数学模块综合测评（一）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精模块综合测评（一）（时间120分钟,满分150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(请把正确答案填入括号内，每小题5分,共60分）1。下列有关坐标系的说法，错误的是（）A。在直角坐标系中,通过伸缩变换圆可以变成椭圆B.在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小C。任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程D.同一条曲线可以有不同的参数方程解析：直角坐标系是最基本的坐标系，在直角坐标系中,伸缩变换可以改变图形的形状,但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到,例如圆可以变成椭圆；而平移变换不改变图形的形状和大小而只改变图形的位置；对于参数方程,有些比较复杂的是不能化成普通方程的,同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程。答案：C2.把函数y=sin2x的图象经过__________变化，可以得到函数y=sinx的图象.(）A。横坐标缩短为原来的倍,纵坐标伸长为原来的2倍B.横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的2倍C。横坐标缩短为原来的倍，纵坐标缩短为原来的倍D。横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的倍解析:本题主要考查直角坐标系的伸缩变换,根据变换的方法和步骤,可知把函数y=sin2x的图象的横坐标伸长为原来的2倍可得y=sinx的图象,再把纵坐标缩短为原来的，得到y=sinx的图象.答案:D3.极坐标方程ρ2—ρ(2+sinθ)+2sinθ=0表示的图形是(）A。一个圆与一条直线B.一个圆C。两个圆D.两条直线解析：所给方程可以化为（ρ-2)(ρ—sinθ）=0，即ρ=2或ρ=sinθ.化成直角坐标方程分别为x2+y2=4和x2+y2-y=0，可知分别表示两个圆.答案：C4.极坐标ρ2cos2θ-2ρcosθ=1表示的曲线是（）A.圆B。椭圆C。抛物线D。双曲线解析：所给的极坐标方程可以化为ρ2(cos2θ-sin2θ)-2ρcosθ=1，化为直角坐标方程是x2—y2—2x=1，即=1，显然表示双曲线.答案：D5.极坐标系中，圆ρ=4cosθ+3sinθ的圆心的极坐标是()A.(，arcsin)B.(5，arcsin）C.(5，arcsin）D.(，arcsin）解析：将原方程化为直角坐标方程得(x—2)2+(y—)2=，圆心坐标为（2,），化为极坐标为(，arcsin)。答案：A6.圆心是（ρ0，θ0）,半径为r的圆的极坐标方程为（)A.ρ2-2ρ0ρcos(θ—θ0）+ρ02-r2=0B。ρ2+2ρ0ρcos（θ—θ0）+ρ02—r2=0C。ρ2—2ρ0ρcos（θ+θ0）+ρ02-r2=0D.ρ2+2ρ0ρcos(θ+θ0)+ρ02-r2=0解析:根据圆的定义，极坐标系内两点的距离公式，M（ρ,θ)是圆上任意一点，O′(ρ0，θ0）为圆心。则有｜MM0|==rρ2+ρ02—2ρ0ρcos(θ-θ0)—r2=0.答案:A7。曲线（θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是()A.B.C.1D。解析:因为曲线表示单位圆,其圆心在原点,半径为1，所以曲线上的点到两坐标轴的距离之和不小于1,且不会恒等于1（这是因为直角三角形两直角边之和大于斜边之缘故),故最大值必大于1，排除A、B、C，选D。答案：D8。由方程x2+y2—4tx—2ty+3t2—4=0(t为参数）所表示的一组圆的圆心轨迹是（)A.一个定点B.一个椭圆C.一条抛物线D.一条直线解析:由原方程,得(x-2t）2+(y—t）2=4+2t2。设圆心坐标为（x,y），则消去t，得x=2y。轨迹是一条直线。答案：D9.已知双曲线C的参数方程为(θ为参数)，在下列直线的参数方程中(以上方程中,t为参数),可以作为双曲线C的渐近线方程的是(）A。①③⑤B。①⑤C。①②④D.②④⑤解析:由双曲线的参数方程知在双曲线中对应的a=3，b=4且双曲线的焦点在x轴上，因此其渐近线方程是y=±43x。检验所给直线的参数方程可知只有①③⑤适合条件.答案：A10。已知P点的柱坐标是(2,，1）,点Q的球坐标为（1，,），根据空间坐标系中两点A(x1,y1,z1）、B(x2，y2，z2)之间的距离公式｜AB|=（x1—x2)2+(y1-y2）2+(z1—z2）2,可知P、Q之间的距离为（）A。3B.2C。5D.解析：首先根据柱坐标和空间直角坐标之间的关系,把P点的柱坐标转化为空间直角坐标(，,1),再根据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把Q点的球坐标转化为空间直角坐标(,，0),代入两点之间的距离公式即可得到距离为.答案：B11。已知一个圆的参数方程是（θ为参数)，那么圆的摆线方程中参数φ=对应的点的坐标与点(，2）之间的距离为()A。—1B。C。D。解析：根据圆的参数方程可知圆的半径是3,那么其对应的摆线的参数方程为（φ为参数）,把φ=代入参数方程易得代入距离公式,可得距离为答案：C12.过抛物线（t为参数）的焦点的弦长为2，则该弦所在直线的倾斜角为(）A.B.或C.D.或解析一：将抛物线的参数方程化成普通方程为y2=x，它的焦点为（,0）。设弦所在直线的方程为y=k（x—）。由消去y，得64k2x2-48(k2+2）x+9k2=0,设弦的两端点坐标为（x1，y1)、（x2,y2），则｜x1-x2|====∵∴=2。∴k2=3,k=±.∴直线的倾斜角为。