专题14一次函数与反比例函数的应用题

专题14一次函数与反比例函数的应用题1．（2023·陕西西安·校考一模）甲网店对某款水果推出试吃活动：5千克及以内为试吃价，超出5千克的部分恢复原价．邮费都为20元，总价y（单位：元）与购买水果质量x（单位：千克）之间的函数图象如图所示．线下乙店的同款水果售价为每千克8元．(1)求总价与购买水果质量x之间的函数表达式；(2)购买该款水果的质量在什么范围时，在甲店购买比在乙店购买省钱?【答案】(1)甲网店总价y与购买水果质量x之间的函数关系式为；线下乙店的总价y与购买水果质量x之间的函数关系式为(2)当时，甲网店更省钱【分析】（1）根据图象求解即可；（2）分两种情况进行讨论，当时，当时，根据甲网店比乙网店更省钱列一元一次不等式，求解即可．【详解】（1）根据图象可知，甲网店水果的试吃价为每千克元，甲网店水果原价为每千克元，∴甲网店总价y与购买水果质量x之间的函数关系式为；线下乙店的总价y与购买水果质量x之间的函数关系式为；（2）当时，，解得，∴时，甲网店省钱；当时，，解得，∴时，甲网店省钱；综上，当时，甲网店更省钱．2．（2023·天津东丽·校考一模）已知小明家、活动中心、书店在同一条直线上，小明从家出发跑步去活动中心，在活动中心活动一段时间后，匀速步行返回到书店，在书店看书停留了一段时间后，匀速骑自行车回家，如图是小明离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：(1)填表：离开家的时间/min410253037离家的距离/km0.8__________1.5_____(2)填空：①小明从家到活动中心的速度_________；②活动中心到书店的距离____________km；③小明从书店返回家的速度为_____________；④当小明离家的距离为0.6千米时，他离开家的时间为__________min．(3)当时，请直接写出关于的函数解析式．【答案】(1)2，1.5，0.9；(2)①②③④3或38；(3)【分析】（1）小明离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系图计算即可；（2）①根据路程速度时间的数量关系求解即可；②根据图表的信息作差即可；③根据路程与时间求速度即可；④分类讨论，分别计算从家出发以及最后回家时离家距离0.6千米时所对应的时间；（3）根据路程=速度×时间，分段列出函数关系式即可．【详解】（1）解：由小明离开家的距离与离开家的时间之间的对应关系图可知：当离家时间为时，离开家的距离；当离家时间为时，离开家的距离小明开始回家，速度为：当离家时间为时，离开家的距离故答案为2，1.5，0.9（2）解：①小明从家到活动中心的速度为：；②活动中心到书店的距离为：；③小明从书店返回家的速度为：；④当小明离家的距离为0.6千米时，他离开家的时间为：或者．（3）解：当时，当时，，当时，设已知此函数图象经过分别代入得：；解得：∴；综上所述：3．（2023·甘肃陇南·校考一模）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一”假期，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y甲（元），在乙采摘园所需总费用为y乙（元），图中折线O﹣A﹣B表示y乙与x之间的函数关系．(1)求y甲、y乙与x之间的函数关系式；(2)当游客采摘15千克的草莓时，你认为他在哪家草莓园采摘更划算？【答案】(1)y甲＝18x+60；y乙＝；(2)甲家草莓园采摘更划算【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可；（2）根据的值，结合（1）中的解析式，分别求得甲乙两家草莓园的总费用，比较即可求解；【详解】（1）根据题意得，甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格：300÷10＝30（元/千克）．∴y甲＝30×0.6x+60＝18x+60；当0＜x≤10时，y乙＝30x；当x＞10时，设y乙＝kx+b，由题意的：，解得，∴y乙＝12x+180，∴y乙与x之间的函数关系式为：y乙＝（2）当x＝15时，y甲＝18×15+60＝330，y乙＝12×15+180＝360，∴y甲＜y乙，∴他在甲家草莓园采摘更划算．4．（2023·陕西宝鸡·统考一模）甲，乙两家超市平时以同样的价格出售相同的商品，春节期间两家超市进行促销活动，促销方式如下：甲超市：所有商品按原价打8折．乙超市：一次购物不超过200元的按原价付款，超过200元后超过的部分打7折．(1)设分别在两家超市购买原价为元的商品后，实付金额为，元，分别写出，与的函数关系式．