高中数学 选择性必修第一册 空间向量的基本定理 教学设计

高中数学（人教A2019）选择性必修第一册1.2空间向量的基本定理一、教学内容1.了解空间向量基本定理及其意义；2.用空间向量的基本定理解决立体几何中的有关问题。二、教学目标1、了解空间向量基本定理及其意义.2、会用基底表示空间向量3、掌握空间向量的正交分解．4、掌握用基向量解决立体几何中简单问题的通法三、教学重点与难点教学重点：掌握空间向量基本定理教学难点：用空间向量基本定理解决有关问题.四、教学过程设计（一）知识回顾apb我们知道，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量apbp=p=xa+yb其中，（x,y）为唯一的实数对，{a,b}为平面内的一个基底（二）新课讲授kOPkOP图1.2-1Qpji类似的，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a,b,c来表示呢？我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论。如图1.2-1，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O。对于任意一个空间向量p=OP,设OQ为OPOP=OQ+QP，又向量QP，k共线，因此存在唯一的实数z,使得QP=z定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x,y,z）,使得p而在i,j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序数对（x,y）使得OQ=xi+从而OP=OQ思考：ADCBA1B1ADCBA1B1C1D1abcpabcα能得出类似的结论吗？提示：能。如图，平移向量a,b,c，p使它们共起点，在向量a,b,c方向上作平行六面体，以p为体对角线，通过空间向量的线性运算可得p探究基底、基向量、正交基底概念探究2你能证明有序数组(x,y,z)的唯一性吗？提示：假设除(x,y,z)外，还存在另一组实数（x′,使得p=x′x′不妨设x≠x′，得a=由平面向量基本定理知，向量a,b,c共面，这与已知矛盾，故（x,y,z）是唯一的．间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x,y,z）,使得p（1）如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{pp=xa+yb+zc，x,y,z∈R}.这个集合可看作由向量a,b,c生成的，我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底(base)，a特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i,探究3空间中怎样的向量能构成基底？提示：空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．探究4基底与基向量的概念有什么不同？提示：基底是指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．探究5零向量可作为基向量吗？提示：不可以，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以零探究6空间的基底唯一吗？提示：不唯一，只要是三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底，因此空间探究7类比平面向量基本定理，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,那么这个基底叫什么？提示：叫做正交基底.探究8如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫什么？提示：叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示．且由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可分解为三个向量x向量基本定理的应用PACBONM图1.2-2例1如图1.2-2，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且PACBONM图1.2-2分析：OA，OB，OC是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底{OA，OB解：OP本题小结：结合向量的线性运算法则，空间中任意向量可以被同一个基底所表示！小结1.由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个向量表示出来。进一步地，所有空间向量的运算都可以转化为基向量间的运算。2.由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个向量表示出来。进一步地，所有空间向量的运算都可以转化为基向量间的运算。例2如图1.2-3，在平行六面体ABCD−A1B∠DAB=60°，∠BAA1=60°，∠DAA1=60°，ABCDABCDMNB1A1C1D1图1.2-3分析：要证MN⊥AC1，一个基底，把MN和AC1分别用基底表示，然后计算证明：设AB=a，AD=b，AA1=c,这三个向量不共面，{a,b,c}构成空间的一个基底，我们用它们表示MNA所以MN∙AC1==1=1−所以MN⊥AC题小结：用基向量解决立体几何垂直问题：1.定基底2.用基底表示所给的向量3.用a·b＝0⇔a⊥bCABDEFG图1.2-4例3CABDEFG图1.2-4（1）求证：EF//AC;(2)求CE与AG所成角的余弦值。分析：（1）要证EF//AC，只需证EF与AC共线。设DA=i，DC=j，DD′=k,则{i，j，k}空间的一个单位正交基底，把EF和（1）证明：设DA=i，DC=j，DD′EF=D′F−D′E=1所以EFCA所以EF//AC小结：用基向量解决立体几何平行问题：1.定基底2.用基底表示所给的向量3.用a＝λb⇔a//b，（2）解：因为CE=CC′+C′E=−12j所以所以CE与AG所成角的余弦值为2本题小结：用基向量解决立体几何夹角问题1.定基底2.用基底表示所给的向量3.用向量夹角公式求值（角度）（四）课堂小结：（通过思维导图归纳小结）1.用平面向量基本定理类比空间向量基本定理（基底、正交基底、正交分解）1.用平面向量基本定理类比空间向量基本定理（基底、正交基底、正交分解）2.用基向量解决立体几何中的线线平行，垂直，角的简单问题的通法2.用基向量解决立体几何中的线线平行，垂直，角的简单问题的通法立体几何立体几何定相同的基底向量向量的解立体几何的解用|a|＝a∙用a＝λb⇔a//用a·b＝0⇔a⊥b，用cosθ=五、课后作业1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{a，b，c(2)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则(3)若a，b是两个不共线的向量，且c＝λ答案(1)√(2)√(3)×解(1)√{a，b，c}为空间一个基底，则(2)√由共面定理知(2)正确．(3)×由c＝2.已知四面体ABCD，＝，＝，＝，点M在棱DA上，＝3，N为BC中点，则＝（）A． B．C． D．解：连接DN，如图所示，四面体ABCD中，＝，＝，＝，点M在棱DA上，且＝3，∴，又N为BC中点，∴；∴．故选C.3.如图，在长方体中，是线段上一点，且，若，则（）A． B． C． D．1【答案】A【解析】，，，.故选A.4.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】∵，，∴，