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第十二章微分方程第三节可降阶的高阶微分方程四、小结一、二、三、一、解法：特点：方程的右端函数仅包含自变量x；将方程的左端看作的导数，两边积分；则可再继续求n-1次积分，得原方程的通解.注：通解中任意常数的个数等于方程的阶数.解：对方程两边积分，得再对上式两边积分，得即为原方程的通解.注：本例中的n=2，积分两次得到了方程的通解.例1通解中含有2个任意常数，与方程阶数相等.解对方程两边积分，有再对上式两边积分，得再积分，得原方程的通解例2于是所求的特解为方程阶数是3,积分3次得到通解.根据三个初始条件，求通解中三个任意常数.二、特点：解法：这是关于x,p的一阶微分方程，设其通解为即所以原方程的通解为：右端不显含未知函数y.解这是一个可分离变量的方程，分离变量得两边积分，则有例3于是再积分，得原方程的通解解这是关于p的一阶非齐次线性微分方程，可改写为根据一阶非齐次线性微分方程的通解公式，有例4即解例4结合初始条件所以有对上式积分，得再结合初始条件因此，所求的特解为求此类方程特解时，如果积分得到一个任意常数，应先利用初始条件，确定该常数.三、特点：解法：这是关于y,q的一阶微分方程，设其通解为即所以原方程的通解为：右端不显含自变量x.解：例5求微分方程的通解.代入原方程，得于是有约分并分离变量，得两边积分，有所给的方程不显含自变量x，则令即再分离变量再两边积分整理，得原方程的隐式通解约分并分离变量，得两边积分例6解：即结合初始条件代入上面的方程，有再分离变量例6解：再两边积分再结合初始条件因此，所求的特解为特解中不能含有
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