(2)促销期间，若小刚一次购物的商品原价为500元，他去哪家超市购物更省钱？说明理由．【答案】(1)，；(2)甲超市更省钱，理由见解析【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可求解．（2）将，代入（1）中解析式，继而比较即可求解．【详解】（1）根据题意，得，，整理得：，．（2）甲超市更省钱．理由：（元），（元），∵，∴甲超市更省钱．5．（2023·江西南昌·统考一模）沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的装置．它是根据均匀的沙粒从一玻璃球漏到另一个玻璃球的数量来计量时间．其中上面玻璃球中沙粒完全流入下面玻璃球后立即将沙漏倒置（倒置时间忽略不计），重新进行计时，周而复始．某课外数学小组观察发现：该沙漏上面玻璃球沙粒剩余量粒与流入时间秒成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间在第秒时，上面玻璃球剩余沙粒粒，当流入时间在第秒时，上面玻璃球剩余沙粒粒．(1)求出上面玻璃球沙粒余量粒与流入时间（秒）之间的函数关系式；(2)求沙漏恰好完成第一次倒置所需时间．【答案】(1)；(2)秒【分析】（1）设一次函数的解析式，待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意，沙漏恰好完成第一次倒置，令，即可求解．【详解】（1）解：设一次函数的解析式．将和分别代入．得解得．∴．（2）解：∵沙漏恰好完成第一次倒置，∴．即，解得．∴沙漏恰好完成第一次倒置的时间是60秒．6．（2023·山东枣庄·统考一模）电灭蚊器的电阻y（）随温度x（）变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．(1)当时，求y与x之间的关系式；(2)电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过？【答案】(1)；(2)【分析】（1）设y与x之间的关系式为，把点代入，即可求解；（2）当时，设y与x的关系式为，根据题意可得函数图象过点，点，再代入，然后分别求出时，两函数的函数值，即可求解．【详解】（1）解：当时，设y与x之间的关系式为，根据题意得：该函数图象过点，∴．∴当时，y与x的关系式为：；（2）解：∵，∴当时，．根据题意得：该函数图象过点，∵温度每上升，电阻增加．∴该函数图象过点，∴，解得：，∴当时，y与x的关系式为：；对于当时，；对于当时，；答：温度x取值范围是时，电阻不超过．7．（2023·广东佛山·校考一模）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．售价x（元/千克）…2426…销售量y（千克）…39322728…(1)某天这种水果的售价为25元/千克，求当天该水果的销售量．(2)如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？【答案】(1)30千克；(2)25元【分析】（1）利用待定系数法求出y与x的函数关系式为，然后求出时，y的值即可得到答案；（2）根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，∴，∴，∴y与x的函数关系式为，当时，，∴这种水果的售价为25元/千克是，当天该水果的销售量为30千克；（2）解：由题意得，，∴，解得或（舍去），∴该天水果的售价为25元．8．（2023·天津南开·南开翔宇学校校考一模）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知小红的家、公共阅报亭、快递代收点依次在同一直线上，公共阅报亭离家，快递代收点离家，某天，小红从家出发，匀速走了到公共阅报亭，在公共阅报亭看了杂志后，又匀速走了到快递代收点拿了快递，然后立即匀速走了返回家．给出的图象反映了这个过程中小红离家的距离与离开家的时间之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：(1)填表离开家的时间离家的距离(2)填空①公共阅报亭到快递代收点的距离是；②小红从公共阅报亭到快递代收点的速度是；③当小红在离家的距离是时，她离家的时间是；(3)当时，请直接写出关于的函数解析式．【答案】(1)，，；(2)①；②③和(3)【分析】（1）根据题意以及函数图象，分段分析填表即可求解；（2）①根据题意即可求解；②根据函数图象分析即可求解；③根据函数图象可知有2个时刻小红在离家的距离是，分别求得解析式，令，即可求解；（3）根据题意，结合（2）②即可求解．【详解】（1）解：依题意，公共阅报亭离家，小红从家出发，匀速走了到公共阅报亭速度为，∴时，，∵在公共阅报亭看了杂志，则，，∵匀速走了返回家．