微积分 第3版 课件全套 范周田 第1-9章 函数- 常微分方程

1.1函数设D为实数集R的非空子集,如果对任意的

都存在唯一的与之对应,可用表示,并称x为自变量,y为因变量.则称y是x的一元函数,而定义域就是自变量的取值范围,分别记为因变量的取值范围,值域就是或者简记为

第一章函数例如,令D到R的对应关系是:

3对应15.

1对应5;2对应10;这个对应方式满足唯一性的要求,因此是一个函数,记之为

f.

函数f

可以描述为:D中的每个数值都对应其自身的5倍.把集合

D中的每个数值用x表示,

1,2,3这三个数值中的任意一个.即x取值可以是则函数f

可以描述为:x对应5x,记为定义域值域需要注意的是,f与是有所不同的:

f是对应关系,即函数,而则表示函数f在x处的值.另外,函数的表示与自变量和因变量所使用的字母是无关的,也不一定有表达式.是单调递增函数;如果对任意的都有1.单调函数1.2几种具有特殊性质的函数一个函数往往在其定义域中的某些区间上是递增的,如果对任意的都有是单调递减函数.单调递增函数与单调递减函数统称为单调函数.这样的区间称为函数的单调区间.而在另外的区间上是递减的,2.奇函数与偶函数如果对任意都有我们就说D关于原点对称.关于原点对称,而且的图形关于坐标系原点对称,即如果对任意就称函数为奇函数.都有则称为奇函数.关于原点对称,而且的图形关于y轴对称,即如果对任意就称函数为偶函数.都有则称为偶函数.3.周期函数如果存在正数T,使得对定义域中的任意x成立,

通常情况下,我们关心周期函数的最小正周期,就称函数为周期函数,T是一个周期.

也有例外的情况,例如常函数是周期函数,任意正数都是它的周期,因此它没有最小正周期.简称周期.有界无界4.有界函数yxoDyxoD有六个常见的有界函数:设是一元函数,如果

都存在唯一的使得

1.3反函数

则称函数f有反函数.

函数f的反函数记为函数的反函数可以记为也可以记为函数与的图像是相同的,与的图像关于直线对称.

1.4函数的表示

通常可以用集合,图表,数据对应,图形和解析称为显函数.

1.解析表达式(显函数)2.分段函数

一个函数在其定义域的不同部分可以有不同

表达式等表示函数.

的表达式,即所谓的分段函数.例1.1

符号函数xyo例1.2

分段函数例1.3取整函数表示不超过x的最大整数.如当阶梯曲线

定义域值域例1.4狄里克莱(Dirichlet)函数狄里克莱十分特殊:它是有界函数,偶函数,也是周期函数,以任意的正有理数为周期,由于没有最小的正有理数,也就没有最小正周期.另外,我们无法画出D(x)的图像.3.隐函数通常情况下,隐函数不一定能化成显函数.如果

都存在唯一的y,满足方程

则称y是由方程确定的x的隐函数.例如,1.幂函数1.5基本初等函数微积分中除了常数函数外最常见的函数分为五类,幂函数的定义域与的取值有关.称为基本初等函数,包括幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数.特别地，2.指数函数与对数函数

称为自然对数.特别地，记为定义域为值域为正弦函数3.三角函数与反三角函数该函数是奇函数.定义域值域反正弦函数该函数是奇函数.定义域为值域为余弦函数该函数是偶函数.定义域值域反余弦函数该函数非奇非偶.定义域值域正切函数定义域值域反正切函数定义域值域余切函数反余切函数定义域值域正割函数常用三角函数公式:余割函数和、差化积公式:积化和、差公式:1.6复合函数

设函数

的定义域为则称函数

为x的复合函数.x是自变量,u称为中间变量,y是因变量.注意:

复合函数可由两个以上的函数复合而成.函数的值域,设定义种形式多层复合得到.基本初等函数只有11种形式,复合函数的11种形式如下：简单的复合函数也只有11种形式,更复杂的复合函数则可以由这11其中

形如的函数称为幂指函数,

也是复合函数,幂指函数因

由常数函数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所得到的函数,叫作初等函数.初等函数一定可以用一个解析式表示.1.7经济学中常用的函数

1.8极坐标系与极坐标方程

1.极坐标系在平面上取定一点O,

取定一个长度单位,称为极轴,称为极点,这样就组成了极坐标系.以O为起点作射线并平面上的任一点P都可用称为点P的极径,称为点P的极角,通常限定极角取值范围为

一对有序数`组确定:

直角坐标与极坐标有如下关系2.极坐标方程某些平面曲线用极坐标方程表示更为简单.例如,表示以原点为圆心,以a为半径的圆.表示以原点为起点,与x轴正向夹角为的一条射线.解例1.5将下列直角坐标方程化为极坐标方程:(1)由有解得极坐标方程为:(2)由有极坐标方程为:例1.6将下列极坐标方程化为直角坐标方程:解(1)由(2)同理等式两边同时乘以r,得

直角坐标方程为:的直角坐标方程为:记作点

称为邻域的中心,称为邻域的半径.记作也称空心邻域,称为设是两个实数,且1.8区间与邻域2.1数列无穷小与极限

数列是指定义在正整数集上的函数数列简记为例如,简记为简记为简记为第二章极限与连续数列的定义域正整数集是无限集,没有最大正整数.

