北师大版数学八年级下册第三次月考试卷及答案

第第页北师大版数学八年级下册第三次月考试题一、单选题1．在下列英文大写正体字母中，是中心对称图形的选项是()A．V B．W C．X D．Y2．下列不等式变形正确的是()A．由a＞b，得a+1＜b+1 B．由a>b，得−3a<−3bC．由a＞b，得2a<2b D．由a>b，得2a−3<2b−33．下列各式，从左到右的变形是因式分解的是()A．a(x+y)=ax+ay B．2C．x2+4x+4=x(x+4)+4 4．下列命题正确的是()A．在同一平面内，可以把半径相等的两个圆中的一个看成是由另一个平移得到的.B．两个全等的图形之间必有平移关系.C．三角形经过旋转，对应线段平行且相等.D．将一个封闭图形旋转，旋转中心只能在图形内部.5．若分式x−1x−2A．一切实数 B．x≠1 C．x≠2 D．x≠1且x≠26．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中()A．有两个角是直角 B．有另个角是钝角C．有两个角是锐角 D．三个角都是直角7．如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A(1，0)，B(2，1)，当因变量y>0时，自变量x的取值范围是()A．x<0 B．x<0 C．x>1 D．x<18．下列分式从左到右的变形正确的是()A．xy=x+2C．x−2x=9．如图，在△ABC中，AB边垂直平分线MD交BC于点D，AC边垂直平分线EN交BC于点E，连接AD，AE，若∠BAC＝110°，则∠DAE的度数为()A．70° B．55° C．45° D．40°10．已知关于x的不等式组x+3>m2x<mA．m>6 B．m≥6 C．m<6 D．m≤6二、填空题11．在等腰△ABC中，AB=AC，若∠A=80°，则∠C的度数为_______.12．若关于x的不等式组x>mx−n<2的解集为1<x<313．若是一个完全平方式，则k=_______.14．如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=5cm，AB=12cm，则图中4个小直角三角形周长的和为_______cm.15．若多项式的一个因式是，则k的值为_________.16．已知关于x的不等式组x≤a2x−3>117．如图，△ABC的周长为12，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作OD⊥BC于点D，OD=3，则△ABC的面积为_______.18．阅读材料：分离整数法就是将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．如：①x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1；②19．如图，Rt△ABC中，AB=AC=8，BO=14三、解答题(1)解不等式：x+52−1<因式分解：2ax2(3)计算：6xy21．如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别是A(-3，4)，B(-2，1)，C(-4，2).(1)将△ABC先向右平移7个单位长度，再向上平移2个单位长度，画出第二次平移后的△A1(2)以点O(0,0)为对称中心，画出与△ABC成中心对称的△A2(3)将点B绕坐标原点逆时针方向旋转90°至点B3，则点B3的坐标为(______，22．先化简，再求值：x2−2xx23．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的中垂线DE交于点E，过点E作AC边的垂线，垂足为N，过点E作AB延长线的垂线，垂足为M.(1)求证：BM=CN；(2)若，AB=2，AC=8，求BM的长.24．某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示：商场优惠条件甲商场第一台按原价收费，其余每台优惠25%乙商场每台优惠20%(1)分别写出甲、乙两商场的收费y(元)与所买电脑台数x之间的关系式；(2)什么情况下到甲、乙两商场购买更优惠？什么情况下两家商场的收费相同？25．如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，AD为BC边上的高，点P从点B以每秒3个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，其中一个点到达终点时，两点同时停止.(1)求BC的长；(2)设△PDQ的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)在动点P、Q的运动过程中，是否存在PD=PQ，若存在，求出△PDQ的周长，若不存在，请说明理由.26．为了全面推进素质教育，增强学生体质，丰富校园文化生活，高新区某校将举行春季特色运动会，需购买A，B两种奖品.经市场调查，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元．(1)求A、B两种奖品的单价各是多少元；(2)运动会组委会计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1160元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，运动会组委会共有几种购买方案？(3)在第(2)问的条件下，设计出购买奖品总费用最少的方案,并求出最小总费用.27．在△OAB中，OA=OB，∠AOB=30°，将△OAB绕点O顺时针旋β°(30<β<150)转至△OCD，点A、B的对应点分别为C、D，连接BD、AC，线段BD与线段AC交于点M，连接OM.(1)如图，求证AC=BD；(2)如图，求证OM平分∠AMD；(3)如图，若β=90，AO=23参考答案1．C【解析】【分析】根据中心对称图形的概念作答．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个旋转点，就叫做中心对称点．【详解】解：V、W、Y不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，不满足中心对称图形的定义．不符合题意；