速度为当时，填表如下离开家的时间离家的距离300（2）①公共阅报亭到快递代收点的距离是，故答案为：．②小红从公共阅报亭到快递代收点的速度是，故答案为：．③当小红在离家的距离是时，她离家的时间有段，当时，设解析式为，将点，代入得，解得：∴，令，解得：，当时，设解析式为，将点，代入得，，解得：∴，令，解得：，故答案为：和．（3）解：根据图象可得当时，，∴9．（2023·山东菏泽·校考一模）疫情期间，某学校需购买A，B两种消毒剂，负责人小李调查发现：若A种消毒剂每瓶原价比B种消毒剂每瓶原价少10元，用1200元以原价购买A种消毒剂与用1500元以原价购买B种消毒剂的数量相同．购买数量/种类：购买数量少于100瓶购买数量不少于100瓶A原价销售全部以原价的8折销售B原价销售全部以原价的9折销售(1)求A，B两种消毒剂每瓶原价各为多少元？(2)该学校预计购买A，B两种消毒剂共200瓶，且B种消毒剂不少于A种消毒剂数量的，如何购买使所需费用最少，最少费用为多少元？【答案】(1)A，B两种消毒剂每瓶原价分别为40元/瓶，50元/瓶(2)当购买A种消毒剂80瓶，B种消毒剂120瓶时，所需费用最少，最少费用为8600元【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到A，B两种消毒剂每瓶原价各为多少元；（2）根据题意，可以列出相应的函数解析式和不等式，然后根据一次函数的性质，即可解答本题．【详解】（1）解：设A种消毒剂每瓶原价为a元/瓶、则B种消毒剂每瓶原价元/瓶，，解得，，经检验，是原分式方程的解，∴，答：A，B两种消毒剂每瓶原价分别为40元/瓶，50元/瓶；（2）解：设购买A种消毒剂x瓶，则购买B种消毒剂瓶，费用为y元，∵B种消毒剂不少于A种消毒剂数量的，∴，解得，，则，∴y随x的增大而减小，∴当时，y取得最小值，此时，，答：当购买A种消毒剂80瓶，B种消毒剂120瓶时，所需费用最少，最少费用为8600元．10．（2023·陕西西安·高新一中校考一模）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？【答案】（1）；（2）这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．【分析】（1）分段函数，利用待定系数法解答即可；（2）利用（1）的结论，把y＝80代入求出x的值即可解答．【详解】解：（1）当0≤x≤15时，设y＝kx（k≠0），∵y＝kx（k≠0）的图象过（15，20），则：20＝15k，解得k＝，∴y＝；当15＜x≤60时，设y＝k′x+b（k≠0），∵y＝k′x+b（k≠0）的图象过（15，20），（60，170），则：，解得，∴y＝，∴；（2）当y＝80时，80＝，解得x＝33，33﹣15＝18（天），∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．11．（2023·河南周口·一模）商家发现最近很多社区开展“弘扬传统文化”的活动，为了适应市场需求，服务商场周围群众，商场现要从厂家购进两种不同型号和价格的“中国象棋”，已知用600元购进“A型象棋”与用400元购进“B型象棋”的数量相同，且每副“B型象棋”比每副”A型象棋”的价格便宜10元．(1)求这两种“中国象棋”每副的价格；(2)该商场计划购进“B型象棋”的数量比“A型象棋”数量的2倍还多60副，且两种“中国象棋”的总数量不超过360副，售价见店内海报（如图所示）．该商场应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)每副“A型象棋”30元，每副“B型象棋”20元(2)商场购进“A型象棋”100副，“B型象棋”260副，所获利润最大，最大利润为2300元【分析】（1）设每副“A型象棋”x元，则每副“B型象棋”元，根据题意，列出关于x的分式方程求解即可；（2）设商场购进“A型象棋”m副，获得的总利润为w元，根据购进“中国象棋”的总数量不超过360副，列一元一次不等式，求出m的取值范围，再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定最大利润时的进货方案，进一步求出最大利润即可．【详解】（1）设每副“A型象棋”x元，则每副“B型象棋”元，根据题意得：，解得，经检验，是原方程的根，且符合题意，（元），答：每副“A型象棋”30元，每副“B型象棋”20元．（2）解：设商场购进“A型象棋”m副，获得的总利润为w元，根据题意得：，解得，，，∴w随着m的增大而增大，∴当时，w取得最大值，最大值为2300元，（副），答：商场购进“A型象棋”100副，“B型象棋”260副，所获利润最大，最大利润为2300元．