2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算学案新人教B版必修4

PAGEPAGE12．1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算1.了解平行向量的基本内容．2.理解平行向量基本定理及轴上向量的坐标运算．3．驾驭平行向量基本定理及轴上向量的坐标公式并会运用定理、公式解决实际问题．[学生用书P41])1．向量共线的条件(1)平行向量基本定理：假如a＝λb，则a∥b；反之，假如a∥b，且b≠0，则肯定存在唯一一个实数λ，使a＝λb．(2)单位向量：给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量．假如a的单位向量记作a0，由数乘向量的定义可知a＝|a|a0或a0＝eq\f(a,|a|)．2．轴上向量的坐标及其运算(1)轴上向量的坐标①规定了方向和长度单位的直线叫做轴．②已知轴l，取单位向量e，使e的方向与l同方向，对轴上随意向量a，肯定存在唯一实数x，使a＝xe．单位向量e叫做轴l的基向量．x叫做a在l上的坐标(或数量)．x的肯定值等于a的长，当a与e同方向时，x是正数，当a与e反方向时，x是负数．③给定单位向量e，能生成与它平行的全部向量的集合{xe|x∈R}．(2)轴上向量的坐标运算①轴上两个向量相等的法则：轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等，即设a＝x1e，b＝x2e，则a＝b⇒x1＝x2．②轴上求两个向量和的法则：轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和，即设a＝x1e，b＝x2e，则a＋b＝(x1＋x2)e．假如设e是轴l上的一个基向量，eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标又常用AB表示．此时eq\o(AB,\s\up6(→))＝ABe，明显eq\o(BA,\s\up6(→))＝BAe，AB与BA肯定值相同，符号相反，即AB＋BA＝0.一般地，对于轴上的随意三点A、B、C，有AB＋BC＝AC．③轴上向量的坐标和数轴上两点间的距离公式：轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．在数轴x上，已知点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，于是得AB＝AO＋OB＝－OA＋OB＝x2－x1．所以数轴上两点A、B的距离公式为|AB|＝|x2－x1|．1．若数轴上，A，B两点的坐标分别是3，5，则A，B两点的距离为()A．8 B．2C．3 D．－2解析：选B.|AB|＝|5－3|＝2.2．数轴上点A，B，C的坐标分别为－1，1，5，则下列结论错误的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标是2 B．eq\o(CA,\s\up6(→))＝－3eq\o(AB,\s\up6(→))C．eq\o(CB,\s\up6(→))的坐标是4 D．eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))解析：选C.eq\o(CB,\s\up6(→))的坐标为CB＝xB－xC＝1－5＝－4.3．已知向量a＝2e，b＝－e，则a与b________．(填“共线”或“不共线”)答案：共线轴上向量的坐标及长度计算[学生用书P42]已知数轴上四点A、B、C、D的坐标分别是－4、－2、c、d.(1)若AC＝5，求c的值；(2)若|BD|＝8，求d的值；(3)若eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3eq\o(AD,\s\up6(→))，求证：3eq\o(CD,\s\up6(→))＝－4eq\o(AC,\s\up6(→)).【解】(1)因为AC＝5，所以c－(－4)＝5，所以c＝1.(2)因为|BD|＝8，所以|d－(－2)|＝8，即d＋2＝8或d＋2＝－8，所以d＝6或d＝－10.(3)证明：法一：因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝c＋4，eq\o(AD,\s\up6(→))＝d＋4，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3eq\o(AD,\s\up6(→))，所以c＋4＝－3(d＋4)，即c＝－3d－16.这时3eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(d－c)＝3d－3c＝3d－3(－3d－16)＝12d＋48，－4eq\o(AC,\s\up6(→))＝－4[c－(－4)]＝－4c－16＝－4(－3d－16)－16＝12d＋48，所以3eq\o(CD,\s\up6(→))＝－4eq\o(AC,\s\up6(→)).法二：因为eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，而eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝－(－3eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝4eq\o(AD,\s\up6(→))，所以3eq\o(CD,\s\up6(→))＝12eq\o(AD,\s\up6(→))，又－4eq\o(AC,\s\up6(→))＝－4×(－3eq\o(AD,\s\up6(→)))＝12eq\o(AD,\s\up6(→))，故3eq\o(CD,\s\up6(→))＝－4eq\o(AC,\s\up6(→)).eq\a\vs4\al()解答本题时利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特殊要留意向量坐标运算公式的依次，还要留意模运算中可能会出现的两种情形．已知数轴上A、B两点的坐标为x1、x2，求eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BA,\s\up6(→))的坐标和长度．(1)x1＝－8，x2＝5；(2)x1＝3.8，x2＝－1.7.解：(1)因为x1＝－8，x2＝5，所以AB＝5－(－8)＝13，BA＝－8－5＝－13，所以eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标为13，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝13，eq\o(BA,\s\up6(→))的坐标为－13，|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝13.(2)eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标为－5.5，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝5.5，eq\o(BA,\s\up6(→))的坐标为5.5，|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝5.5.平行向量基本定理的应用[学生用书P42]已知非零向量e1，e2不共线．(1)假如eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．