专题136与三角形有关的角的四大类型解答（沪科版）

专题13.6与三角形有关的角的四大类型解答【沪科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对与三角形有关的角的四大类型解答的理解！【类型1与三角形有关的角的计算】1．（2023春·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期末）如图，△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于

【答案】75°【分析】先由三角形内角和定理得到∠ACB=80，再由角平分线的定义得到∠ACE=40，进而利用三角形外角的性质得到∠CED【详解】解：∵在△ABC中，∠A=35°∴∠ACB∵CE平分∠ACB∴∠ACE∴∠CED∵DF⊥CE，即∴∠EDF∵CD⊥AB，即∴∠CDF【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等等，熟知三角形内角和为180°是解题的关键．2．（2023春·四川达州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AE为BC边上的高，点D为BC边上的一点，连接AD(1)当AD为BC边上的中线时，若AE=6，△ABC的面积为30，求(2)当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C=66°，∠【答案】(1)CD(2)∠【分析】（1）由中线平分三角形面积可得△ADC的面积，再由面积公式即可求得CD（2）由三角形内角和可求得∠BAC的度数，由角平分线的性质可求得∠ADE，然后在【详解】（1）解：∵AD为BC∴S∵AE为边BC上的高，AE∴1∴CD（2）解：∵∠BAC∵AD为∠∴∠BAD∴∠ADC∵AE∴∠AED∴∠DAE【点睛】本题考查了三角形中线、角平分线、三角形内角和及三角形外角的性质等知识，掌握这些知识是基础与关键．3．（2023春·安徽淮北·八年级校考期末）如图，在△ABC中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF(1)求∠DBF(2)求∠A【答案】(1)45°(2)90°【分析】（1）根据三角形的内角和定理，即可求解；（2）先证明BD平分∠ABC【详解】（1）解：∵∠BDC∴∠DBF+∠（2）解：∵DE⊥AB，DF⊥∴BD平分∠ABC，即∠ABD=∠∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠∴∠A【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，角平分线的判定，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°．4．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）如图，点D为△ABC的边BC上一点，∠BAD=13∠BAC，BP平分∠ABC交AD于点

【答案】45°【分析】首先根据三角形的外角和求出∠CAD=40°，由此可得∠BAD=20°【详解】解：∵∠C∴70°+∠CAD∴∠CAD∵∠BAD∴∠CAB=60°，在△ABC中，∠∴70°+60°+∠ABC∴∠ABC∵BP平分∠ABC∴∠ABP∴∠BPD【点睛】本题主要考查了三角形的内角和、外角和和角平分线的定义，属于基础题，要熟练掌握.5．（2023春·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的平分线交BC的延长线于点E，BG⊥AE，垂足为点F

(1)求证：BG平分∠ABE(2)若∠DCE=105°，∠DAB【答案】(1)证明见详解(2)35°【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DAE=∠E，再根据角平分线的性质得出∠DAE=∠BAE，从而得出（2）根据∠DAB=60°，AD∥BC，得出∠ABE=120°，再根据角平分线的性质得出【详解】（1）证明：∵AD∴∠DAE∵AE平分∠∴∠DAE∴∠E∴AB∵BG∴BG平分∠（2）∵∠DAB=60°，∴∠ABE∵BG平分∠∴∠GBE∵∠DCE∴∠BGC【点睛】此题考查了多边形的内角与外角以及平行线的性质，熟记平行线的性质以及三角形的性质是解题的关键．6．（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）已知：如图1，在三角形ABC中，∠BAC=40°，∠C=65°，将线段AC沿直线AB平移得到线段