12．（2023·江苏盐城·校考一模）在某市双城同创的工作中，某社区计划对1200m2的区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．(1)甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？(2)若甲队每天绿化费用为万元，乙队每天绿化费用为万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少？并求出最少费用．【答案】(1)甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是，；(2)安排甲队工作10天，乙队工作4天，施工费用最少，最少费用为万元【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为，根据题意列出分式方程求解即可；（2）设安排甲队工作a天，乙队工作b天，根据题意列出不等式求解，然后利用一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设乙工程队每天能完成绿化的面积为，根据题意得，解得：，经检验是原分式方程的解，∴，答：甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是，；（2）设安排甲队工作a天，乙队工作b天，由题意得：，整理得：，∵，∴，∴，费用，当时，（万元），答：安排甲队工作10天，乙队工作4天，施工费用最少，最少费用为万元．13．（2023·广西河池·校考一模）某社区计划对面积为1800的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400的绿化时，甲队比乙队少用4天．(1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积；(2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y与x的函数解析式和自变量x的取值范围；(3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100、50(2)(3)安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列方程求解；（2）根据题意得到，整理得：，再根据甲、乙两队施工的总天数不超过26天求出自变量取值范围即可解答．（3）由（2）可得，设施工总费用为元，得出与x的关系式，根据一次函数的性质，即可解答．【详解】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据题意．得：，解得：，经检验，是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是，答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、；（2）根据题意，得：，整理得：，∵甲、乙两队施工的总天数不超过26天，∴，即；解得∴y与x的函数解析式为：．（3）设施工总费用为w万元，根据题意得：∵，∴w随x减小而减小，∵∴当时，w有最小值，最小值为，此时．答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元．14．（2023·四川巴中·校考一模）巴中市某中学为增强学生运用数学知识解决实际问题的能力，该校九（1）班同学进行了一次市场调查，收集整理了一种进价每件20元的商品在第x（）天售价与销量的相关信息，得到如下统计表．时间x（天）售价（元/件）50每天销量（件）(1)求这种商品每天销售利润y（元）与时间x的函数解析式；(2)销售第几天，当天销售利润最大，并求出最大利润；(3)在销售过程中，每天销售利润大于2250元共有多少天？【答案】(1)(2)销售第35天，销售利润最大，最大利润为4050元(3)在销售过程中，每天销售利润大于2250元共有37天【分析】（1）利用分类讨论的方法依据表格信息，利用销售利润（售价进价）销售量解答即可；（2）利用（1）中的结论，根据二次函数和一次函数的性质解答即可；（3）利用二次函数的性质和不等式的性质，依据（1）的结论解答即可．【详解】（1）解：当时，；当时，．综上，每天销售利润y（元）与时间x的函数解析式为；（2），∵，∴当时，y有最大值为4050元，即当时，销售第35天，销售利润最大，最大利润为4050元；，∵，∴y随x的增大而减小，∵，∴当时，y取得最大值为元，即当4时，销售第40天，销售利润最大，最大利润为2400元，综上，销售第35天，销售利润最大，最大利润为4050元．