江苏省泰州市兴化市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版）

2023年秋学期初中学生阶段性评价八年级数学试卷（考试用时：120分钟满分：150分）一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1.剪纸是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一，以下学生剪纸作品中，属于轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．根据轴对称图形的定义逐一判断，即可得到答案．【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意，选项错误；B、不是轴对称图形，不符合题意，选项错误；C、不是轴对称图形，不符合题意，选项错误；D、是轴对称图形，符合题意，选项正确；故选：D．2.如图，，若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了等边对等角的性质、三角形内角和定理以及平行线的性质，先根据，得出，再根据，求出，再根据平行线性质得出结果．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，故选：A．3.下列说法不正确的是（）A.全等三角形的对应边相等 B.全等三角形的对应边上的高相等C.两边及一角相等的三角形全等 D.角平分线上的点到角两边的距离相等【答案】C【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．根据全等三角形的性质判断选项A、B，根据全等三角形的判定判断选项C，根据角平分线的性质判断选项D即可．【详解】解：A．全等三角形的对应边相等，说法正确，不符合题意；B．全等三角形的对应边上的高相等，说法正确，不符合题意；C．两边及两边的夹角相等的三角形全等，原说法错误，符合题意；D．角平分线上的点到角两边的距离相等，说法正确，不符合题意；故选：C．4.如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，若利用“”得到，则需要添加的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三边对应相等的三角形是全等三角形，进行判断即可．【详解】解：已知，∴要利用“”得到，还需要，，∵，∴要得到，只需；综上：满足题意的只有C选项；故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握三边对应相等的三角形是全等三角形，是解题的关键．5.如图，在中，于点是的中点，则的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了用勾股定理解三角形，先根据勾股定理求出，再根据三角形面积相等求出，再利用勾股定理求出，再由已知条件求出，进而可求出答案．【详解】解：∵，，，∴，∵∴，即，∴，∴，∵E是的中点，∴，∴，故选：B．6.如图，将长方形沿着折叠，点落在边上的点处，已知，则的长为（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】C【解析】【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理等知识点，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论，解题关键是熟练掌握矩形的性质及勾股定理．【详解】∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∵将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处，∴，∴，∵，∴，解得，故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）7.如果正三角形有条对称轴，那么_____．【答案】3【解析】【分析】根据轴对称的定义进行判断即可．【详解】解：正三角形有3条对称轴，即．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了轴对称的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．8.如图，在中，平分，那么___________．【答案】35【解析】【分析】本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义，根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义计算即可，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．【详解】∵，∴∵，∴，∵平分，∴，故答案为：35．9.直角三角形斜边长为13，则斜边上的中线等于___________．【答案】【解析】【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答，熟记性质是解此题的关键．【详解】∵直角三角形斜边长为13，∴这个三角形的斜边上的中线等于，故答案为：．10.如图，在中，，则的面积__________．【答案】54【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的面积，先根据勾股定理求出，再求出面积即可．【详解】在中，，，∴，∴．故答案为：54．11.已知等腰三角形的周长为，一边长为，则它的另两边长为_____．【答案】##、【解析】【详解】本题考查了等腰三角形的定义和性质，分等腰三角形的腰长为与等腰三角形的底边长为两种情况去分析求解，即可求得答案，利用分类讨论思想是解题的关键．解：当等腰三角形的底长为时，腰长；∵，能构成三角形，∴等腰三角形的三边长为；当等腰三角形的腰长为时，底长，∵，不能构成三角形，∴等腰三角形的腰长不能为；∴等腰三角形另外两边的长为，故答案为：．12.如图所示，平分于点，，么的长度为___________．【答案】2【解析】【分析】在上截取，得到直线是线段的垂直平分线，得到，证明得，进而可求出的长．【详解】如图，在上截取，连接，∵，∴直线是线段的垂直平分线，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴；在和中，，∴，∴，∴．故答案为：2．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，补角的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．13.如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点于点．若，则___________．【答案】9【解析】【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及含的直角三角形的相关计算．设，则，根据等边三角形的性质得出，进而得出，进而得出．，再根据进而求得结果．【详解】解：设，则，∵是等边三角形，∴，，∵，，∴，∴，，∴，∴，故答案为：9．14.如图所示的长方体中，，一只蚂蚁从点处，沿长方体表面爬行到点处吃食，蚂蚁需要爬行的最短路程为___________．【答案】10【解析】【分析】本题考查了平面展开图，利用勾股定理求最短路径问题，要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．【详解】①展开正面和右面，如图，连接，∵长，高，∴，②展开正面和上面，如图，连接，∴，③展开左面和上面，∴，∴爬行的最短距离为，故答案为：10．15.“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．如图1，以正方形一边为斜边，向正方形外侧作，再分别以直角边为边长，向外侧作正方形，我们称是对正方形的第1次“迭代”；如图2，继续上述操作，可称对正方形进行第2次迭代；若正方形边长为3，则经过2023次迭代后所有正方形的面积之和等于___________．