即对任意给定的正数C,总存在正整数N,使得

依次取

在几何上,数列可以看作数轴上的一个动点,

数列的变化过程包含两个相关的无限过程:n的主动变化过程是自变量n的主动变化过程和因变量的被动变化过程.即n从1开始,不断增大(每次加1,无限重复).我们将n的这种变化过程称为n趋于无穷大,记为考察数列变化趋势.对于数列我们主要研究当时的是一个确定的正数,对任意给定的正数,而在所有正整数中,大于的正整数有无限多个,

我们从中任意选定一个,记之为N,即等价于都存在正整数N,于是当时,有即数列从某一项(第N+1项)开始,我们把具有这种特征的数列称为无穷小,对任意给定的,使得

每一项与常数0的距离都小于

也说它的极限是

定义2.1(数列极限的定义)

如果使得当时,不等式成立,记作设为数列,或称数列是无穷小.

则称当时数列的极限是0,

如果存在某个常数A,使得

则称当时数列的极限是A,

或称数列收敛于A.

记作如果不存在这样的常数A,使得

则称数列没有极限,

或称数列发散.

定理2.1(无穷小比较定理)

证正整数

n,

由定义,如果存在正数C,设则故对任意的使得对于所有证及无穷小比较定理,有证及无穷小比较定理,有证及无穷小比较定理,有练习证明证注意到及无穷小比较定理,有由

练习证明几何解释:只有有限个

(至多有N个)落在其外.2.2函数无穷小与极限

2.2.1函数在一点极限

在数轴上,常量对应于定点,变量对应于动点.我们用表示自变量x无限接近但不等于

即且动点x到定点的距离无限接近0.考察函数和

当时,

无限接近0,无限接近1,我们说当时函数的极限是

0,是无穷小,也称当时而函数的极限是

1.定义2.2(函数极限的定义)

有定义.有是无穷小.

记作假设当时,

则称当时的极限是0,

或称当时,如果A是常数,且

则称当时的极限是A,

记作由可得其中

C为正数.无穷小比较定理显然,

即当时,是无穷小.例2.3证明证因由有例2.4设证因由

有

证明练习证明证因而所以例2.5证因不妨设,

显然有,

证明即,

故.

对,

有

而所以我们用表示点x从的

右侧无限接近但不等于的过程.我们用表示点x从的

左侧无限接近但不等于的过程;单侧极限在定义2.2中,把分别改为与就得到

的数学定义,

分别称为f(x)在点的左极限与右极限.等价于

定理2.2(极限与左、右极限的关系)

注:也记成

也记成

例2.6证明不存在.由于左、右极限存在但不相等,证所以,不存在.2.2.2函数在无穷远的极限考察函数

我们用表示x无限地远离坐标原点,即无限增大的过程.

当时,无限增大,因此无限接近0,

我们说当时函数的极限是0,也称当时是无穷小.定义2.3(函数极限的定义)

有定义.有是无穷小.

记作假设当时,

则称当时的极限是0,

或称当时,如果A是常数,且

则称当时的极限是A,

记作的几何意义:之内.函数的图形完全落在带型区域比较法的思想同样可以研究自变量趋于无穷时由可得其中

C为常数.例2.7证明证由有函数的极限.其中n为正整数.

不妨设

当时,因例2.8证明证由有当时,不妨设

在定义2.3中,把分别改为与就得到

的数学定义.

等价于

例如,

因此

不存在.

2.2.3极限的性质证设取有即在

的空心邻域内有界.定理2.3(唯一性)若存在,则极限值是唯一的.定理2.4(局部有界性)

若存在,则在x0的某个空心邻域内有界.由极限的定义

于是定理2.5(局部保号性)

证只需证第一部分.

不妨设(1)若因即于是设则在

的某个空心邻域内与A同号.(2)如果在

的某个空心邻域内2.2.4

无穷大考察函数

当时的变化趋势.

