第二章直线和圆的方程夯实基础-01直线的倾斜角与斜率

第二章直线和圆的方程01直线的倾斜角与斜率一、问题导学：1.确定直线的要素有哪些？2.如何体现直线的方向性即倾斜程度？3.倾斜角与直线上两点坐标之间有何联系？4.所以的直线都有倾斜角吗？所有的直线都有斜率吗？如何求直线的斜率？5.特殊角的正切值？你还记得正切函数的图像吗？二、知识构建知识点一直线的倾斜角1.倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．2.倾斜角的范围当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下：倾斜角直线图示知识点二直线的斜率1.斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即．（1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；（2）倾斜角时，直线的斜率不存在。2.倾斜角与斜率的关系直线的情况平行于轴由左向右上升垂直于轴由左向右下降的大小的取值范围不存在的增减性—随的增大而增大—随的增大而减增大知识点三过两点的直线的斜率公式经过两点、的直线的斜率公式为．知识点四直线的斜率与方向向量的关系我们知道直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线的方向向量的坐标为．当直线与轴不垂直时，此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标，即，其中是直线的斜率．因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则斜率为．小结：1.求直线斜率的方法（1）定义法：由倾斜角的值（或范围）求斜率的值（或范围）时，利用定义式求解．（2）公式法：由两点坐标，求斜率，利用两点斜率公式求解．（3）方向向量法：若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则斜率为．2.日常生活中常用坡度表示倾斜面的倾斜程度：．当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的．3.在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.倾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k0eq\f(\r(3),3)1eq\r(3)－eq\r(3)－1－eq\f(\r(3),3)三、类型剖析题型一求直线的倾斜角题型二求直线的斜率题型三利用斜率与倾斜角的关系求范围题型四斜率公式的应用题型五直线与线段的相交关系求斜率的范围四、类型应用题型一求直线的倾斜角【例1】（2324高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）下列图中能表示直线l的倾斜角的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由倾斜角的定义，直线向上的方向与x轴正向之间所成角为倾斜角，可知只有选项A中的表示直线l的倾斜角.故选：A【跟踪训练11】（2324高二上·全国·课后作业）已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角.（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】根据斜率与倾斜角的关系先计算出倾斜角的正切值，然后根据倾斜角的范围求解出倾斜角.【详解】设倾斜角为，，（1）因为，所以；（2）因为，所以；（3）因为，所以；（4）因为，所以.【跟踪训练12】（2324高二上·西藏山南·期末）经过点和的直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用两点斜率公式求出直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系求直线的倾斜角.【详解】设经过点和的直线的的斜率为，倾斜角为，由两点斜率公式可得，所以，又，所以.所以经过点和的直线的倾斜角为.故选：D.题型二求直线的斜率（一）由定义求斜率【例21】（2324高二·全国·课后作业）已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率；（2）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率；（3）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率；（4）利用直线斜率与倾斜角的关系可求得直线的斜率.【详解】（1）解：直线的斜率为.（2）解：直线的斜率为.（3）解：直线的斜率为.（4）解：直线的斜率为.【跟踪训练21】（2324高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）（2）（3）根据斜率与倾斜角的关系计算可得.【详解】（1）因为直线的倾斜角为，所以直线斜率；（2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率；（3）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率；（二）由斜率公式求斜率【例22】如图2.16，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解：直线的斜率，直线的斜率，直线的斜率，由>及可知，直线与的倾斜角均为锐角；由可知，直线的倾斜角为钝角．【跟踪训练22】已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解：直线的斜率，直线的斜率，直线的斜率，由>及可知，直线与的倾斜角均为钝角；由可知，直线的倾斜角为锐角．（三）由方向向量求斜率【例23】（2324高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率.【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为.故选：B【跟踪训练23】（2324高二上·浙江杭州·期末）若点，已知的方向向量为，则实数的值为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】的方向向量坐标为，即.又也是的方向向量，.【跟踪训练24】（2324高二上·湖北黄石·期末）已知是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，由直线的方向向量可知直线的斜率，所以.故选：D.题型三由斜率与倾斜角的关系求范围【例3】（2324高二上·江西南昌·月考）若直线的倾斜角为，且，则直线斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】直线倾斜角为时，斜率为1，直线倾斜角为时，斜率为，当倾斜角为时，斜率不存在，因为在上是增函数，在上是增函数，所以当时，的取值范围是.故选：D【跟踪训练3】（2223高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据斜率和倾斜角的关系，结合图象可得答案.【详解】在上的图象如图所示，由图可知，当时，倾斜角的取值范围为.故选：C.题型四斜率公式的应用（一）利用斜率求参数【例41】（2324高二上·贵州黔南·期中）已知两点，所在直线的斜率为，则.【答案】【分析】根据两点的斜率公式计算可得.【详解】因为两点，所在直线的斜率为，所以，解得.故答案为：【跟踪训练41】（2324高二上·江苏无锡·期末）已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据斜率公式计算即可.【详解】由题意，直线的斜率为，解得，故选：B．（二）利用直线斜率处理共线问题【例42】（2324高二上·浙江仁怀·月考）三点在一条直线上，则k的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，即，解得.故选：B【跟踪训练42】（2024高二·全国·专题练习）若点在过点，的直线上，则．【答案】【分析】根据题意，结合直线的斜率公式，列出方程，即可求解.【详解】由点在过点和的直线上，可得，即，解得.故答案为：.（三）斜率公式的几何意义的应用【例43】（2122高二上·北京·月考）已知，若点在线段上，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】如图，因为表示点Px,y和点又，所以，，由图知，的最小值为，故选：C.题型五直线与线段的相交关系求斜率的范围【例5】（2324高一下·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A．或 B．或C．或 D．【答案】D【分析】根据两点间斜率公式计算即可.【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，结合图象可得直线的斜率的取值范围是.故选：D【跟踪训练51】（2122高二上·山东济宁·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】B【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再画出图形分析可得或，从而即可得解.【详解】依题意，直线的斜率分别为，如图所示：若直线过点且与线段相交，则的斜率满足或，即的斜率的取值范围是或.故选：B【跟踪训练52】（2324高二上·陕西咸阳·月考）已知直线过点，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】画出图象如下图所示，，所以直线的斜率的范围是，对应倾斜角的取值范围是.故选：D五、素养提升：1.（2223高二上·广西玉林·月考）下列命题正确的是（

