1617三角函数的应用（A卷基础巩固）-2021-2022学年九年级数学下册分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）

1.6—1.7三角函数的应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A卷（基础巩固）一、单选题1．（2021·浙江九年级月考）如图，是河堤横断面的迎水坡，坡高，水平距离，则斜坡的坡度为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据坡度的定义直接求解即可．【详解】解：∵坡高AC=1，水平距离BC=，∴斜坡AB的坡度为，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，理解坡度的概念是解题的关键．2．（2021·哈尔滨市九年级月考）如图，飞机于空中A处测得目标B处的俯角为α，此时飞机的高度AC为a米，则AB的距离为（）米A．atanα B． C． D．【答案】C【分析】在Rt△ABC中，由正弦的定义解得．【详解】由题意得，∠B＝α，在Rt△ABC中，sinB，则AB，故选：C．【点睛】本题考查正弦的定义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．3．（2021·吉林省第二实验学校九年级月考）如图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽为（）米A． B． C． D．【答案】C【分析】在直角三角形APC中根据∠PCA的正切函数可求小河宽PA的长度．【详解】解：∵PA⊥PB，∴∠APC=90°，∵PC=50米，∠PCA=44°，∴tan44°=，∴小河宽PA=PCtan∠PCA=50•tan44°米．故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．4．（2021·山东省泰安市九年级月考）如图，小丽为了测量校园里教学楼的高度．将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度是，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度约是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作于点，由题意知，四边形是矩形，则，，再由即可得到，最后根据进行求解即可．【详解】解：如图，作于点，由题意知，四边形是矩形，∴，，在中，，，．故选A．【点睛】本题主要考查解直角三角形，能够构造出直角三角形是本题解题关键．5．（2021·山东济南市中考真题）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为（参考数据：，，，，结果保留整数）（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进行求解．【详解】解：由题意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，∴，∴，，∴；故选C．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．6．（2021·重庆市九年级月考）重庆移动为了提升网络信号，修建了多个5G信号塔，如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边点处．某测量员从山脚点出发沿水平方向前行78米到点（点，，在同一直线上），再沿斜坡方向前行78米到点（点，，，，在同一平面内），在点处测得信号塔顶端的仰角为，悬崖的高为144.5米，斜坡的坡度（或坡比），则信号塔的高度约为（）（参考数据：，，）A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米【答案】D【分析】过E作EF∥CD交AC于F，作EG⊥CD交CD延长线于G，可得CD=78米，DE=78米，在Rt△EGD中，，设EG=x米，GD=2.4x米，根据勾股定理，即，求出x，再证四边形EGCF为矩形，根据性质可得CF=EG=30米，EF=150米，在Rt△EFA中，∠AEF=43°，由三角函数AF=EFtan43°≈139.5即可．【详解】解：过E作EF∥CD交AC于F，作EG⊥CD交CD延长线于G，则CD=78米，DE=78米，在Rt△EGD中，，设EG=x米，GD=2.4x米，根据勾股定理，即解得x=30，2.4x=72，∵EG⊥CD，AC⊥CD，EF∥CD，∴EG⊥EF，AC⊥EF，∴∠EGC=∠FCG=∠GEF=90°，∴四边形EGCF为矩形，∴CF=EG=30米，EF=GC=GD+CD=72+78=150米，在Rt△EFA中，∠AEF=43°，∴AF=EFtan43°≈150×0.93=139.5，∴AB=ACBC==AF+FCBC=139.5+30144.5=25米．故选择D．【点睛】本题考查解直角三角形中坡比，仰角问题，勾股定理，矩形判定与性质，掌握解直角三角形中坡比，仰角问题，勾股定理，矩形判定与性质是解题关键．7．（2021·重庆八中九年级月考）如图，某大楼正前方有一栋小楼，小明从大楼顶端测得小楼顶端的俯角为度，从大楼底端测得小楼顶端的仰角为度，小楼底端到大楼前梯坎的底端有米，梯坎长65米，梯坎的坡度，则大楼的高度为（）（结果精确到米，参考数据：，，）A． B． C． D．【答案】B【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，设BH=x米，则CH=2.4x米，在Rt△BCH中，BC=65米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=25米，CH=60米，得出EG的长度，在Rt△GBE中，利用正切函数得出BG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=150米，即可得出大楼AB的高度．【详解】解：如图，延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则四边形GHDE为矩形，∴GH=DE，EG=DH，∵梯坎坡度i=1：2.4，∴BH：CH=1：2.4，设BH=x米，则CH=2.4x米，在Rt△BCH中，BC=65米，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=652，解得：x=25(负值已舍)，∴BH=25米，CH=60米，∴EG=DH=CH+CD=60+90=150（米），在Rt△GBE中，∠BEG=24°，∴BG=EG1500.45=67.5（米），在Rt△GAE中，∠EAG=90°45°=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG=EG=150（米），∴AB=AG+BG=150+67.5≈218（米）；故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．二、填空题8．（2021·湖南师大附中九年级二模）有一斜坡，坡顶离地面的高度为，斜坡的倾斜角是，若坡比为，则此斜坡的水平距离为__________．【答案】75m【分析】根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比计算即可．【详解】解：∵坡比为2：5，BC=30m，∴,即,解得：AC=75，故答案为：75m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．9．（2021·山东济宁九年级月考）如图，一艘船从A向北偏东30°的方向行驶10千米到达B处，再从B处向正西方向行驶20千米到达C处，这时这艘船与A的距离为_______千米．【答案】10【分析】根据直角三角形的三角函数得出AE，BE，进而得出CE，利用勾股定理得出AC即可．【详解】解：如图，∵BC⊥AE，∴∠AEB=90°，∵∠EAB=30°，AB=10千米，∴BE=5米，AE=5千米，∴CE=BCBE=205=15（千米），∴AC=（千米），故答案为：10．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，关键是根据直角三角形的三角函数得出AE，BE解答．10．如图，在中，是边上的高，已知，则_______．【答案】4【分析】先由，可得，在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sinC＝＝，则可设AD＝12x，所以AC＝13x，利用勾股定理计算出DC＝5x，可求BC=18x，利用BC=6，解得x＝，然后利用AD＝12x进行计算．【详解】解：∵，∴，∵，∴设，则，∴，∴，∵，∴，解得，∴．故答案为4．【点睛】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义，勾股定理是解题的关键．11．（2021·沈阳实验中学九年级二模）如图，新疆部A位于学校主教学楼P南偏东45°方向，且距离教学楼60米，某同学从这里出发沿着正北方向走了一段时间后，到达位于主教学楼北偏东30°方向的综合楼B处，此时这位同学一共走的距离为______米．【答案】．【分析】过P作PC⊥AB于C，由新疆部A位于学校主教学楼P南偏东45°方向，可得∠A=45°可证PC=AC，由PA=60米，由三角函数可得AC=PC=，由综合楼B处在教学楼北偏东30°方向，可得∠B=30°，可求PB=2PC=，在Rt△BCP中，BC=PBcos30°=，可求AB=BC+AC米即可．【详解】解：过P作PC⊥AB于C，∵新疆部A位于学校主教学楼P南偏东45°方向，∴∠A=45°∴∠CPA=90°∠A=45°，∴PC=AC，设AC=PC=x，∵PA=60米∴AC=PC=PAcos45°=60，∵综合楼B处在教学楼北偏东30°方向，∴∠B=30°，∴PB=2PC=，在Rt△BCP中，BC=PBcos30°，∴AB=BC+AC米．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握方位角，三角函数定义，以及三边之间关系是解题关键．12．（2021·哈尔滨市萧红中学九年级月考）如图，小石同学在A，B两点分别测得某建筑物上条幅两端C，D两点的仰角均为60°，若点O，A，B在同一直线上，A，B两点间距离为3米，则条幅的高CD为______米．【答案】【分析】根据题意和锐角三角函数可以得到CD的长，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，