解析二：由抛物线的参数方程得y2=x，它的焦点为（，0）。设弦所在直线的参数方程为(m为参数)，代入y2=x,得m2sin2α-cosα·m—=0。∴=4，即9cos2α+9sin2α=16sin4α。∴sin4α=,sin2α=34,sinα=±。∴α=或α=.答案:B第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（请把正确答案直接填到题后的横线上，每小题4分，共16分）13。极坐标方程ρ=cos(-θ)所表示的曲线是___________。解析：方程可化为ρ=（cosθ+sinθ)，所以ρ2=（ρcosθ+ρsinθ）.转化为直角坐标方程为x2+y2=(x+y）,即(x-)2+(y—）2=。答案：以（,）为圆心,半径为的圆14.将参数方程(t为参数)化为普通方程为___________.解析：将x=t+两边平方，得x2=t2++2,∴y=x2—2。其中y=t2+≥2t2·=2.答案:y=x2—2(y≥2)15。抛物线y2=2px(p＞0)的一条过焦点的弦被焦点分成m、n长的两段，则=___________.解析：利用参数方程，结合参数的几何意义.设过焦点（p2,0）的直线方程为（t为参数），代入抛物线的方程得(tsinθ)2=p+2tcosθ,即t2sin2θ—2tcosθ-p=0。设此方程的两个实根分别为t1、t2,则根据根与系数关系可得t1+t2=，t1t2=—.而根据参数的几何意义可得代入化简即得答案。答案：16.渐开线（φ为参数)的基圆的圆心在原点,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的焦点坐标为___________。解析：根据摆线方程可知基圆的半径为6,则基圆的方程为x2+y2=36，把横坐标伸长为原来的2倍，得到椭圆方程+y2=36,即=1，对应的焦点坐标为(6,0）和(-6,0)。答案:(6，0）和(—6,0)三、解答题（请写出详细的做题步骤,共74分）17.（本小题满分12分）说明由函数y=2x的图象经过怎样的图象变换可以得到函数y=4x-3+1的图象.解析：本题主要考查直角坐标的变换方法,主要有平移变换和伸缩变换,平移变换改变图象的位置，伸缩变换改变图象的形状或大小。解：因为y=4x-3+1=22x-6+1,所以只需把y=2x的图象经过下列变换就可以得到y=4x-3+1的图象。先把纵坐标不变，横坐标向右平移6个单位，得到函数y=2x-6的图象；然后把横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变,得到函数y=22x—6的图象；再把所得函数图象的横坐标不变,纵坐标向上平移1个单位即得函数y=4x-3+1的图象。18。（本小题满分12分)在平面内一动点P到两定点A、B距离之积等于这两定点间距离的一半的平方,求P点轨迹的极坐标方程.解析：首先根据条件建立合适的极坐标系,结合图形，根据动点满足的关系,建立方程,化简即得所求轨迹的极坐标方程.解：如图,以A、B两点连线的中点O为极点,OB射线为极轴建立极坐标系。设｜AB|=2a,则A（a，π)，B(a,0),P(ρ，θ在△POA和△POB中，｜PA|=|PB|=.∵|PA｜·｜PB|=a2，∴=a2。化简得ρ2=2a2cos2θ19。(本小题满分12分)设抛物线以O为顶点,F为焦点，PQ是过焦点F的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，求△OPQ的面积。解析：由本题条件|PQ｜=b，求△OPQ的面积,宜建立极坐标系。根据抛物线的极坐标方程的特点，可以把抛物线的焦点作为极点，以抛物线的对称轴为极轴建立极坐标系。解：如图，以F为极点，抛物线的对称轴为极轴建立极坐标系.则抛物线的方程为ρ=设点P的极角为θ〔θ∈（0,π）〕，则点Q的极角为π+θ。所以｜PQ|=ρP+ρQ=,即=b。所以sinθ=2。又S△OPF=12a·｜PF｜sinθ，S△OQF=a｜FQ|sinθ，故S△OPQ=S△OPF+S△OQF=a(|FP|+｜FQ｜）sinθ=absinθ=a.20。(本小题满分12分)已知A1（-a，0)、A2(a,0）是椭圆长轴的两个端点（a〉0)，椭圆离心率为，P是椭圆上异于A1、A2的动点，直线l1过A1且垂直于PA1，直线l2过A2且垂直于PA2,求l1与l2的交点Q的轨迹方程.解析:本题是设参数求动点轨迹的典型问题.由于动点的坐标x、y直接的关系比较复杂，不容易直接求得,故而改为求x、y与第三个变量(参数）之间的关系。联立即得动点的轨迹参数方程，消去参数即得普通方程.解：因为e=a2=4b2,故椭圆的方程为x2+4y2=a2.由椭圆的参数方程（θ为参数)（a〉b>0）,可设P（acosθ,a2sinθ），则kPA1=，kPA2=所以直线l1的方程为直线l2的方程为以上两个方程联立就是动点Q的轨迹方程。两式相除可得cosθ=—,代入①可得∵sin2θ+cos2θ=1,∴=1.化简得4x2+y2=4a2,这就是动点Q21.(本小题满分12分)已知直线的参数方程为（t为参数），它与曲线（y—2）2—x2=1交于A、B两点。（1)求｜AB｜的长;（2)求点P（—1,2）到线段AB中点C的距离.解析:本题主要考查直线参数方程以及直线与曲线的位置关系。首先把直线的参数方程代入曲线方程,可以得到关于参数t的二次方程,根据参数的有关意义可以解决此问题.解：（1）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t2+6t-2=0。设A、B对应的参数分别为t1、t2,则t1+t2=—67，t1t2=—。所以线段|AB|的长为｜t1—t2｜=5（2)根据中点坐标的性质可得AB中点C对应的参数为。所以由t的几何意义可得点P（—1,2)到线段AB中点C的距离为·｜-｜=。22。（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上且长轴长为4,短轴长为2,直线l的参数方