X是中心对称图形，符合题意.故选：C.【点睛】本题考查中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．B【解析】【分析】根据不等式的性质1，可判断A，根据不等式的性质3，可判断B，根据不等式的性质2，可判断C，根据不等式的性质2、1，可判断D．【详解】解：A、不等式的两边都加1，不等号的方向不变，故A错误；

B、不等式的两边都乘以-3，不等号的方向改变，故B正确；

C、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故C错误；

D、不等式的两边都乘以2，再减去3，不等号的方向不变，故D错误；

故选：B．【点睛】本题考查不等式的性质，注意不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．3．B【解析】【分析】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．【详解】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；B、是利用提公因式进行因式分解，正确；C、右边不是整式的积的形式，错误；D、x2故选：B.【点睛】本题考查了对因式分解的定义的应用，主要考查学生对定义的理解能力和辨析能力．4．A【解析】【分析】根据平移的性质：平移后图形的大小、方向、形状均不发生改变结合选项即可得出答案．【详解】解：A、经过旋转后的图形两个图形的大小和形状也不变，半径相等的两个圆是等圆，圆还具有旋转不变性，故本选项正确；B、两个全等的图形位置关系不明确，不能准确判定是否具有平移关系，错误；C、三角形经过旋转，对应线段相等但不一定平行，所以本选项错误；D、旋转中心可能在图形内部，也可能在图形边上或者图形外面，所以本选项错误.故选：A.【点睛】本题考查平移、旋转的基本性质，注意掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．5．C【解析】【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．【详解】解：∵分式x−1x−2∴x-2≠0，

解得：x≠2．

故选：C．【点睛】本题考查分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．6．A【解析】【分析】根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可．【详解】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．故选：A．【点睛】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．7．C【解析】【分析】根据一次函数与x轴的交点坐标（1，0），结合图象即可得出答案．【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过A（1，0），

∴当y>0时，自变量x的取值范围是x>1，

故选：C．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力．8．D【解析】【分析】根据分式的基本性质逐项判断．【详解】解：A、当y=-2时，该等式不成立，故本选项错误；B、当x=-1，y=1时，该等式不成立，故本选项错误；C.x−2D、正确.故选：D.【点睛】本题考查分式的基本性质，属于基础题型，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变．9．D【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA，EC=EA，根据等腰三角形的性质解答即可.【详解】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，

∴DB=DA，EC=EA，

∵∠BAC=110°，

∴∠B+∠C=70°，

∵DB=DA，EC=EA，

∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，

∴∠DAB+∠EAC=70°，

∴∠DAE=110°-70°=40°.故选D.【点睛】本题考查三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．10．C【解析】【分析】根据不等式有解，可得关于m的不等式，根据解不等式，可得答案．【详解】解：解不等式组x+3>m①2x<m②解①得：x＞m-3，

解②得：x＜m2，

根据题意得：m-3<m2，解得：m<6【点睛】本题考查一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．11．50°．【解析】【分析】根据等腰三角形性质即可直接得出答案．【详解】解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠A=80°，

∴∠C=(180°-80°)÷2=50°．

故答案为：50°．【点睛】本题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．12．2.【解析】【分析】分别求得两个不等式的解集（含m、n的式子表示），然后根据不等式组的解集为1＜x＜3得到关于m、n的二元一次方程组，可求得m、n的值，最后即可求得代数式（m+n）的值．【详解】解：x>m①解不等式①得：x>m解不等式②得：x<2+n∵不等式组的解集为1＜x＜3，

∴m=12+n=3解得：m＝1n＝1∴m+n=2.故答案为：2.【点睛】本题是一道综合性的题目．考查了不等式组和二元一次方程组的解法，将不等式组问题转化为方程组问题是解题的关键．13．±6．【解析】试题分析：∵多项式是一个完全平方式，∴．故答案为±6．考点：完全平方式．14．30.【解析】【分析】由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部四个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．【详解】解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部四个小直角三角形的周长为AC+BC+AB，