（3）当时，令，则，解得：或，∵，∴，∵中，时，y随x的增大而增大，∴时，每天销售利润大于2250元；即当，7，8...，...，39，共34天每天销售利润大于2250元；当时，，解得：，∵的整数，∴，41，42，共3天每天销售利润大于2250元，综上，在销售过程中，每天销售利润大于2250元共有37天．15．（2023·安徽宿州·统考一模）为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强与气体体积满足反比例函数关系，其图像如图所示．(1)求反比例函数的表达式．(2)当气体体积为60ml时，气体的压强为______kPa．(3)若注射器内气体的压强不能超过500kPa，则其体积V要控制在什么范围？【答案】(1)；(2)100；(3)不少于【分析】(1)设反比例函数的表达式为，将代入计算即可．(2)代入解析式计算即可．(3)代入解析式计算即可．【详解】（1）设反比例函数的表达式为，将代入，得，解得，∴反比例函数的表达式为．（2）∵，∴当时，，故答案为：100．（3）当时，，∴为了安全起见，气体的体积应不少于．16．（2023·云南·校考一模）云南某山区冬季经常缺水，政府在山顶修建了一大型蓄水池．据统计，按每天用水立方米计算，蓄水池剩余的水一个月（30天）刚好用完．如果每天的用水量为x立方米，那么这个蓄水池的水能维持y天．(1)写出y与x之间的函数表达式；(2)如果每天用水立方米，那么蓄水池剩余的水能维持多少天？【答案】(1)；(2)36天【分析】（1）求出蓄水池总储水量，然后得出关系式即可；（2）根据（1）中的关系式求出当时的y值即可．【详解】（1）解：（立方米），∴y与x之间的函数关系式为：；（2）解：当时，（天），∴蓄水池剩余的水能维持36天．17．（2023·河北邢台·统考一模）如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示(与长方体A相同重量的长方体均满足此关系)．桌面所受压强受力面积(1)根据数据，求桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式及的值；(2)现想将另一长、宽、高分别为，，，且与长方体相同重量的长方体按如图所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由，【答案】(1)，0.25；(2)这种摆放方式不安全，理由见解析【分析】（1）观察图表得：压强与受力面积的乘积不变，故压强是受力面积的反比例函数，然后用待定系数法可得函数关系式，令，可得的值；（2）算出，即可求出，比较可得答案．【详解】（1）解：观察图表得：压强与受力面积的乘积不变，故压强是受力面积的反比例函数，设压强)关于受力面积()的函数表达式为，把代入得：，解得：，压强)关于受力面积()的函数表达式为，当时，，；（2）解：这种摆放方式不安全，理由如下：由图可知()，将长方体放置于该水平玻璃桌面上的压强为，，这种摆放方式不安全．18．（2023·陕西西安·校考三模）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数关系（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为200件．(1)写出该商品上市以后日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的表达式．(2)当上市的天数为多少时，日销售量为100件？【答案】(1)当时，；当时，；(2)10天或40天【分析】（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中，利用待定系数法确定其解析式即可；（2）直接利用函数解析式分别得出答案．【详解】（1）当时，设，把代入得：，∴；当时，设，把代入得：，∴，∴当时，；当时，；（2）当时，，解得：，当时，，解得：，故当上市的天数为10天或40天时，日销售量为100件．19．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）今年的春节假期是文旅行业近三年来最火爆的一年，西安作为十三朝古都，由于其悠久的历史无疑成为最具吸引力的旅游城市之一、西安某景点的A、B两种纪念品深受广大游客们的喜爱，经过了解发现，A种纪念品的进价为11元/件，B种纪念品的进价为13元/件．若某商店决定要购进A、B两种纪念品共300件、设购进A种纪念品x件，购进这300件纪念品所需总费用为y元．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)该店进货时，厂家要求A种纪念品的数量不超过B种纪念品的一半，试问如何购进A、B两种纪念品使得所需总费用最低，并说明理由．