(1)当∠E=65°时，请说明(2)如图2，当DE在AC上方时，且∠E=2∠BAE-29°(3)在整个运动中，当AE垂直三角形ABC中的一边时，求出所有满足条件的∠E【答案】(1)见解析(2)∠BAE=23°(3)25°或50°或90°【分析】（1）由平移的性质可得AC∥DE，可得（2）由平行线的性质可得∠BAC=∠BDE=40°，（3）分三种情况讨论，由平行线的性质以及三角形的内角和定理即可求解．【详解】（1）证明：∵将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，∴AC∴∠CAE∴∠C∴AE（2）解：∵将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，∴DE∴∠BAC=∠BDE∴∠E∵∠E∴∠BAE=23°，∴∠EAC（3）解：如图2，当DE⊥

∵∠BAC=40°，∴∠ABC∵AE∴∠BAE∵∠BDE∴∠E如图3，当AE⊥

∵AC∴∠E如图4，当AE⊥∵AC∥DE∴∠综上所述：∠E=25°或50°或【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，平移的性质，三角形的外角性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．7．（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）将三角形纸片ABC沿直线DE折叠，使点A落在A'【感知】如果点A'落在边AB上，这时图①中的∠1变为0°，那么∠A'与∠2【探究】如果点A'落在四边形BCDE的内部(如图①)，那么∠A'与∠1、∠2之间存在怎样的数量关系【拓展】如果点A'落在四边形BCDE的外部(如图②)，那么请直接写出∠A'与∠1、∠2

【答案】感知：∠2=2∠A'探究：2∠A【分析】[感知]根据三角形外角性质得出∠1=∠A+∠E[探究]根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠A'ED+∠A'DE=180°-∠[拓展]根据三角形外角性质得出∠DME=∠A'+∠1【详解】解：[感知]：∠2=2∠A理由如下：当点A'落在边AB上时，由折叠可得：∠∵∠2=∠A∴∠2=2∠A故答案为：∠2=2∠A[探究]：2∠A理由如下：∵∠AED+∠ADE∴∠A∴∠A∵∠1+∠A∴∠A由折叠可得：∠A∴2∠A故答案为：2∠A[拓展]：如图②，

∵∠DME=∠A由折叠可得：∠A∴∠2=∠A∴2∠A2∠故答案为：2∠A【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，本题主要考查运用定理进行推理和计算的能力．解题的关键是结合图形运用外角的性质列等式求解．8．（2023春·江西萍乡·八年级统考期末）已知点A在射线CE上，∠C

(1)如图1，若AD∥BC，求证：(2)如图2，若BD⊥BC，垂足为B，BD交CE于点G，请探究∠DAE(3)如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠BAC=∠BAD【答案】(1)证明见解析(2)∠DAE(3)99°【分析】（1）根据AD∥BC，可得∠DAE=∠C（2）∠DAE+2∠C=90°．根据三角形外角的性质，可得到∠CGB=∠ADB+∠DAE（3）设∠DAE=α，则∠DFE=8α，∠AFD=180°-8α，根据DF∥BC【详解】（1）证明：∵AD∥∴∠DAE又∵∠C∴∠DAE∴AC∥（2）解：∠DAE理由如下：∵∠CGB是△∴∠CGB∵BD⊥∴∠CBD∴在△BCG中，∠∴∠ADB又∵∠C∴∠DAE（3）设∠DAE=α∴∠AFD∵DF∥∴∠C又∵∠DAE∴2180°-8∴α∴∠C∴∠ADB又∵∠BAC∴∠ABC∵∠CBD∴∠ABC∴在△ABD中，∠∴∠BAD的度数为99°【点睛】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余．灵活运用三角形内角和定理是解题的关键．9．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，点F为射线AE上一点（不与点E

