2024-2025学年新教材高中数学第1章集合1.2第1课时子集真子集学案苏教版必修第一册

1.2子集、全集、补集第1课时子集、真子集学习任务核心素养1．理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合间是否有包含关系．(重点)2．能通过分析元素的特点推断集合间的关系．(难点)3．能依据集合间的关系确定一些参数的取值．(难点、易错点)1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培育数学抽象素养．2．借助子集和真子集的求解，培育数学运算素养.假如一个班级中，全部同学组成的集合记为S，而全部女同学组成的集合记为F，你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？学问点1子集的概念及其性质(1)子集定义假如集合A的随意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集符号表示A⊆B(或B⊇A)读法集合A包含于集合B(或集合B包含集合A)图示(2)子集的性质①A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集．②∅⊆A，即空集是任何集合的子集．③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即子集具备传递性．(3)集合相等若A⊆B且B⊆A，则A＝B.1.(1)任何两个集合之间是否肯定有包含关系？(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？[提示](1)不肯定，如集合A＝{1,2}与B＝{3,4}这两个集合之间没有包含关系．(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”因为集合A可能是空集，也可能是集合B.1.思索辨析(正确的画√，错误的画×)(1)空集中只有元素0，而无其余元素．()(2)任何一个集合都有子集．()(3)若A＝B，则A⊆B且B⊆A.()(4)若a∈A，则{a}⊆A.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√学问点2真子集的概念与性质(1)真子集的概念假如A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．(2)性质①∅是任一非空集合的真子集．②若AB，BC，则AC.2.{0}与∅相等吗？[提示]不相等．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.2.集合A＝{x|0≤x<2，x∈N}的真子集的个数为________．3[集合A＝{0,1}，其真子集分别为∅，{0}，{1}共3个．]类型1确定集合的子集、真子集【例1】设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集与真子集．[解]由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，解方程得x＝－4，或x＝－1或x＝4，故集合A＝{－4，－1,4}．由0个元素构成的子集为：∅；由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}；由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}；由3个元素构成的子集为：{－4，－1,4}；故集合A的子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}共8个子集．真子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}共7个．确定子集、真子集的关键点是什么？有什么规律？[提示]1.有限集的子集的确定问题，求解关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，依据子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的依次逐个写出满意条件的集合；(3)留意两个特别的集合，即空集和集合本身．2．与子集、真子集个数有关的三个结论假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集的个数为2n个；(2)A的真子集的个数为2n－1个；(3)A的非空真子集的个数为2n－2个．[跟进训练]1．已知集合M满意{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M全部的可能状况．[解]由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满意条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．类型2集合关系的推断【例2】指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(3)P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，Q＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}；(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；(5)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}．[解](1)用列举法表示集合B＝{1}，故BA.(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．(3)∵P表示3的整数倍少1的数构成的数集，Q表示3的整数倍多2的数构成的数集，∴P＝Q.(4)等边三角形是三边相等的三角形，故AB.(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可发觉AB.推断集合关系的方法(1)视察法：一一列举视察．(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征推断关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．提示：若A⊆B和AB同时成立，则AB更能精确表达集合A，B之间的关系．[跟进训练]2．推断下列各组中集合之间的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}．[解](1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB.(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC.类型3集合之间的包含关系【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m若BA，求实数m的取值范围？集合B中的元素有何特点？可能为空集吗？m满意什么条件时B＝∅.[提示]集合B中的元素不确定，随m的改变而改变．B可能为空集．当m＋1>2m－1时B＝∅[解](1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m(2)当B≠∅时，如图所示．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，))解这两个不等式组，得2≤m≤3.综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．1．若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围．[解](1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m(2)当B≠∅时，如图所示，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>－2，,2m－1<5，,m＋1≤2m－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>－3，,m<3，,m≥2，))即2≤m<3，综上可得，m的取值范围是{m|m<3}．2．若本例条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围．[解]当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1>m＋1，,m＋1≤－2，,2m－1≥5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>2，,m≤－3，,m≥3，))∴m不存在．即不存在实数m使A⊆B.1．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采纳数形结合的思想，借助数轴解答．2．两个易错点(1)当B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种状况探讨；(2)列不等关系式时，应留意等号是否成立．[跟进训练]3．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}且B⊆A.求实数m[解]∵B⊆A，∴可以分B＝∅或B≠∅探讨．(1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥(2)当B≠∅时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1<m＋1，))解得－1≤m<2.综上可得m≥－1.1．设集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，则下列关系正确的是()A．N∈M B．N∉MC．N⊇M D．N⊆MD[∵1∈{1,2,3}，∴1∈M，又2∉N，∴N⊆M.]2．(多选题)下列四个集合中，不是空集的为()A．{0} B．{x|x>8，且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}ACD[满意x>8且x<5的实数不存在，故{x|x>8，且x<5}＝∅.]3．集合A＝{x|x(x－2)＝0}，则集合A的子集的个数为________．4[由x(x－2)＝0得x＝0，或x＝2，所以A＝{0,2}．A的子集有∅，{0}，{2}，{0,2}．]4．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＝1))))，则A，B的关系是________．BA[∵B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＝1))))＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA.]5．已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{