【答案】(1)；(2)当购进A种纪念品100件，B种纪念品200件时，所需要的总费用最低，理由见解析【分析】（1）设购进A种纪念品x件，则购进B种纪念品件，然后根据总费用A纪念品单价A纪念品数量B纪念品单价B纪念品数量，列出y与x之间的函数关系式即可；（2）先根据题意列出不等式求出，再根据（1）所求利用一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设购进A种纪念品x件，则购进B种纪念品件，由题意得，；（2）解：当购进A种纪念品100件，B种纪念品200件时，所需要的总费用最低，理由如下：∵A种纪念品的数量不超过B种纪念品的一半，∴，∴，∵，，∴y随x增大而减小，∴当时，y最小，最小为3700，∴，∴当购进A种纪念品100件，B种纪念品200件时，所需要的总费用最低．20．（2023·安徽合肥·校考一模）某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用780元，其中，纯净水的销售价x（元/桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系．(1)求y与x的函数关系式；(2)若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？(3)求该班每年购买纯净水费用的最大值，并指出当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水更合算．【答案】(1)；(2)饮用桶装纯净水花钱少；(3)该班每年购买纯净水费用的最大值为1620元；当a至少为48时，该班学生集体改饮桶装纯净水更合算．【分析】（1）设y与x的函数关系式为，根据题意得出k，b的值即可求出y与x的函数关系式．（2）分别计算出买饮料每年总费用以及饮用桶装纯净水的总费用比较可得；（3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，解出二次函数求出W的最大值可求解．【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，根据题意得：当时，；当时，．∴，解之，得，∴y与x的函数关系式为；（2）解：该班学生买饮料每年总费用为（元），当时，，解得．该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为（元）．显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少．（3）解：设该班每年购买纯净水费用为W元，根据题意得：，∴当时，W的值最大，最大值为1620，即该班每年购买纯净水费用的最大值为1620元，∵该班学生集体改饮桶装纯净水更合算，∴，即，解得：，所以当a至少为48时，该班学生集体改饮桶装纯净水更合算．21．（2023·河南商丘·校考一模）为迎接中招体育考试，某校决定采购一批足球以供学生业余训练使用．某体育用品超市推出以下两种优惠方案：方案一，一律打八折；方案二，当购买量不超过80个时，按原价销售，当购买量超过80个时，超过的部分打六折．已知一个足球的原价为50元，设学校计划购买x个足球．(1)设方案一的总费用为，方案二的总费用为，请分别写出，（元）与x（个）之间的函数关系式；(2)若派学生代表去采购足球，他们应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．【答案】(1)；(2)当时，选择方案一更省钱，当时，选择两种购买方式花费相同，当时，选择方案二更省钱，理由见解析【分析】(1)根据题意，分类列式计算即可．(2)根据题意，分建立不等式计算求解即可．【详解】（1）方案一的总费用为；当时，方案二的总费用为；当时，方案二的总费用为，∴方案二的总费用为．（2）当时，选择方案一更省钱，当时，选择两种购买方式花费相同，当时，选择方案二更省钱．理由如下：①当时，∵，∴，∴选择方案一更省钱；当时，∵，∴，∴选择方案一更省钱；②当时，∵，∴，∴两种购买方式花费相同；③当时，∵，∴，∴选择方案二更省钱．当时，选择方案一更省钱，当时，选择两种购买方式花费相同，当时，选择方案二更省钱．22．（2023·广东佛山·统考一模）某物流公司承接、两种抗疫物资的运输业务，已知2月份货物运费单价为70元/吨，货物运费单价为40元/吨，共收取运费130000元；3月份由于油价下调，运费单价下降为：货物50元/吨，货物30元/吨；该物流公司3月承接的种货物和种数量与2月份相同，3月份共收取运费95000元．(1)该物流公司2月份运输两种货物各多少吨？