任意给定的正数M,无论M多么大,

就有

我们称当时是无穷大量,简称无穷大.是无穷大,

是正无穷大,

定义2.4记作如果则称当时

不会和任意一个固定的常数无限接近,因而极限不存在.注意:当时是无穷大,

如果且,

则称当时

记作是负无穷大,

如果且,

记作则称当时

证不妨设

因于是只要证所以故例2.9证明2.3极限的运算法则证设且于是

定理2.6两个无穷小之和为无穷小.即有

定理2.7

无穷小与有界函数的乘积为无穷小.定理2.7其实是比较法的直接推论.都是无穷小.例如,当解练习求由有界,有由有界,有例2.10求解几个极限不存在的例子:因因定理2.8(极限四则运算法则)

则有

证(2)设

故由

再由定理2.6

是无穷小.

所以是无穷小.

特别地

即:常数因子可以提到极限记号外面.有,都是无穷小,且在附近有界.有利用极限的运算法则及我们可以求解一些简单的极限问题:

例如,对任意的多项式函数注意:(1)和(2)可以推广到有限多个函数.

例2.11

求

解由函数商的极限法则,有解消去零因子法时,分子、分母的极限都是零.例2.12

求

一般地,设

则商的法则不能使用.则当时,有解时,分子、分母的极限都是无穷大,例2.13

求

分子、分母同时除以

x的最高次幂.解由无穷小与无穷大的关系,得练习求

一般地,当为非负整数时,有解根式有理化

原式例2.14

求

解原式练习求

定理2.9(复合函数的极限运算法则)则根据复合函数的极限法则,为了求

如果

设复合函数在的某个空心邻域内有定义.

再求令(称为变量代换),先求得

例2.15

求解由有如果定理2.10(函数极限与数列极限之间的关系)则

且

例2.16证明不存在.

证令则

令由定理2.10,有则

如果

存在,设

矛盾。

答案原式练习(1)

求

解原式(2)

求

(3)试确定常数

a,

使解令则即准则I(夹挤定理)

则2.4

极限存在准则与两个重要极限

这一节介绍极限存在的两个充分条件,称之为极限存在准则,并用它们证明两个重要的极限.的某个空心邻域内有定义,且满足以下条件:在x0证所以是无穷小，所以由有由有如果数列及满足以下条件:则准则I’(数列夹挤定理)

证有而例2.17证明,为自然数.

所以第一个重要极限:证于是作单位圆O,作单位圆的切线AC,即由夹挤定理因即再由夹挤定理第一个重要极限对于复合函数有其中的非零无穷小.解例2.18求下列极限:

练习解单调增加单调减少单调数列几何解释:准则II

单调有界数列必有极限.如果数列满足:第二个重要极限:

(1)数列形式(2)函数形式解解例2.19求

例2.20

求

2.5

函数的连续性2.5.1函数的连续性定义2.5(函数在一点的连续性)则称函数在点连续,称为的连续点.如果注意:函数在一点处连续性包含以下三个条件:设所以,在点连续等价于:则显然,

定义2.6(函数在一点左、右连续)点左、右连续.例2.21讨论函数在点的连续性.证因函数在点左连续且右连续,所以在该点连续.处右连续,在在处左连续,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.定义2.7(函数在区间连续)则称它在开区间内连续;如果函数在开区间内连续,则称它在闭区间上连续.通常把所有区间I

上的连续函数构成的集合记作

如闭区间上连续函数的全体记为

如果函数在开区间内每一点都连续,证由夹挤定理,

因例2.22证明函数

内连续.同理,定理2.11(函数四则运算的连续性)例如,故在其定义域内连续.定理2.12(复合函数的连续性)定理2.13

设函数在区间I上单调而且连续,则其反函数也单调且连续.由此,反三角函数在其定义域内皆连续.即注:初等函数的连续性提供了极限的简单求法.例2.23求解因函数的定义域为

是定义区间内点.

定理2.14(初等函数的连续性)初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.例2.24已知

解因求由极限的保号性,在的某个空心邻域内,有

在这个空心邻域内有由初等函数的连续性,有例2.25求解所以因2.5.2函数的间断点的一个间断点.下列三种情形至少有一种会发生:

例如,函数在

点左右极限都存在但不相等,所以,为的间断点.函数在

点左右极限都存在且相等,但函数在点无定义,所以,为的间断点.如果和中至少一个不存在,例如,函数因所以,为函数的间断点.点是间断点.函数在

点左右极限都不存在,另外,也是函数的间断点.根据间断点的具体情形,可以将其做如下分类:第一类间断点:第一类间断点又可以分成两种情形:

如果左、右极限相等,则称其为可去间断点;如果左、右极限不相等,则称为跳跃间断点.间断点.的间断点,如果和都存在,则称的第一类例如,为的跳跃间断点;如果补充定义

为的可去间断点.在间断是因为函数在这个点没有定义,

这也是把称为可去间断点的原因.那么它就在连续了.第二类间断点:除去第一类间断点之外的间断点,若其中有一个为则称为无穷间断点.事实上,和中至少有一个不存在,则点就是第二类间断点.