∵AC=AB∴四个小直角三角形的周长之和=AC+BC+AB=30．故答案为：30.【点睛】主要考查勾股定理的知识和平移的性质，难度适中，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．15．2.【解析】【分析】设另一个因式为x+n，得x2-3x+k=（x-2）（x+n），则x2-3x+k=x2+（n-2）x-2n，据此求出k、n的值各是多少，并把多项式x2-3x+k分解因式即可．【详解】解：设另一个因式为x+n，得x2-3x+k=（x-2）（x+n），则x2-3x+k=x2+（n-2）x-2n，∴解得：n=-1，k=2，

∴另一个因式为x+1，故答案为2.【点睛】此题主要考查因式分解的意义和应用，以及多项式乘多项式的方法，要熟练掌握．16．5≤a＜6．【解析】【分析】首先解每个不等式，根据不等式组只有三个整数解，确定整数解的值，进而求得a的范围．【详解】解：x≤a①2x−3>1②解②得x>2,不等式组的解集是:2＜x≤a．

∵不等式组只有3个整数解，

∴整数解是3，4，5．则5≤a＜6．

故答案是：5≤a＜6．【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的整数解，根据x的取值范围，得出x的整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．17．18．【解析】试题分析：如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OD=OF=3，∴△ABC的面积=×12×3=18．故答案为18．考点：角平分线的性质．18．2或0或3或-1．【解析】【分析】将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，再根据分式值为整数，即可得到x的整数值．【详解】解：∵3x−4x−2=3x−6+2x−2=又∵3x−4x−2的值为整数，且x为整数；

∴x-1为2的约数，

∴x-1的值为1或-1或2或-2；

故答案为：2或0或3或-1．【点睛】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．19．8+410.【解析】【分析】过点O作OB′⊥AB于点O，交BC于点B′，连接B′N并延长交AB于点E，易证△BOM≌△B′ON（SAS），∴点N始终在经过点B′且与BC垂直的射线上，因为△CAN周长=CA+AN+CN=8+AN+CN，所以AN+CN值最小时，周长最小，属于最短路径问题，关键找点C关于B′E的对称点C′，连接AC′，与B′E的交点N′即为周长最小时的点N，此时AN+CN=AC′，求出AC′的值即可求出周长最小值.【详解】解：过点O作OB′⊥AB于点O，交BC于点B′，连接B′N并延长交AB于点E，∵Rt△ABC中，AB=AC，∴∠OBB′=45°=∠OB′B，OB=OB′又∵∠BOB′=∠MON=90°∴∠BOM=∠B′ON∴△BOM≌△B′ON（SAS）∴∠OBB′=45°=∠OB′N，即∠BB′N=90°，OB′=OB=2，BB′=22，∴点N始终在经过点B′且与BC垂直的射线上，易证△BB′E是等腰直角三角形，BE=4，即BE=AE，∵△CAN周长=CA+AN+CN=8+AN+CN∴AN+CN值最小时，周长最小，属于最短路径问题，∴找点C关于B′E的对称点C′，连接AC′，与B′E的交点N′即为周长最小时的点N，此时AN+CN=AC′，等腰直角三角形△BB′E中，由勾股定理得BB′=22，等腰直角三角形△ABC中，BC=82由三线合一得：BD=DC=AD=12BC=42∴B′C=BC-BB′=82-22=62，由对称性得：B′C=B′C′=62，∴C′D=122-42=82，即：Rt△AC′D中，AC′=AD2+C′D∴△CAN周长的最小值=8+AN+CN=8+410.【点睛】本题属于最短路径问题，解题关键是找出点N的运动路径和三角形周长最小时点N的位置，解题关键是熟练运用勾股定理、轴对称.20．(1)x>7;(2)2a(x+2)(x-2);(3)3x2.【解析】【分析】（1）原不等式去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1即可解答.（2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式；（3）根据分式的乘除运算法则进行计算.【详解】解：（1）去分母，得：3（x+5）-6<2(2x+1)去括号，得：3x+15-6<4x+2移项、合并同类项，得：x>7;（2）2ax2−8a(3)6xy2÷2y2x【点睛】本题考查解不等式、因式分解、分式的乘除运算，解题关键是运用法则和注意顺序.21．(1)图形见解析；（2）图形见解析；（3）点B3见解析，B3的坐标为：（-1，-2）．【解析】【分析】(1)（1）根据△ABC先向右平移7个单位长度，再向上平移2个单位长度，得出对应点坐标进而得出答案；