(2)该物流公司预计4月份运输这两种货物3300吨，且货物的数量不大于货物的2倍，在运费单价与3月份相同的情况下，该物流公司4月份最多将收到多少运费？【答案】(1)运输货物1000吨，运输货物1500吨；(2)143000元【分析】（1）设该物流公司2月份运输货物吨，运输货物吨，根据“该物流公司2月份共收取运费130000元，3月份共收取运费95000元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该物流公司预计4月份运输货物吨，则运输货物吨，根据货物的数量不大于货物的2倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设该物流公司4月份共收到元运费，根据总运费每吨的运费运输货物的重量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【详解】（1）解：设该物流公司2月份运输货物吨，运输货物吨，依题意，得：，解得：．答：该物流公司2月份运输货物1000吨，运输货物1500吨．（2）设该物流公司预计4月份运输货物吨，则运输货物吨，依题意，得：，解得：．设该物流公司4月份共收到元运费，则，，随的增大而减小，当时，取得最大值，最大值．答：该物流公司4月份最多将收到143000元运费．23．（2023·河北唐山·统考一模）某零售店销售甲、乙两种蔬菜，甲种蔬菜每千克获利1.1元，乙种蔬菜每千克获利1.5元．该店计划一次购进这两种蔬菜共56千克，并能全部售出．设该店购进甲种蔬菜x千克，销售这56千克蔬菜获得的总利润为y元．(1)求y与x的关系式；(2)若乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的，则该店购进甲、乙两种蔬菜各多少千克时，获得的总利润最大？【答案】(1)；(2)购进甲、乙两种蔬菜分别为16千克、40千克时，获得的总利润最大【分析】（1）设该店购进甲种蔬菜x千克，则该店购进乙种蔬菜千克，根据题意可得y与x的关系式．（2）根据乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的，列不等式得出x的取值范围，根据一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设该店购进甲种蔬菜x千克，则购进乙种蔬菜千克，由题意得：，即．（2）由题意得：，解得，∵，，∴随x的增大而减小，∴当时，y取得最大值，∴该店购进甲种蔬菜16千克，乙种蔬菜（千克），答：购进甲、乙两种蔬菜分别为16千克、40千克时，获得的总利润最大．24．（2023·广东佛山·校联考一模）为按照国家体育器材设施配备目录及标准要求配足体育设施器材，某校计划购买一批篮球、排球和足球，排球和足球个数相同，单价也相同．已知购买2个篮球和3个排球共需440元，购买4个篮球和5个足球共需800元．(1)求每个篮球、排球和足球的售价；(2)如果学校计划购买这三种球共100个，排球、足球总数不超过篮球个数的4倍，请你给出一种费用最少的购买方案，并求出该方案所需费用．【答案】(1)每个篮球的售价为100元，每个排球的售价为80元，每个足球的售价为80元；(2)购买篮球20个、排球40个、足球40个，所需费用为8400元．【分析】（1）设每个篮球的售价为x元，每个排球的售价为y元，则每个足球的售价为y元，根据题意列方程组求解即可得到答案；（2）设购买篮球m个，则购买排球、足球总数为个，根据题意列不等式，求得，设购买篮球、排球和足球的费用为w元，再由题意列出关于的一次函数，根据一次函数的性质即可得到答案．【详解】（1）解：设每个篮球的售价为x元，每个排球的售价为y元，则每个足球的售价为y元，依题意得：，解得：，答：每个篮球的售价为100元，每个排球的售价为80元，每个足球的售价为80元；（2）解：设购买篮球m个，则购买排球、足球总数为个，依题意，得：，解得：，设购买篮球、排球和足球的费用为w元，由题意得：，随m的增大而增大，当时，w的值最小，此时，，答：费用最少的购买方案为购买篮球20个、排球40个、足球40个，所需费用为8400元．25．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图1，某客运站内出入口设有上、下行自动扶梯和步行楼梯，嘉琪和爸爸从站内二层扶梯口同时下行去一层出口，爸爸乘自动扶梯，嘉琪走步行楼梯．爸爸离一层出口地面的高度（单位：）与下行时间（单位：）之间具有函数关系；嘉琪离一层出口地面的高度（单位：）与下行时间（单位：）的函数关系如图2所示．(1)如图2，求关于的函数表达式；(2)求爸爸乘自动扶梯到达一层出口地面时，嘉琪离一层出口地面的高度．