∠CAO＝∠DBO＝60°，∠COA＝∠DOB＝90°，

∵tan∠CAO＝，tan∠DBO＝，

∴tan60°＝，tan60°＝，

∴OC＝OA，（OA＋3）＝OC＋CD，

∴（OA＋3）＝OA＋CD，

解得CD＝3，

故答案为：3．【点睛】本题考查解直角三角形的应用−仰角、俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．三、解答题13．（2021·山东济宁九年级月考）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A，B，C，测得∠CAB=30°，∠ABC=45°，AC=8千米，求A，B两点间的距离．（结果保留根号）【答案】A、B两点间的距离约为（4+4）千米．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，通过解直角三角形可求出AD，CD的长，在Rt△BCD中，由∠BDC=90°，∠CBD=45°可得出BD=CD，再结合AB=AD+BD即可求出A、B两点间的距离．【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示．在Rt△ACD中，AC=8（千米），∠CAD=30°，∠CDA=90°，∴CD=AC•sin∠CAD=4（千米），AD=AC•cos∠CAD=4（千米）．在Rt△BCD中，CD=4（千米），∠BDC=90°，∠CBD=45°，∴∠BCD=45°，∴BD=CD=4（千米），∴AB=AD+BD=4+4（千米）．答：A、B两点间的距离约为（4+4）千米．【点睛】本题考查了解直角三角形以及等腰直角三角形，通过解直角三角形以及利用等腰直角三角形的性质，找出AD，BD的长是解题的关键．14．如图，某中学计划在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是，大门距主楼的距离是．在大门处测得主楼顶部的仰角是，而当时测倾器离地面．求（1）学校主楼的高度（结果精确到）；（2）大门顶部与主楼顶部的距离（结果精确到）．【答案】（1）约；（2）约【分析】（1）过E做EN平行于BC交DC于N，利用三角函数求出DN的长，再加上CN的长度即可求解；

（2）过A做AM平行于BC交DC于M，求出DM=DCAB=13.72m，利用勾股定理即可求出AD的长．【详解】解：（1）过E做EN平行于BC交DC于N，

由题意可得，∠DEN=30°且BC=EN，

∴DN=EN·tan∠DEN=30·tan30°=10m，

DC=DN+NC=DN+EB=10+1.4≈18.72m；

（2）过A做AM平行于BC交DC于M，

∵DM=DCMC且AB=MC，

∴DM=DCAB=13.72m，

在Rt△AMD中∠AMD=90°，

∵AM=BC=30m，DM=13.72m，

由勾股定理得：

，代入得：，解得：AD≈32.99m．

答：学校主楼的高度为18.72米，大门顶部与主楼顶部的距离为32.99米．【点睛】本题考查三角函数应用题，解题的关键是构造直角三角形，根据仰角的三角函数值求解．15．（2021·济宁市第七中学九年级月考）2021年4月29日11时23分，中国空间站天和核心舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得成功．建造空间站，建成国家太空实验室，是实现我国载人航天工程“三步走”战略的重要目标，是建设科技强国、航天强国的重要引领性工程．天和核心舱发射成功，标志着我国空间站建造进入全面实施阶段，为后续任务展开奠定了基础．某校航天爱好者的同学们构建数学模型，使用卷尺和测角仪