2025届高三数学一轮总复习 第七章 第五讲 椭圆配套课件

第五讲椭圆2025年高考一轮总复习第七章

平面解析几何1.椭圆的概念

把平面内与两个定点F1，F2

的距离的和等于常数2a(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数.(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集.项目图形2.椭圆的标准方程和几何性质项目性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b(续表)项目性质焦距|F1F2|＝2c离心率e＝

∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2(续表)【名师点睛】点P(x0，y0)和椭圆的位置关系

【常用结论】

考点一椭圆的定义及其应用[例1](1)(2023年广州市校级期末)△ABC的周长是8，B(－1，0)，C(1，0)，则顶点A的轨迹方程是()

解析：∵△ABC的两顶点B(－1，0)，C(1，0)，周长为8，∴BC＝2，AB＋AC＝6， ∵点A到两个定点的距离之和等于定值，且6>2，∴点A的答案：A(2)(2023年东坡区校级期中)设F1，F2

分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则|PF1|＝()A.4B.3C.2D.5F1P的中点，∴OM是三角形PF1F2

的中位线，∵|OM|＝3，∴|PF2|＝6，又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴|PF1|＝4，故选A.答案：A【题后反思】椭圆定义的应用技巧(1)探求轨迹：通过动点与两定点的距离之间的关系判断动点轨迹是否为椭圆.(2)应用定义转化：涉及焦半径的问题，常利用|PF1|＋|PF2|＝2a实现等量转换.(3)焦点三角形：常把正、余弦定理同椭圆定义相结合，用于求焦点三角形的面积等问题.【变式训练】任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|－|PF1|的最小值为_____.答案：－5答案：3

考点二椭圆的标准方程

[例2](1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1

内部且和圆C1相内切，和圆C2

相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()

解析：设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，

所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，答案：D解析：如图7-5-1所示，∵M1F的中点为B(0，1)，∴OB是△MF1F2的中位线.图7-5-1则MF2＝2OB＝2，且MF2⊥F1F2.∵MF2＝2，∴MF1＝2a－2，∵(MF1)2－(MF2)2＝4c2，∴(2a－2)2－4＝4c2.答案：A

(3)(2023年安徽省期中)(多选题)已知椭圆C以坐标轴为对称轴，经过点(4，0)，且长轴的长度是短轴的长度的2倍，则椭圆C)的标准方程可以是(

解析：当椭圆C的焦点在x轴上时，已知椭圆C过点(4，0)，故a＝4.因为长轴的长度是短轴的长度的2倍，即2a＝2×2b，即b＝2，当椭圆C的焦点在y轴上时，已知椭圆C过点(4，0)，故b＝4.因为长轴的长度是短轴的长度的2倍，所以2a＝2×2b，即a＝8，故选BC.答案：BC【题后反思】

(1)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式.(2)椭圆的标准方程的两个应用【变式训练】1.(2023年江西省模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，解析：由于椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，所以设椭圆解析：不妨设点A在第一象限，如图D76所示.图D76∵AF2⊥F1F2，∴A(c，b2)(其中c2＝1－b2，0＜b＜1，c＞0).又∵|AF1|＝3|F1B|，

考点三椭圆的几何性质考向1椭圆的长轴、短轴、焦距、离心率4，则m等于()A.8B.7C.6D.5所以c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.答案：A(2)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为()的对称性，可画出满足题意的图形，如图7-5-2所示，图7-5-2答案：D考向2与椭圆性质有关的最值或范围问题答案：A【题后反思】(1)求椭圆离心率的方法①直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解；②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝(2)在求与椭圆有关的一些量的范围或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系.(3)与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法①利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围；②利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围；③利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.

【考法全练】

1.(考向1)(2023年恩施州期末)法国数学家加斯帕尔·蒙日发现，与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我的蒙日圆上的一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与该蒙日圆分别交于P，Q两点.若△MPQ的面积的最大值为28，则椭圆C的长轴的长度为()A.5B.8C.4D.10解析：由题意可知椭圆C的蒙日圆的半径为又S△MPQ的最大值为28，所以a2＝16，a＝4.故椭圆的长轴的长度为2a＝8.故选B.答案：B图7-5-3答案：4⊙椭圆离心率的范围问题

求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围.答案：B方法解读适合题型几何法利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆

＝1(a>b