统称第二类间断点.初等函数无定义的孤立点是间断点;分段函数的分段点是可能的间断点,需要讨论.求函数的间断点的方法:并判断其间断点的类型.解函数的定义域为

由初等函数的连续性,函数在其定义区间内连续.例2.26

讨论函数的连续性,所以函数的间断点是所以,x

=0为可去间断点.所以,x

=1为第二类无穷间断点.2.5.3闭区间上连续函数的性质设在区间I有定义,则称是函数在区间I的最大值(最小值).定理2.15(最大最小值定理)设在[a,b]上连续,则在[a,b]上有最大值最小值.有即若注意:

若区间是开区间或区间内有间断点,定理不一定成立.推论2.1

(有界性定理)设在[a,b]上连续,则在[a,b]上有界.

显然,函数的最大、最小值分别是它的一个上界和一个下界.定理2.16(零点定理)

设函数在闭区间[a,b]上连续,使得则至少有一点证由零点定理,所以,方程使得例2.27设证明方程至少有一个小于的正实根.证由零点定理,得证.使得例2.28证明方程至少有一个小于的正根.令练习

证明方程证由零点定理,一根.所以,方程使得练习设函数证由零点定理,使得即定理2.17

(介值定理)

设函数在闭区间上连续,若则至少有一点使得证设由零点定理,故推论2.2

闭区间上连续的函数,必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.证则如果例2.29设在上连续，且证明：至少存在一点，使得不妨设则结论成立.如果则由介值定理,至少存在一点,使得得证.例如,当不可比.下面我们对无穷小趋于零的速度进行比较.观察各极限极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不存在,2.6

无穷小的比较定义2.8

(无穷小的阶的比较)

记作记作等价无穷小;是同阶无穷小;的高阶无穷小;例2.30证明当

证(1)因

(2)因(3)因例2.31常用等价无穷小:证明当

证(1)因

(2)令故(3)

由(2)有

再由(1)有

证因定理2.18

(无穷小的等价代换)意义:利用等价无穷小代换,可以简化极限的计算.

所以故解注意:无穷小的等价代换适用于乘、除情形,代数和的情形需慎用.例2.32

用无穷小的等价代换求解解错例2.33求性质:一个无穷小例如,当特别地,如果当时,是无穷小,习惯将同幂函数进行比较.

例2.34当时,试确定下列无穷小的阶数:

解(1)注:

如果用表示任意一种极限,包括六种情况下函数的极限和数列极限,

则可以用代替定义2.8和定理2.18中的即无穷小的等价代换仍然成立.解分子、分母同乘以因子

则练习1.求解故2.求1.三个基本无穷小第一章习题课(极限部分)一、重点内容2.

关于无穷小的比较定理且在点a的某个空心邻域内

如果成立，其中

C为常数.3.设q为常数,则4.

常用等价无穷小证因二、典型例题例1证明数列是无穷小.

而是无穷小,根据比较定理,数列是无穷小.例2证明证因当时,

是无穷小

.例3证明证因由比较定理,例4求极限解由夹挤定理得

例5设解令由夹挤定理则求例6设解显然求且例7已知求常数a,b.解例8设解分子、分母同乘以因子

则求解例9设解原极限例10已知求常数a,b.故例11当是

x的几阶无穷小?解设其为

x

的

k

阶无穷小,所以,当则证因一、证明数列是无穷小.

而是无穷小,练习题根据比较定理,数列是无穷小.二、证明证因由比较定理,三、求下列极限:

四、已知极限存在,求常数

a.解因因由于极限存在,所以左、右极限相等,故所以所以五、求出曲线的水平与铅直渐近线.解

的一条水平渐近线.又因所以,的铅直渐近线.

的一条水平渐近线.证(舍负)的极限存在,并求其极限值.六、证明数列于是即所以间断点分为两类:第二类间断点:第一类间断点:及均存在,及中至少一个不存在.若称为可去间断点.若称为跳跃间断点.若其中有一个为称为无穷间断点.第一章习题课(连续部分)例1讨论的连续性.解显然,解即求常数a,b.例2设为连续函数,即得证讨论:令例3设由零点定理知,综上所述:必存在一点若则及可去间断点试确定常数a及b.为无穷间断点,所以为可去间断点,存在例4设函数有无穷间断点解故

x

=–1为第一类可去间断点;x=1为第二类无穷间断点;x

=0为第一类跳跃间断点.例5求的间断点,并判别其类型.解是间断点,例6设函数内有定义,对任意实数证可得x,y

满足关系式处处连续.由点连续.试证:可得所以,一、证明奇次多项式至少存在一个实根.二、设函数在区间(a,b)内连续,且证明函数

在区间(a,b)内有零点.练习题解三、求的间断点,并判断其类型.

