2023-2024学年河北省唐山市高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河北省唐山市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y2=x的焦点坐标是(

)A.(12,0) B.(14,0)2.已知向量AB=(0,1,2)，则|AB|=A.1 B.3 C.5 3.记Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3=6，A.27 B.36 C.45 D.784.已知圆x2+y2=4与圆A.1 B.2 C.3 D.45.已知{an}，{bn}均为等差数列，且a1=1，A.2026 B.2025 C.2024 D.20236.线段AB长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB中点的轨迹所围成图形的面积为(

)A.2 B.4 C.2π D.4π7.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，若AB=2BA.60°

B.90°

C.105°

D.75°8.已知M是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，A.12 B.22 C.3二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l1：(a+2)x+3y+3=0与l：x−y−2=0，则(

)A.若a=1，则两直线垂直 B.若两直线平行，则a=5

C.直线l1恒过定点(0,−1) D.直线l10.数列{an}满足：a1=0，A.a2=−12 B.S3=1611.已知双曲线C：y2−x22=1，直线l：y=kx与C交于A，B两点，点P是C上异于AA.C的焦点到其渐近线的距离为2

B.直线PA与PB的斜率之积为2

C.过C的一个焦点作弦长为4的直线只有1条

D.点P到两条渐近线的距离之积为12.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P，Q分别是棱AB，B1A.四面体PQA1D1的体积是定值

B.直线A1P与平面A1B1CD所成角的范围是[π6,π4]

C.若P，Q分别是棱AB，B1C1的中点，则|PQ|=6

D.若P，13.已知等比数列{an}的公比为q，且0<q<1，a2=2，a114.已知a=(2,−1,3),b=(−4,2,x)，且a//b，则x=15.已知直线l与圆C：x2+(y−1)2=2相切，且切点的横、纵坐标均为整数，则直线l的方程为______16.已知点M(2,1)在抛物线C：x2=2py(p>0)上，则p=______；过点M作两条互相垂直的直线MA，MB分别交C于A，B两点(不同于点M)，则直线AB经过的定点坐标为______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知直线l：3x−4y−1=0与圆C：x2+y2−4x+2=0相交于A，B两点．

(1)若P为圆C上一点，求点P到直线l的最大距离；

18.(本小题12分)

数列{an}是首项为1，公比为正数的等比数列，且满足a3=2a2+3．

(1)求数列{an}的通项公式；19.(本小题12分)

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB=DC=2，BC=4，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PB的中点．

(1)证明：AE//平面PDC；

(2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．20.(本小题12分)

数列{an}满足a1=1，a2=4，an+2−2an+1+an=2．

(1)求a3，a4；21.(本小题12分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1的侧面A1ACC1和ABB1A1均为正方形，AA1=2AB1，交A1B于点O，D为A122.(本小题12分)

已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为32，长轴长为4，过点D(−1,0)的直线l交Γ于M，N两点(M在x轴上方)．

(1)求Γ的方程；

(2)记△AND的面积为参考答案1.B

2.C

3.D

4.C

5.B

6.D

7.B

8.B

9.AC

10.ACD

11.AD

12.ABC

13.1214.−6

15.x−y−1=0或x+y+1=0或x−y+3=0或x+y−3=0(任写一个都对)

16.2

(−2,5)

17.解：(1)圆C：x2+y2−4x+2=0，整理得(x−2)2+y2=2，

所以圆心(2,0)到直线3x−4y−1=0的距离d=|6−1|3218.解：(1)设等比数列{an}是的公比为q>0，a1=1，

∵a3=2a2+3，

∴q2=2q+3，q>0，

解得q=3，

∴an19.解：(1)证明：取PC中点F，连结EF，DF，如图，

∵E为PB的中点，∴EF/​/BC，EF=12BC，

∵AD/​/BC，AD=12BC，∴EF/​/AD，EF=AD，

∴四边形AEFD是平行四边形，∴AE/​/DF，

∵AE⊄平面PDC，DF⊂平面PDC，

∴AE/​/平面PDC．

(2)取AD中点O，BC中点G，连接PO，OG，则OG⊥AD，

∵△PAD是等边三角形，∴PO⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD，

∵OG⊂平面ABCD，∴PO⊥OG，

分别以OG，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

PO=32AD=3，则P(0,0,3)，A(0,−1,0)，B(3,−2,0)，C(3,2,0)，

∴PC=(3,2,−3)，AP=(0,1,3)，AB=(3,−1,0)，

20.解：(1)∵a1=1，a2=4，an+2−2an+1+an=2，

∴a3−2a2+a1=2，即a3−2×4+1=2，

∴a3=9，

同理可得a4=16．

(2)证明：∵an+2−2an+1+an=2，

∴(21.解：(1)证明：因为平面ABB1A1为正方形，

所以AB⊥AA1，

又因为AB⊥AD，AA1∩AD=A，AA1⊂平面A1ACC1，AD⊂平面A1ACC1，

所以AB⊥平面A1ACC1，

因为AC⊂平面A1ACC1，所以AB⊥AC；

(2)由(1)知，AB⊥AC，AB⊥AA1，

因为平面A1ACC1为正方形，所以AC⊥AA1，

所以AA1，AB，AC两两互相垂直，

以A为坐标原点，AA1，AB，AC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，O(1,1,0)，

因为D为A1C1中点，所以D(2,0,1)，CB=(0,2,−2)，

因为CE=λCB=(0,2λ,−2λ)，所以E(0,2λ,2−2λ)，

因为OD=(1,−1,1),DE=(−2,2λ,1−2λ)，

设平面ODE的法向量为22.解：(1)由题意可得2a=4，则a=2，e=ca=1−b2a2=32，可得b2=1，

所以椭圆的方程为：x24+y2=1；