(1)如图1，如果点F在线段AE上，且∠C=50°，∠B=30°(2)如果点F在△ABC的外部，分别作出∠CAE和∠EDF的角平分线，交于点K，请在图2中补全图形，探究∠AKD、(3)如图3，若点F与点A重合，PE、PC分别平分∠AEC和△ABC的外角∠ACM，连接PA，过点P作PG⊥BC交BC延长线于点G，PH⊥AB交BA的延长线于点H【答案】(1)10°(2)画图见解析，∠AKD(3)95°【分析】（1）先求出∠BAC=100°，进而得到∠BAE=50°，∠AEC=80°，根据（2）根据题意先画出图形，根据三角形内角和定理和角平分线的定义得到∠CDK=12∠（3）根据∠EAD=∠CAD=2α得到∠BAE=∠CAE=4α，得到∠BAD=6α，从而求出∠B=90°-6α，进而求出∠CPE=2α，结合∠【详解】（1）解：∵∠B=30°，∴∠BAC∵AE是△AB∴∠BAE∴∠AEC∵DF⊥∴∠FDE∴∠EFD故答案为：10°；（2）解：∠AKD在△ABC中，∠∵AE平分∠BAC∴∠BAF∵DF⊥∴∠FDE∵∠CAE和∠EDF的角平分线交于点∴∠CDK∵∠TAC∴∠TAC∴45°-1∴∠AKD

（3）解：设∠EAD∵AE平分∠BAC∴∠BAE∴∠BAD∵AD∴∠ADE∴∠B=90°-∠BAD∴∠ACM∵PE、PC分别平分∠AEC和△ABC的外角∴∠PEC∴∠EPC∴∠CPG∵PG⊥∴∠PCG即45°+α∴α=10°∴∠B=90°-6α∴∠BEP∵PH⊥∴∠PHB∴在四边形BEPH中，∠EPH【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角定理，三角形角平分线，综合性较强，第（3）步难度较大．熟知相关定理，并根据题意进行角的表示与代换是解题关键．【类型2与三角形有关的角的证明】1．（2023春·安徽宿州·八年级统考期末）如图，AB∥CD，点E在AC上，求证：

【答案】证明见解析【分析】首先根据平行线的性质得到∠A+∠C=180°，然后根据三角形内角和定理得到【详解】∵AB∴∠∵在△CED中，∴∠A【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知AB∥CD，∠B=60°，点G

(1)求证：∠C(2)若∠C=∠CGB【答案】(1)证明见解析；(2)70°【分析】（1）根据平行线的判定及性质即可证明；（2）先根据平行线的性质求得∠CMG【详解】（1）证明：∵∠ABG∴AB∥∵AB∥∴CD∥∴∠C（2）解：如图，

∵∠C∴∠CGB∵AB∥CD，∴∠CMG∵∠C∴∠C∴∠【点睛】本题主要考查了平行线的判定及性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．3．（2023春·江苏南通·八年级统考期末）已知点D在∠ABC内，E为射线BC上一点，连接DE，CD

(1)如图1所示，连接AE，若∠AED①线段AB与CD有何位置关系？请说明理由；②过点D作DM∥AE交直线BC于点M，求证：(2)如图2所示，∠AED=∠A-∠D，若M为平面内一动点，MA【答案】(1)①AB∥CD，理由见解析；(2)∠MAB=∠【分析】（1）①过点E作EF∥AB，则∠AEF=∠BAE，由∠AED=∠②由DM∥AE得到∠AED=∠MDE．∠CDE=∠（2）分点M在直线AB的右侧和点M在直线AB的左侧两种情况，分别求出∠MAB与∠CDE的数量关系为：∠MAB【详解】（1）解：①AB∥过点E作EF∥

则∠AEF∵∠AED=∠BAE∴∠CDE∴FE∵AB∴AB②∵DM∴∠AED∵∠CDE∴∠MDC∵∠AEF∴∠CDM（2）当点M在直线AB的右侧时，如下图，∠MAB

设AE与CD交于点F，∵∠CFE∴∠AED∵∠AED∴∠BAE∴AB∴∠ABC∵AM∴∠AMB∵∠MAB=180°-∠ABC∴∠MAB②当点M在直线AB的左侧时，如图，∠MAB