易判断,x

=0为第一类跳跃间断点.问题1

平面曲线的切线及切线的斜率

3.1导数的概念第三章导数与微分设平面曲线Γ

的方程为Γ

上一定点,过点M,N的直线称为曲线的割线.上一动点,为曲线为曲线其中曲线Γ在点M处的切线.割线MN的斜率为如果当动点N沿曲线Γ

无限趋近于定点M时,割线MN无限的接近于某定直线MT,直线MT就称为切线MT的斜率为设为某种商品的总成本函数,表示的是当产量增加一个单位问题2边际问题为商品产量.

当产量由增加到时，成本的增加量为.时成本的平均变化率，也称其为产量由增加到时的平均边际成本.如果极限存在，就称这个极限值是生产这种商品时在点的边际成本.如果极限存在,即定义3.1

(导数的概念)记为或导数也可写成也称导数不存在.如果极限不存在,注:是无穷大,记为关于导数的说明：记为都存在,则称在闭区间上可导.如果在开区间内可导,且及定理3.1(可导与连续的关系)证所以注意:

该定理的逆定理不成立.处切线方程为法线方程为导数的几何意义:处的切线方程为处的切线斜率.例3.1求抛物线解所求切线斜率为所求切线方程为法线方程为和法线方程.处的切线方程解练习求处的导数.解练习求函数的导数.即例3.2设函数解即同理解例如,例3.3求函数即的导数.练习

求函数的导数.解即特别地,例3.4

求函数的导数.解即练习求函数的导数.解即例3.5求曲线解所求切线斜率为所求切线方程为法线方程为和法线方程.处的切线方程例3.6设某商品的需求函数,

解求边际需求函数.在经济学中，通常把导数称为边际或边际函数.例如，如果是成本函数,则是边际成本.是需求函数,则是边际需求函数.★2.右导数单侧导数1.左导数

★例3.7讨论函数处的可导性.解因解练习设求解练习设曲线在点处有切线

处的可导性处是否有切线?解练习讨论函数不存在,处的连续性与可导数性.练习设函数解由定理3.2若函数3.2导数的计算3.2.1导数的四则运算法则则它们的和、差、积、商(分母不为零)在点x处均可导,且证(2)由导数的定义及可导必连续,有

设推论例3.8设求解故练习设求解练习

求的导数.解同理得即例3.9

求的导数.解练习设解故3.2.2反函数的求导法则定理3.3设函数即:反函数的导数等于直接函数导数的倒数.内可导,且有证因为连续,于是,

反函数的导数为例3.10求函数的导数.解同理可得即:

因变量对自变量求导,等于因变量对中间变3.2.3复合函数的求导法则定理3.4若函数复合而成,量求导,乘以中间变量对自变量求导(链式法则)推广:解例3.11求函数的导数.则复合函数的导数为设解例3.13求函数的导数.解设例3.12求函数的导数.解练习求函数的导数.解因例3.14求函数的导数.即导数基本公式:特别地,特别地,注意:

初等函数的导数仍为初等函数.说明:任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出;解练习求函数的导数.解练习求函数的导数.解例3.15求函数的导数.解解练习求函数的导数.练习求函数的导数.解解练习求函数的导数.练习求函数问题:变速直线运动的加速度.3.2.4高阶导数变化率,因加速度a是速度v对时间

t的定义3.2

若导数存在,的二阶导数,记作三阶导数的导数称为四阶导数,

二阶导数的导数称为三阶导数,记作二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.

求函数的高阶导数就是多次连续地对函数求规定:导数,仍应用前面所学的求导方法计算高阶导数．例3.16求下列函数的n

阶导数反复求导有解(3)同理可得练习设解练习设解则练习设解高阶导数的运算法则莱布尼兹公式设函数u和v

具有n阶导数,则例3.17设解由莱布尼兹公式练习设解因我们并不需要将隐函数显化后求导.

1.隐函数的导数3.2.5几种特殊的求导法利用复合函数的求导法则即可.

