(无)=0,得》=±1.

易知函数在(f,-1),(1,y)单调递增，在(T1)单调递减，且〃-2)=-2,/(-1)=2,/(1)=-2,

/(2)=2,由图象知一24%<1

故选：D.

7.A

【分析】利用排列数公式将不等式转化为二次不等式求解.

【详解】易知x23,XGN.

因为A；=x(x_l)(%_2),A*=(x+l)x,=x(x-l),

所以原不等式可化为3x(xT)(x-2)W2x(x+l)+6x(x-l),

所以34xW5,

答案第2页，共10页

所以原不等式的解集为{3,4,5}.

故选：A

8.B

【分析】构造函数/(x)=x-ln(x+l)(O«x«l),利用导数研究单调性，即可比较6,c,由

2023

eV竭〉/ce。—-]1，可比较b,从而得到答案

1y

【详解】构造函数/(x)=x—ln(x+l)(0<x<l),所以/，⑴句一^—=丹〉0,即/(X)在

1+X1+X

(0,1)上单调递增，

所以〃一1—)〉"0)=0，即^——ln(l+—)>0,即一1—>ln些，所以6>c,

20242024202420242024

2023

又因为e丽〉e。7，所以。>6,贝lja>6>C,

故选：B

9.AD

【分析】对于A选项，根据线性相关性判断；对于B选项，当点再回归直线上时来判断；

对于C选项，根据残差点分布特征判断；对于D选项，运用正态分布对称性解题即可.

【详解】对于A选项，根据线性相关性判断，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系

数的绝对值越接近于1,则A正确；

对于B选项，当点在回归直线上时，去掉后，回归方程不改变，故B错误；

对于C选项，根据残差点分布特征，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明

波动越小，说明模型的拟合精度越高，故C错误；

对于D选项，运用正态分布对称性，随机变量，~N(0,〃)，若尸4>2)=0.2,贝I]

P«<-2)=0.2,则尸(「24，。2)=1-02x2=0.6,故D正确.

故选：AD.

10.CD

【分析】令函数/■(x)="-lnx=0,分离常数。，然后利用构造函数法，结合导数求得。的

取值范围，根据充分条件和必要条件的概念选出正确答案.

【详解】由题意知/(力="-1=0有两个相异实根，即y=a与g(x)=¥的图像有两个

交点.

答案第3页，共10页

g，(x)=,当xe(O,e),g,(%)>0,g(x)单调递增;

当尤e（e,+8）,g,（x）＜0,g（无）单调递减.

g(e)=L当x-0,g(x)f-s

当Xf+oo,g(%)>0,所以

e

又因为CD是的真子集，所以答案选CD.

故选：CD.

11.BC

【分析】利用（。+6）”的展开式的二项式系数的性质可判断AB；求出q=C『，再利用（1+2）"

展开式的特征可判断C；利用C：+C：+1=C：：；可判断D.

【详解】对于A,因为杨辉三角的第〃行就是（a+4”的展开式的二项式系数,

即C：,C；,…,C：,当〃为偶数时中间一项最大，因为“=2024,

所以C；o24，C；°24,…,C言：中间一项最大，且为第1013个数最大，故A错误；

对于B,杨辉三角中第8行的各数之和为C；+C；+…+C；=2'=256,故B正确；

对于C,记第〃行的第，个数为生，则q=C；

n+1n+\

则£21%=32'-（丁=《2°+&2+-+（3；2"=（+2）"=3",故C正确；

i=li=l

.vjInI

对于D,因为~而

r\\n-ry.（r+1）!（〃一/一1）!

二加（1I1）（"+1）!'L

r\{n-r—^\n-rr+\）（r+l）!（«-r）!，，+1"

所以上22时，该三角形数阵前2024行中第左斜列各项之和为

c3+c3+C;；+…+c柒4=C+c3+ct；+…+c晶4=c£，

笈=1时，该三角形数阵前2024行中第1斜列各项之和为2024,而C£s=2025,

所以C£s只适用于左22,故D错误.

故选：BC.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用（。+，）”的展开式的二项式系数性质解题.

12.2e

答案第4页，共10页

【分析】求出函数的导函数，再代入X=1计算可得.

【详解】解：因为y=xe，，所以y'=（l+x）e，，所以川1=（1+1户=2e

即曲线y=xe，在点（l,e）处切线的斜率为2e.

故答案为：2e

13.72

【分析】由已知可得，将安排三人就座看成3个坐着人的座位和3个空座位排队，利用捆绑

法和插空法结合排列数和组合数的计算可得答案.

【详解】由题意，可看成3个坐着人的座位和3个空座位排队，

恰有两个空座位相邻，故和另外一个空座位均不相邻，

先安排3个坐着人的座位，共有A；=3x2xl=6种坐法，产生4个空位，

然后安排空座位到空中，相邻的两个空位捆绑在一起，看做一个元素，有C；=4种坐法，然

后再从剩余的3个空中选择一个，将剩余的一个空座位安上，有C；=3种坐法,

所以共有6x4x3=72种坐法.

故答案为：72.

9730

14.0.0485/

200091

【分析】利用全概率公式可求这个人患流感的的概率；利用条件概率公式可求如果此人患流

感，此人选自A地区的概率.