由（2）①可知：∠BAN∵∠B∴∠MAB综上，∠MAB与∠CDE的数量关系为：∠MAB【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质、三角形内角和定理灵活进行角的关系转换是解题的关键．4．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）射线OM、ON交于O点，OC平分∠MON，∠

(1)如图1，PA、PB分别平分∠OAB、∠OBA时，直接写出∠(2)如图2，PA、PB分别平分∠MAB、∠NBA时，求出(3)在（2）条件下，如图2中，求证∠PAB【答案】(1)120°(2)60°(3)证明见解析【分析】（1）由三角形内角和定理得∠OAB+∠OBA（2）由三角形内角和定理得∠OAB+∠OBA=120°，由平角的定义得（3）由（2）可得∠PAB=∠MAP=30°+∠APO，【详解】（1）解：∵∠MON∴∠∵PA、PB分别平分∠OAB、∠∴∠PAB=1∴∠∴∠APB故答案为：120°；（2）解：∵∠MON∴∠OAB∴∠MAB∵PA、PB分别平分∠MAB、∠∴∠PAB=1∴∠PAB∴∠APB（3）证明：∵OC平分∠MON，∠∴∠MOC∵PA平分∠MAB∴∠PAB∵∠∴∠∴∠【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等，准确识图是解题的关键，难点在于要注意整体思想的利用．5．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务．在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角∠BAC内部有一点D，在其两边AB和AC上各取任意一点E，F，连接DE求证：∠BED小丽的证法小红的证法证明：如图2，连接AD并延长至点M，∠BED∠DFC=∠DAC+∠ADF又∵∠BAD∠EDA∴∠BED证明：∵∠BED∠BAC∴∠BED∠BAC∴∠BED任务：(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：________________________；(2)下列说法正确的是____________．A．小丽的证法用严谨的推理证明了该定理B．小丽的证法还需要改变∠BACC．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理D．小红的证法只要将点D在∠BAC的内部任意移动100(3)如图，若点D在锐角∠BAC外部，ED与AC相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索∠【答案】(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和(2)A(3)不成立，∠【分析】（1）连接AD并延长至点M，根据三角形外角的性质解答即可；（2）按照定理的证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，即可得答案；（3）根据三角形外角的性质得∠AGE=∠DFC【详解】（1）解：小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（2）根据定理证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，故A正确；（3）不成立，∵∠AGE是△∴∠AGE∵∠BED为△∴∠BED∴∠BED=∠BAC【点睛】本题考查了三角形的外角，解题的关键是掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．6．（2023春·北京大兴·八年级统考期末）如图，在直角三角形ABC中，∠

(1)如图1，点M在线段CB上，在线段BC的延长线上取一点N，使得∠NAC=∠MAC．过点B作BD⊥AM，交AM延长线于点D，过点N作NE∥BD，交AB于点E，交AM(2)如图2，点M在线段CB的延长线上，在线段BC的延长线上取一点N，使得∠NAC=∠MAC．过点B作BD⊥AM于点D，过点N作NE∥BD，交BA①依题意补全图形；②若∠CAB=45°，求证：【答案】(1)∠ENB(2)①见解析；②见解析【分析】（1）依据∠NFD=∠ADB=90°，∠ACB=90°，即可得到∠FAC（2）①过点B作BD⊥AM于点D，过点N作NE∥BD，交BA延长线于点E，交MA延长线于点F；②依据∠ENB=∠NAC【详解】（1）解：∠ENB理由：∵BD⊥∴∠ADB∵NE∥∴∠NFD∵∠ACB∴∠FAC∴∠MAC又∵∠NAC∴∠ENB（2）解：①补全图形如图：

②同理可证∠ENB∵在Rt△ABC中，∴∠ABC∴∠ABM∴∠NEA∵∠EAN∴∠NEA【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质的综合运用，解决问题的关键是利用三角形内角和是180°进行推算．7．（2023春·江苏扬州·八年级校考期末）【探究结论】（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连结AE、CE得到∠AEC，则∠AEC、∠A【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：