）①直线倾斜角的范围是；②若直线的斜率为k，则；③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角；④任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率．A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③【答案】C【解析】直线倾斜角的范围是，①正确；直线倾斜角为，当时，值域为，当时，值域为，因此，②正确；因为倾斜角为的直线没有斜率，因此任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，③不正确，④正确，所以给定命题正确的有①②④.故选：C2.（2324高二上·湖北黄石·期末）已知是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由直线的方向向量可知直线的斜率，进而可得倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，由直线的方向向量可知直线的斜率，所以.故选：D.3.（2024·全国·高二专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解.【详解】解：设直线的倾斜角分别为，由题图知，直线的倾斜角为钝角，.又直线的倾斜角均为锐角，且，，.故选：D.4.（2223高二上·江苏苏州·期中）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如下图是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距约为4.4m，拉索下端相邻两个锚的间距均为16m.最短拉索的锚，满足，，则最长拉索所在直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意利用已知长度可分别计算，，再利用斜率的定义可解.【详解】解：如图，以为原点建系，根据题意，最短拉索的锚，满足，，且均为，拉索下端相邻两个锚的间距均为，则，即点，同理，又，即点，所以，，即最长拉索所在直线的斜率为.故选：B.六、随堂检测1.（2324高二上·河北石家庄·期中）过两点和的直线的斜率为（）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】根据斜率公式计算得解.【详解】由斜率公式可知，故选：C2.（2324高二上·江苏徐州·期末）经过两点的直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用两点表示斜率和斜率的定义建立方程，解之即可求解.【详解】由题意知，经过的直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则，所以，即直线的倾斜角为.故选：C3．（2324高二上·广东潮州·期末）已知斜率为的直线经过点，则（

）A． B． C．1 D．0【答案】B【分析】利用斜率公式即可求解.【详解】因为斜率为的直线经过点，所以，解得.故选：B.4.（2324高二上·湖北襄阳·阶段练习）若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角即可.【详解】设直线的倾斜角为，若向量是直线的一个方向向量，则直线的斜率为，因为，所以.故选：A.5.过、两点的直线的倾斜角为，那么．【解答】解：过、两点的直线的倾斜角为，则，又．故答案为：1．6.（2223高二上·天津武清·阶段练习）若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为．【答案】【分析】根据的图象，得出倾斜角θ的取值范围.【详解】根据的部分图象，结合倾斜角定义范围，可以得出倾斜角θ的取值范围为．故答案为：7.（2425高二上·上海·课后作业）给出下列命题：①任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；③若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；④若k是直线的斜率，则；⑤任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中是真命题的有．（填序号）【答案】④【分析】根据直线倾斜角、斜率的定义逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于①、⑤，任一条直线都有倾斜角，但倾斜角为直角的直线没有斜率，即任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，①、⑤均错误；对于②，平行于轴的直线的倾斜角是，②错；对于③，若两条直线的倾斜角均为时，它们的斜率都不存在，③错误；对于④，若k是直线的斜率，则，④对.故答案为：④.8.（2324高二下·全国·课后作业）已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是.【答案】3【分析】利用三点共线与斜率的关系，斜率的计算公式.【详解】三点A，B，C在同一直线上，，，解得.故答案为：3.9.（2223高二下·上海闵行·期末）已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是.【答案】【分析】依题意，作出图象，利用正切函数的单调性，结合图象即得.【详解】如图，要使过点A的直线与线段BC相交，需使直线的倾斜角介于直线的倾斜角之间，即需使斜率满足,因，，故.故答案为：.10.（2324高二上·全国·课后作业）求经过下列两点的直线的斜率、倾斜角：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【答案】(1)斜率为，倾斜角为(2)斜率为，倾斜角为(3)斜率为，倾斜角为(4)斜率不存在，倾斜角为【分析】（1）（2）（3）（4）应用两点式求斜率，结合斜率