【解】(1)证明：因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线．(2)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))所以k＝±1.eq\a\vs4\al()平行向量基本定理的应用(1)推断两个向量是否共线可转化为存在性问题．解决存在性问题通常是假设存在，再依据已知条件找等量关系列方程求解．若有解且与题目条件无冲突则存在，反之则不存在．(2)应用该定理可证明三点共线、两直线平行等几何问题．另一方面当已知两向量共线时应用该定理可以找到有关这两个向量的等量关系，为下一步运算供应一个有利条件．1.已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若a，b共线，则λ等于()A．－9 B．－4C．4 D．9解析：选B.由a，b共线知a＝mb，m∈R，于是2e1－3e2＝m(λe1＋6e2)，即(2－mλ)e1＝(6m＋3)e2.由于e1，e2不共线，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6m＋3＝0，,2－mλ＝0，))所以λ＝－4.故选B.2．设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a－kb，eq\o(CB,\s\up6(→))＝2a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于()A．10 B．－10C．2 D．－2解析：选C.因为A，B，D三点共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))＝λ(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))，所以a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，所以λ＝1，k＝2.用平行向量基本定理证明平面几何问题[学生用书P43]在如图所示的梯形ABCD中，AB∥DC，E、F分别是AD、BC的中点．求证：EF∥AB∥DC.【证明】如图，延长EF到M，使EF＝FM，连接CM，BM，EC，EB，得▱ECMB，由平行四边形法则得eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→)))．由于AB∥DC，所以eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(DC,\s\up6(→))共线且同向，依据平行向量基本定理，存在正实数λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→)).由三角形法则得eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))且eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1＋λ,2)eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→)).由于E、D不共点，所以EF∥DC∥AB.eq\a\vs4\al()应用平行向量基本定理证明直线平行或三点共线时，关键是把一个向量用有关向量线性表示，同时有机地结合向量加减法、数乘、待定系数法确定向量等式b＝λa，再结合图形完成证明．如图，在△ABC中，已知eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).求证：eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→)).证明：因为eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→)).1．证明三点共线的等价命题向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．如图A、B、C三点共线，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，任取直线AC外一点P，则eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))，所以eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(PC,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(PA,\s\up6(→))，由此可推出三点共线的等价命题：A、B、C三点共线等价于eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(PC,\s\up6(→))＋μeq\o(PA,\s\up6(→))(λ、μ∈R且λ＋μ＝1)．2．向量平行与直线平行的区分利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，肯定要留意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区分；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题．在平行向量基本定理中，勿忘条件b≠0；即a∥b且b≠0，则存在唯一实数λ，使a＝λb成立．若b＝0，则λb＝λ0＝0，则λb只能表示零向量了．1．下列命题正确的是()A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B．随意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行解析：选C.由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中探讨的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同始终线上，而此时就构不成四边形，不是平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；假如a与b至少有一个是零向量，而零向量与任一向量都共线，可得a与b共线，这与a与b不共线冲突，所以有a与b都是非零向量，所以应选C.2．已知数轴上两点A、B的坐标分别是－1、－4，则AB与|eq\o(AB,\s\up6(→))|分别是()A．－3，3 B．3，3C．3，－3 D．－6，6解析：选A.AB＝－4－(－1)＝－3，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|－3|＝3.3．已知数轴x上三点A、B、C，且AB＝3，BC＝－4，则AC＝________．解析：AC＝AB＋BC＝3＋(－4)＝－1.答案：－14．若e是a的单位向量，b与e方向相反，且|b|＝3，又|a|＝4，则a＝________b.解析：由题意知b＝－3e，又a＝4e，所以a＝－eq\f(4,3)b.答案：－eq\f(4,3),[学生用书P109(单独成册)])[A基础达标]1．