而是方程两边对x求导,等式仍然成立,将

y视为x的函数,解解得方程两边对x求导,例3.18求由Kepler方程确定的隐函数的导数例3.19

求方程所确定的隐函数解解得方程两边对x求导,y的导数方程两边对x求导,代入得解得例3.20

求由方程确定的隐函数y

解解得方程两边对x求导,的二阶导数将代入,得练习求方程所确定的隐函数y解解得方程两边对x求导,的导数练习设曲线C的方程为解方程两边对x求导,所求切线方程为显然通过原点.法线方程为法线通过原点.练习设解方程两边对x求导,方程(1)两边再对x求导,得得得代入代入观察函数求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:2.对数求导法:多个函数相乘和幂指函数的情形.方法:

先在等式两边取对数,然后利用隐函数的例3.21求的导数.解等式两边取对数,得上式两边对x求导,练习设解等式两边取对数,得上式两边对x求导,例3.22求的导数.解等式两边取对数,得上式两边对x求导,练习设解等式两边取对数,得上式两边对x求导,实例:

正方形金属薄片受热后面积的改变量.3.3微分3.3.1微分的定义正方形面积定义3.3(微分定义)则称注意:对应的增量,增量时;就是切线纵坐标微分的几何意义当是曲线的纵坐标在点M的附近,切线段MP可近似代替曲线段MN.1.基本微分公式3.3.2微分的运算法则

由导数的基本公式和求导法则立即得到微分特别地,

特别地,

基本公式和微分法则.

2.函数四则运算的微分法则特别地,

结论:无论x是自变量还是中间变量,一阶微分形式的不变性3.一阶微分的形式不变性的微分形式总是例3.23设解解练习求由方程解得方程两边对x求导,解例3.24

求函数3.3.3高阶微分于是

设函数在区间内可微分,

则它的把看作的一元函数,

若该函数在区间内仍可微分,

微分为.

则它的微分为称为的二阶微分,

记为,记,

若函数在区间内阶可导,

则3.3.4微分在近似计算中的应用当充分小时,利用微分可以将一些复杂的计算公式用简单的或近似公式来代替，使某些复杂计算得到简化.或解例3.25在附近求函数的近似式,并近似计算.解例3.26求的近似值.解例3.27求的近似值.例1设解1第三章导数与微分习题课典型例题例1设解2其中则故解例2若函数求例3设解等式两边取对数,得例4设解求所确定,例5设函数解两边取对数所确定,求例6问a何值时,抛物线解由题意所求切线方程为相切,求出切点与切线方程.解得切点为例7设解讨论不存在,故例8求过点解所求切线斜率为切点为所求切线方程为由解出即解方程两边对x求导,有所求切线斜率为所求切线方程为即例9求曲线处的切线方程.解得解设例10利用微分求的近似值.例11设函数解因(2)求处曲线的法线方程.由(2)所求法线方程为即例12设解例13设解练习题一、求下列函数的导数解答3.取对数,得两边对x求导,有二、设

f(x),g(x)可导,求下列函数的导数解三、设

f(x)二阶可导,求函数

二阶导数.解解不一定存在,因可导,用定义求解因为五、设函数在点的邻域内连续,且所以再由函数在点的邻域内连续，可得从而不能直接用极限的四则运算法则求解的极限问题方法:型4.1洛必达法则其它能化成这两种形式的未定式第四章导数的应用方法:型方法:型定理4.1(型的洛必达法则)则设在

的某空心邻域内满足下列条件：定理4.1(型的洛必达法则)则设在

的某空心邻域内满足下列条件:例4.1求解例4.2求解练习求解练习

求解练习求解注意:

洛必达法则是求未定式的一种有效方法,与其它求极限方法结合使用,效果更好.练习

求解注意洛必达法则的使用条件!极限不存在此时不能使用洛必达法则.例4.3求解例4.4求解例4.5求解例4.6求解例4.8求解例4.7求解例4.9求解练习求解练习求解练习求解练习求解练习求解定理4.2(费尔马引理)

4.2微分中值定理内的最大值或最小值,证不妨设设是在点

的某邻域有根据函数的可导条件及极限的保号性,有所以,的点称为函数的驻点.

且曲线在该点有切线,如果在[a,b]上连续,则在[a,b]上一定有最大值和最小值.最大、最小值点只可能是驻点、不可导点或区间的端点.定理4.3(罗尔定理)(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)使得证若函数f(x)满足:必有最大值M和最小值m.由费尔马引理

推论4.1可微函数的任意两个零点之间至少有的一个零点．例4.13证明是方程的唯一实根.证矛盾.由罗尔定理,原命题得证.使得在[0,1]上二阶可导,且则在内至少存在一点练习若证使得使得上使用罗尔定理,使得使用罗尔定理,常用的构造辅助函数的方法：