【详解】记事件。:选取的这个人患了流感，记事件氏此人来自A地区，记事件厂:此人来

自3地区，记事件G:此人来自C地区，

则O=OUEU尸，且G、E、尸彼此互斥,

57X

由题意可得P（E）=^=0.25,尸仍）=力=0.35,尸（G）=4=0.4,

P（D|E）=0.06,P（r>|F）=0.05,P（Z）|G）=0.04,

由全概率公式可得尸（。）=尸（E）.尸（叫E）+P（尸）.尸（Z>/）+P（G）•尸（£）|G）

=0.25x0.06+0.35x0.05+0.4x0.04=0.0485；

30

由条件概率公式可得尸（叫=篇=笔，若辞

97

答案第5页，共10页

故答案为：0.0485；—.

15.(1)1792

(2)256/1792，,112

【分析】(1)根据二项式系数之和的公式建立方程，可求解”的值，从而求出展开式的通项

公式，令x的指数为4,即可求解；

(2)根据(1),令x的指数为整数，求出r的值，进而可以求解.

【详解】(1)由二项式系数和为2",则2"=256,解得"=8；

则展开式的通项公式为=C；(2尤广•[=C；2".xT,r=0,l,2,3,4,5,6,7,8,

4

令8-7=4,解得r=3,所以展开式中含的系数为C>25=1792；

4

(2)由(1)可知，48--reZ,且r=0,1,2,3,4,5,6,7,8,则r=0,3,6,

则展开式中的有理项分别为C，爱*8=256/,C^-25-X4=1792X4,C®-22-x°=112.

16.(1)答案见解析

⑵"5.75x+19.25；157.25万辆

【分析】(1)先求出，结合题意中的公式计算即可求解;

(2)根据最小二乘法计算B，进而求出力,写出线性回归方程+将x=24代入方

程即可下结论.

-1—1

【详解】(1)由题知》=《'(1+3+5+7+9)=5,j=-x(25+37+48+58+72)=48,

5_5_5

又2区-x)2=40,£(%-y)2=1326,£x,%=1430,

i=lz=li=\

所以

因为y与x的相关系数近似为0.999,非常接近1,

所以y与x的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合y与x的关系;

答案第6页，共10页

&=1—^=48—5.75x5=19.25,

所以y关于x的线性回归方程为y=5.75x+19.25.

当尤=24时，,=5.75x24+19.25=157.25,

故当充电桩数量为24万台时，该地区新能源汽车的年销量为157.25万辆.

17.(l)-4+41n2

(2)答案见解析

【分析】(1)当。=1时，利用导数研究函数单调性，从而得最值；

(2)求得仆)=(“1产—1),对实数。的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化,

综合可得出函数/(无)的单调性.

【详解】(1)当。=1时，/(x)=x2-5x+21nx,

则_f(x)=2x-5+"2XT)(X2),

XX

所以，当0<x<：或x>2时，r(x)>0,则函数/(x)单调递增，

当(<x<2时，r(x)<0,则函数/(x)单调递减，

故函数/(X)在和(2,4)上单调递增，在&上单调递减，

191

又/(-)=---2In2,/(4)=-4+4In2,/(4)>f(~],

242

所以，函数/(x)在(0,4]上的最大值为-4+4U12；

(2)函数/(无)=加-(a+4)x+21nx的定义域为(0,+oo),

,

/(x)=2flx-(a+4)+-=2-—(。+4"+2='-2)红一1),

21

当。>0时，由/''(x)=o,可得占=—,%=：，

a2

1O

当0<。<4时，当彳<x<—时，/'(x)<0,此时，函数单调递减,

2a

1o

当0<x<：或x>*时，止匕时，函数/(x)单调递增，

2a

答案第7页，共10页

当Q=4时，对任意的x>0,/(x)>0,

此时，函数/(x)在(0,+8)上单调递增;

O1

当。>4时，当—<x<时，此时，函数/'(x)单调递减，

a2

当0<x<o,或x>51时，f'(x)>0,止匕时，函数/(X)单调递增，

综上所述，当0<a<4时，函数/(x)在(0,£|、上单调递增，在上单调递

减；

当。=4时，函数/(X)在(0,+8)上单调递增；

当0>4时，函数〃x)在(0,£|、&,+"上的单调递增，在仔,；］上单调递减.

18.⑴;

(2)答案见解析

【分析】

(1)根据条件概率公式求解即可；(2)分别求出方案①，方案②，方案③的得分或者得

分期望值，然后根据得分情况选择方案即可.

【详解】(1)

(1)根据题意可知，不妨记一道多选题“有2个选项正确”为事件4,“有3个选项正确”

为事件也，“小明该题得6分”为事件3,则尸(8)=尸(84)=尸(4)*尸(⑸4)=。x*=',

解得。=9；

4

(2)

若小明选择方案①，则小明的得分为3分，

若小明选择方案②，记小明该题得分为X,

则X的可能取值为0,3,6,对应概率为：

尸(x=o)=尸㈤)晟+尸区17

—X―I-------XT

12312336

147

尸(X=3)=/

3618

答案第8页，共10页

C1515

尸(X=6)=尸(4)T=一x—=一

'"c；12336

171457?

故E(X)=0xw+3x忑+6X^=W=2，

36363o36

若小明选择方案③，记小明该题得分为匕