【答案】18216【解析】【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：由题意得，正方形边长为3，面积为9，由勾股定理得，正方形②的面积与正方形③的面积和为9，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为18，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为27，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为36，……∴“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为．故答案为：．16.如图，已知点在线段上，点是直线上方的一动点，且，连接，过点作，以点为圆心，为半径作弧交手点，连接．若，则的最大值是___________．【答案】12【解析】【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接，根据折叠可求出，利用勾股定理可求出，由，知当D、F、H、C四点共线时，最大，即可求解．【详解】解：如图，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接，∴，，，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴当D、F、H、C四点共线时，最大，最大值为，即的最大值是12．故答案为：12．三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤），17.（1）求下列直角三角形中未知边的长．①___________，②___________；（2）如图3，已知点分别在上，相交于点F．，．若，求的长．【答案】（1）①12；②25；（2）3．【解析】【分析】（1）①根据勾股定理求长；②根据勾股定理求长；（2）根据，，是公共角，判定和全等，得到，根据，求出的长．本题主要考查了勾股定理和全等三角形．解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定和性质．【详解】（1）①在图1中，∵，，，∴；②在图2中，∵，，，∴；故答案为：12，25；（2）∵，，，∴，∴，∵，∴，∴．18.请在括号中写出下列证明过程的依据．如图，已知点在同一条直线上，，，，求证：．证明：∵，（已知），（___________），在和中，（___________），（___________），即，（___________）．【答案】两直线平行，同位角相等；；全等三角形对应边相等；等式的性质．【解析】【分析】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的判定与性质，分别根据推理的步骤逐一填写理由即可，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．【详解】证明：∵，（已知），（两直线平行，同位角相等），在和中，（），（全等三角形对应边相等），即，（等式的性质）．19.如图，已知，相交于点，．（1）求证：；（2）连接，试判断与的位置关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2），证明见解析【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，解决本题的关键是证明．（1）根据已知条件证明即可；（2）先证明，，可得，从而可得结论．【小问1详解】证明：∵，∴在和中，，∴．【小问2详解】如图，连接，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．20.如图，已知中，于，．（1）分别求的长；（2）是直角三角形吗？证明你结论．【答案】（1），详见解析；（2）详见解析．【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理等知识点，（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算可得，再在中，利用勾股定理求出的长，即可解答；（2）利用（1）的结论可得，然后利用勾股定理的逆定理进行计算，即可解答；熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．小问1详解】∵，∴，中，，∴，在中，，∴，∴的长为12，的长为16；【小问2详解】是直角三角形，理由：∵，∴，∵，∴，∴是直角三角形．21.如图，已知中，，点分别为，上的点，．（1）与全等吗？为什么？（2）连接，求证：垂直平分．【答案】（1），详见解析；（2）详见解析．【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定和性质定理、垂直平分线的判定定理等知识点，（1）根据可得，利用，进而证明；（2）由则A在的垂直平分线上，再证明可得，故F在的垂直平分线上，则垂直平分；正解理解题意是解决此问题的关键．【小问1详解】与全等；理由：∵，∴即，在与中，，∴；【小问2详解】如图：连接，由（1）∵，∴A在的垂直平分线上，∵，∴，在与，，∴，∴，∴F在的垂直平分线上，∴垂直平分．22.如图，点在一条直线上，，交于点．（1）求证：；（2）求证：互相平分．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得证；（2）利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得证．【小问1详解】证明：∵，∴，在和中，∴，∴；【小问2详解】证明：在和中，∴，∴，，即，互相平分．23.一辆轿车从地以的速度向正东方向行驶，同时一辆货车以速度从地向正北方向行驶，2小时后两车同时到达走向公路上的两地．（1）求两地的距离；（2）若要从地修建一条最短新路到达公路，求的距离．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】本题考查了方位角、勾股定理的应用等知识，解题的关键是：（1）直接利用勾股定理求解即可；（2）根据等面积法求解即可．【小问1详解】解：根据题意，得，，，∴，即两地的距离为；【小问2详解】解：根据等面积法知：，即，∴，即的距离为24.（1）如图1，正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，画出将向右平移5个单位后的；再画出关于直线对称的图形；（2）在（1）中，若点为直线上一点，求的最小值：（3）如图2，中，为上的一点，在上求作一点，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）．【答案】（1）见解析（2）5（3）见解析【解析】【分析】对于（1），将三个点向右平移5个单位，再连接可得，然后作三个顶点关于直线l的对称点，依次连接即可；对于（2），根据对称确定点P的位置，再根据勾股定理求出答案；对于（3），先作点C的对称点，连接与的交点即为点Q，根据对称性可知，再根据对顶角相等得，即可得出．【小问1详解】如图所示．【小问2详解】如图所示，∵点和关于直线l对称，∴，∴．根据两点之间线段最短，连接与直线l的交点即为点P．根据勾股定理，得．∴的最小值为5；【小问3详解】如图所示，以点C为圆心，以任意长为半径画弧交于点H，G，再分别以点H，G为圆心，以大于为半径画弧，交于点E，作射线，截取，连接交于点Q，则点Q为所求作的点．【点睛】本题主要考查了作平移图形，作轴对称图形，勾股定理，两点之间线段最短求线段和最小，作线段垂直平分线等，掌握尺规作基础图形是解题的关键．25.已知中，，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着折线运动，运动到点停止．（1）在点运动过程中，当与的周长相等时，求此时的值；（2）当为何值时，？（3）当为何值时，是以为底的等腰三角形？【答案】（1）；（2）；（3）当或16时，是以为底的等腰三角形．【解析】【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、勾股定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．（1）根据三角形的周长公式计算；（2）根据勾股定理列出方程，解方程即可；（3）分点在