常数k法基本思路是令待证等式中的常数为k，通过恒等变形将含有的式子写成的形式，

然后用罗尔定理则就是需要的辅助函数,进行证明.例4.14设分析证令罗尔定理,整理得使得故即定理4.4(拉格朗日中值定理)(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;使得若函数f(x)满足:几何解释:分析:

在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线平行于弦AB.证作辅助函数拉格朗日中值公式即或故就可以同时得到两个不等式有限增量公式应用：不等式的证明例4.15证明不等式证由拉格朗日中值定理,存在使得由得到例4.16如果证不妨设例4.17证明当证而故练习证明当证而故定理4.5设函数单调递增;单调递减.4.3.1函数的单调性在(a,b)内可导.证(1)由拉格朗日定理在[a,b]上在[a,b]上4.3

单调性及其应用证明定义域为注1:

定理4.5对于开、闭、有限或无穷区间都正确.注2:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,例4.18证明函数在上单调递增.

解例4.19讨论函数的单调性.

定义域为解定义域为导数不存在.例4.20

讨论函数的单调性.

函数的单调区间求法:若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数的符号.的分界点．则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间解定义域为例4.21

讨论函数的单调性.

解定义域为练习

讨论函数的单调性.

导数不存在;单调性是证明函数不等式的一个有效方法.证例4.22证明当所以在区间单调递增.

因此当时,

得证.练习

证明当证则即即(1)式成立.证练习证明不等式原不等式等价于设4.3.2函数的极值定义4.1

的一个极大值(或极小值),

如果在x0的

函数的极大值与极小值统称为极值,使函数设在x0

附近有定义,某个空心邻域内,恒有注意:

极值的概念是一个局部性的概念,它仅涉取得极值的点x0称为极值点.及函数在一点附近的性质.定理4.6

(极值的必要条件)注意:可导函数的极值点必定是驻点,例如,但驻点不一定是极值点.则必有设在点处可导,且在处取得极值,

的驻点.另外:连续函数的不可导点,也可能是极值点.例如,设函数在x0

处连续,定理4.7(极值的第一充分条件)在x0的某个空心邻域内可导,则(1)如果有而有则在处取得极大值;(2)如果有而有则在处取得极小值;(3)如果当及时,符号相同,则在处无极值.是极值点情形不是极值点情形求函数极值的基本步骤:(3)求出各极值点处的函数值,得到相应的极值.的点和的点;(2)对(1)中求得的每个点,根据

在其左、

如果是极值点,进一步确定是极大值点还是(1)求出

的所有可能的极值点,即的不可导右是否变号,确定该点是否为极值点.

极小值点;例4.23求函数的极值.解极大值极小值函数在其定义域内连续.导数不存在;不存在无极值不存在定理4.8(极值的第二充分条件)

注意:则设

在

处具有二阶导数,且(1)当时,函数在处取得极大值;(2)当时,函数在处取得极小值.此时仍需用定理4.7.极大值极小值解定义域为练习求函数的极值.求函数最大值与最小值的一般步骤:1.求驻点和不可导点;2.求出区间端点及驻点和不可导点的函数值,3.在实际问题的应用中,问题本身可以保证目标4.3.3函数的最值是最小值;比较大小,其中最大者就是最大值,最小者就种思想求取应用问题的最值.函数的最大值或最小值一定存在,我们通常用这例4.24求函数在[-1,4]上的最大解计算值与最小值.(-1,4)内驻点比较得,最大值最小值例4.25欲建造一个粮仓,粮仓内部的下半部分为圆柱规定粮仓储藏量为,问如何选取圆柱形的尺寸

能使造价最低.形,顶部为半球形,设用于建造圆柱形部分的材料的单价为,用于建造半球形部分的材料的单价为.如果粮食只能储存在圆柱形部分，且解设圆柱的高和半径分别为则粮仓的内表面积为材料的总价为代入上式得求导得又因为故令,

得驻点.

所求问题最小值一定存在,故唯一驻点唯一驻点,

就是最小值点,

故时造价最低.例4.26铁路线上段的距离为工厂距处为垂直于(见图).为了运输需要,要在线上选定一点向工厂修筑一条公路.已知铁路上每公里货运的费用与公路上每公里的费用之比为3:5.为了使货物从供应站运到工厂的运费最少,问点应选在何处？则解则设铁路上每公里货运的费用为,公路上每公里的费用,从点到点的总运费为,故时,求导得令得唯一驻点

所求问题的最小值一定存在,故驻点就是问题的最小值点,总运费最少.解得练习

求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的

半径为R.设圆柱体的高为2h,底半径为

r,体积为V,

圆柱体的最大体积一定存在,故唯一驻点

就是最大值点,

最大体积为令得(舍去负值)唯一驻点,4.4.1曲线的凹凸性及拐点左图中的曲线弧是向下凸的,它具有两个特征:

(1)连接曲线上任意两点的弦(2)曲线切线的斜率单调递增.