【答案】(1)；(2)米【分析】（1）根据函数图象中的数据可以得到关于的函数表达式；（2）令求出，代入中求出y值，即可得到结论．【详解】（1）解：由图像可知：是的一次函数，设关于的函数解析式是，由图象可得，解得，关于的函数解析式为；（2）在中，令得，爸爸乘自动扶梯到达一层出口地面的时间是，在中，令得，∴嘉琪离一层出口地面的高度为米．26．（2023·山西晋城·统考一模）2022年卡塔尔世界杯大幕落下，阿根廷球星梅西亲吻大力神杯的画面在亿万人心中定格，成为永恒，其中卡塔尔世界杯吉祥物拉伊卜和球星梅西的手办深受国内外广大朋友的喜爱．据了解，在某平台官方特许零售店购买3个拉伊卜手办和4个梅西手办需要1400元；购买1个拉伊卜手办和3个梅西手办需要900元．(1)求该店销售拉伊卜手办和梅西手办的单价．(2)该店在开始销售这两种手办的第一天就将库存全部售完，于是从厂家紧急调配商品，现拟租用甲、乙两种车共8辆．若每辆甲种车的租金为300元，每辆乙种车的租金为230元，乙种车不超过3辆．设租用甲种车m辆，总租金为w元，求w与m的函数关系式及总租金的最低费用．【答案】(1)拉伊卜手办的单价为120元，梅西手办的单价为260元；(2)，最低费用为2190元【分析】（1）设拉伊卜手办的单价为x元，梅西手办的单价为y元，根据“购买3个拉伊卜手办和4个梅西手办需要1400元；购买1个拉伊卜手办和3个梅西手办需要900元”，列出方程组求解即可；（2）设租用甲种车辆，则租用乙种车辆，总租金为元，根据题意求出与的关系式，并根据题意求出的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．【详解】（1）解：设拉伊卜手办的单价为x元，梅西手办的单价为y元，根据题意，得：，解得，答：拉伊卜手办的单价为120元，梅西手办的单价为260元；（2）设租用甲种车m辆，则租用乙种车辆，总租金为元，根据题意得：，由题意得，解得，，随的增大而增大，当时，有最小值为2190，此时，即当租用甲种车5辆，租用乙种车3辆，总租金最低，最低费用为2190元．27．（2023·广西桂林·统考一模）小王计划经营某种时尚产品的专卖店，已知该产品的进货价为70元/件，售价不能低于80元/件，专卖店每月有800元的固定成本开支，根据市场调研，产品的销售量y（件）随着产品的售价x（元/件）的变化而变化，销售量y与售价x之间的部分对应关系如表：售价x（元/件）80828486…销售量y（件）500490480470…(1)求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；(2)小王预计每月盈利8200元，为尽可能让利于顾客，则该产品的售价每件应定为多少元？【答案】(1)销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为；(2)该产品的售价每件应定为90元【分析】（1）由销售量y与售价x之间的部分对应关系可设（，k，b为常数），待定系数法求解析式即可；（2）根据小王预计每月盈利8200元，列一元二次方程，求解即可．【详解】（1）解：由销售量y与售价x之间的部分对应关系可设（，k，b为常数），将，和，代入，得，解得，∴销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为；（2）解：根据题意，得，解得，，∵售价不能低于80元/件，且尽可能让利于顾客，∴x=90，答：该产品的售价每件应定为90元．28．（2023·江苏苏州·统考一模）为振兴乡村经济，弘扬“四敢”精神，某村拟建，两类展位供当地的农产品展览和销售．1个类展位的占地面积比1个类展位的占地面积多4平方米，10个类展位和5个类展位的占地面积共280平方米．建类展位每平方米的费用为120元，建类展位每平方米的费用为100元．(1)求每个，类展位占地面积各为多少平方米；(2)该村拟建，两类展位共40个，且类展位的数量不大于类展位数量的2倍，求建造这40个展位的最小费用．【答案】(1)每个A类展位占地面积为20平方米，每个B类展位占地面积为16平方米；(2)4280元【分析】（1）：设每个A类展位占地面积为平方米，每个B类展位占地面积为平方米，然后根据1个类展位的占地面积比1个类展位的占地面积多4平方米，10个类展位和5个类展位的占地面积共280平方米建立方程组求解即可；（2）设建A类展位m个，则建B类展位个，建造费用为W，列出W关于m的一次函数关系，再求出m的取值范围，最后利用一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设每个A类展位占地面积为平方米，每个B类展位占地面积为平方米，由题意得，，解得，∴每个A类展位占地面积为20平方米，每个B类展位占地面积为16平方米；（2）解：设建A类