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝i＋2j，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3－x)i＋(4－y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量).eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))共线，则x，y的值可能分别为()A．1，2 B．2，2C．3，2 D．2，4解析：选B.由题意知，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3－x，4－y)．因为eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，所以4－y－2(3－x)＝0，即2x－y－2＝0.只有B选项，x＝2，y＝2代入满意．故选B.2．已知非零向量e1，e2，a＝e1－e2，b＝2e2－2e1，则()A．a与b相等 B．a与b方向相同C．a与b的模相等 D．a与b共线解析：选D.b＝2(e2－e1)＝－2(e1－e2)＝－2a，所以a∥b且方向相反．3．设a，b是两个不共线的非零向量，若8a－kb与－ka＋b共线，则实数k的值为()A．2eq\r(2) B．－2eq\r(2)C．±2eq\r(2) D．8解析：选C.因为8a－kb与－ka＋b共线，故存在唯一的实数λ，使得8a－kb＝λ(－ka＋b)．所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8＝－kλ，,－k＝λ，))解得k＝±2eq\r(2).4．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，则()A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线解析：选A.eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))有公共点B，所以A、B、D三点共线．5．O是平面上的肯定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满意eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))|))＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AC,\s\up6(→))|))))，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹肯定过△ABC的()A．内心 B．外心C．重心 D．垂心解析：选A.如图，因为eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up6(→))|))是向量eq\o(AB,\s\up6(→))的单位向量，设eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))方向上的单位向量分别为e1和e2，又eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，则原式可化为eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(e1＋e2)，由菱形的基本性质知AP平分∠BAC，那么在△ABC中，AP平分∠BAC.6．已知数轴上A、B两点的坐标分别为x1、x2，且x1＝3，|BA|＝5，则x2＝________．解析：|BA|＝|x2－x1|＝|x2－3|＝5.所以x2＝8或－2.答案：8或－27．下面给出三个命题：①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；②向量a与b共线，则存在唯一实数λ，使a＝λb；③若a＝λb，则a与b共线．其中真命题的序号为________．解析：①a与b所在的直线有可能是同一条直线，所以此命题错误；②若b＝0，则λb＝0，所以λ可取随意实数，所以此命题错误；③正确．答案：③8．关于向量a，b有①a＝2e，b＝－2e；②a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2；③a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.(其中e1，e2不共线)其中a与b共线的有________(填上全部正确的序号)．解析：①中a＝－b，所以a∥b；②中a＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1－\f(1,10)e2))＝4b，所以a∥b；③中不存在实数λ，使a＝λb，所以a与b不共线．答案：①②9．已知a＝－2c，b＝2c，求证：a∥b.证明：①当c＝0时，则a＝－2c＝0.由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，所以此时a与b共线．②当c≠0时，则a＝－2c≠0，b＝2c≠0，所以b＝－a(这时满意定理中的a≠0，及有且只有一个实数λ＝－1，使得b＝λa成立)．所以a与b共线．综合①②可知，a与b共线，即a∥b.10．已知O，A，M，B为平面上四点，且eq\o(OM,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))(λ∈R，λ≠1，λ≠0)．(1)求证：A，B，M三点共线．(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．解：(1)证明：因为eq\o(OM,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(OM,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))－λeq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))－λeq\o(OA,\s\up6(→))，即eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，又λ∈R，λ≠1，λ≠0且eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))有公共点A，所以A，B，M三点共线．(2)由第一问知eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，若点B在线段AM上，则eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))同向且|eq\o(AM,\s\up6(→))|>|eq\o(AB,\s\up6(→))|(如图所示)，所以λ>1.[B实力提升]11．设a，b不共线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋kb，eq\o(AC,\s\up6(→))＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有()A．k＝m B．km－1＝0C．km＋1＝0 D．k＋m＝0解析：选B.若A，B，C三点共线，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线，所以存在唯一实数λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λm＝1，,λ＝k，))所以km＝1，