4.4

函数图形总位于这两点间的曲线弧的上方;

右图中的曲线弧是向上凸的,它具有两个特征:

(1)连接曲线上任意两点的弦(2)曲线切线的斜率单调递减.

有时把向下凸的弧称为凹的,而把向上凸的弧总位于这两点间的曲线弧下方;

称为凸的.曲线的这种性质称作曲线的凹凸性.

恒有设在区间I上连续,如果

恒有如果

定义1如果单调递增,

定义2设在区间I可导,如果单调递减,

在区间I是向上凸的,或称凸的.定理4.9

设解例4.30

判断曲线的凹凸性.解例4.31

判断曲线的凹凸性.解定义4.2连续曲线上凹凸性发生变化的点称为练习判断曲线的凹凸性.曲线的拐点.定理4.10(拐点的第一充分条件)

设函数在x0的某邻域内连续，在空心邻域内存在,(1)(2)定理4.11(拐点的第二充分条件)

曲线的拐点.解凹的凸的凹的拐点不是拐点例4.32求曲线的拐点及凹凸区间.

函数在其定义域内连续.不存在练习

证明证所以曲线在上是严格向下凸的.有即令1.垂直渐近线

(垂直于x轴的渐近线)4.4.2曲线的渐近线一条渐近线.移向无穷点时,如果点P到某定直线L的距离趋向于零,如果例如有两条垂直渐近线:2.水平渐近线

(平行于x轴的渐近线)例如有两条水平渐近线:如果3.斜渐近线斜渐近线求法如果或若且注意:解如果定义域为练习求的渐近线.不存在;不存在;可以断定不存在斜渐近线.所以,是曲线的垂直渐近线.所以,是曲线的一条斜渐近线.(1)确定函数的定义域、间断点、奇偶性和周期性.和拐点.(2)确定曲线的渐近线,把握函数的变化趋势.

确定曲线的凹凸性(4)适当计算曲线上一些点的坐标,如极值,拐点的坐标,注意曲线是否与坐标轴是否有交点.函数作图的具体步骤可归纳如下:

(3)求出函数的单调性和极值,例4.33描绘函数的图形.解函数非奇非偶.定义域为水平渐近线:垂直渐近线:无斜渐近线.极大值拐点列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:作图拐点极大值补充点水平渐近线:垂直渐近线:极大值拐点练习描绘函数的图形.解函数非奇非偶.定义域为水平渐近线:不存在拐点极小值间断点无斜渐近线.列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:铅直渐近线作图拐点极小值补充点不存在拐点极小值间断点水平渐近线:垂直渐近线:定理4.11(柯西中值定理)

使得4.5柯西中值定理与泰勒公式(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导,且4.5.1柯西中值定理若函数f(x)及

F(x)满足:证令整理,得作辅助函数则在闭区间[a,b]上满足罗尔定理条件即使得即由得则例4.34证由由定理的条件得在的某邻域内连续,不妨设设x是该邻域内一点故有上式两端令取极限则在处也连续.注意到于是证毕练习设函数证结论可变形为使得即存在一点4.5.2泰勒公式

在实际问题中,往往希望用一些简单的函数来而多项式函数就是最简单的一类初等函数.首先考虑函数在一点附近的多项式近似.如果函数在点处可导,则有令则式(4-1)可简写为近似代替复杂的函数.

式(4-2)可理解为:当比较复杂时,

我们考虑在点附近用n次即其中如果在点可导,则在点附近,可用一次多项式来近似,即多项式来近似.由存在且此时,用定义求导数，得于是有式(4-3)称为在处的n阶泰勒多项式.设存在,则定理4.12是在处的n阶泰勒多项式.其中证只需证令则连续使用(n-1)次洛必达法则,有(4-4)式可写成(4-4)式称为带佩亚诺型余项的n阶泰勒公式,(4-4)式中的称为佩亚诺型余项.其中定理4.13(泰勒中值定理

)那么使得其中称为拉格朗日型余项.证利用柯西中值定理证明令且因此如果公式(4-5)变成

其中(4-7)式称为f(x)的n阶麦克劳林多项式,(4-8)式称为则f(x)的带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式.而误差估计式为称为f(x)的带佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式.麦克劳林公式的用法:解因代入公式,得例4.35

求

的n阶麦克劳林公式.于是注意到估计误差其误差取解因例4.36

求

的2n阶麦克劳林公式.于是,由麦克劳林公式得到

解练习将

的多项式.而

常用函数的麦克劳林公式解因例4.37

利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，求

解因练习

计算