（2）根据△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，得出对应点坐标进而得出答案；（3）根据点B绕坐标原点逆时针旋转90°后所得的图形B3，得出对应点坐标进而得出答案．【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2为所求；（3）如图所示：点B3即为所求，B3的坐标为：（-1，-2）．【点睛】此题主要考查了图形的旋转以及平移和关于原点对称，根据题意得出对应点坐标是解题关键．22．x−3x+2；-2【解析】【分析】先解不等式组，找出其中的整数解，然后将分式除法变成乘法，分子分母因式分解再约分；将不等式的符合题意的整数解代入求值即可．【详解】解：解不等式组x>−1x−1∵x为整数，

∴x=0，1，2，3.x=x（x−2)=x−3又∵分式有意义，

∴x=1时，原式=-2【点睛】本题考查了分式的化简求值，取合适的数代入求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义．如果取x=0，则原式没有意义，因此，尽管0是大家的所喜爱的数，但在本题中却是不允许的．23．(1)证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）因为ED是BC的垂直平分线，那么BE=CE，而AE是∠BAC的平分线，EM⊥AB，EN⊥AC，根据角平分线的性质可得EM=EN，再根据HL可判定Rt△BME≌Rt△CNE，从而有BM=CN．（2）同（1）中方法证明Rt△AME≌Rt△ANE（HL），可得：AM=AN，又因为AM=AB+BM,AN=AC-CN，即可解答.【详解】证明：连接BE，CE，如图，∴DE是BC的垂直平分线，

∴BE=CE，

∵AE是∠BAC的平分线，EM⊥AB，EN⊥AC，

∴EM=EN，

在Rt△BME和Rt△CNE中，BE＝CEEM＝EN∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL），

∴BM=CN(2)由（1）得：EM=EN，在Rt△AME和Rt△ANE中，AE＝AEEM＝EN∴Rt△AME≌Rt△ANE（HL），

∴AM=AN，又∵AM=AB+BM,AN=AC-CN∴AB+BM=AC-CN∴2+BM=8-CN,又∵BM=CN∴BM=CN=3【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的定义以及性质，掌握角平分线的性质以及具体的应用．24．当购买电脑小于5台时，在乙商场购买比较优惠，当购买电脑大于5台时，在甲商场购买比较优惠，当购买电脑5台时，两家商场收费相同．【解析】分析：（1）根据题意可以列出相应的函数关系式；（2）根据（1）中的函数关系式可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．详解：（1）由题意可得，甲商场的收费y（元）与所买电脑台数x之间的关系式是：y=6000+6000（x-1）（1-25%）=4500x+1500，乙商场的收费y（元）与所买电脑台数x之间的关系式是：y=6000x（1-20%）=4800x，即甲商场的收费y（元）与所买电脑台数x之间的关系式是：y=4500x+1500，乙商场的收费y（元）与所买电脑台数x之间的关系式是：y=4800x；（2）令4500x+1500＞4800x，得x＜5，4500x+1500＜4800x，得x＞5，4500x+1500=4800x，得x=5，答：当购买电脑小于5台时，在乙商场购买比较优惠，当购买电脑大于5台时，在甲商场购买比较优惠，当购买电脑5台时，两家商场收费相同．点睛：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．25．(1)43;(2)①S△PDQ=-34t2+32t(0≤t≤2);②S△PDQ=32t-34t【解析】【分析】(1)根据等腰三角形性质三线合一和含30°锐角的直角三角形的性质即可解答；（2）分当点P在线段BD上运动和当点P在线段DC上运动，过点Q作QM⊥BC于点M，用含时间t的代数式分别表示出PD=BD-BP=23-3t或者PD=BP-BD=3t-23，、QM12CQ=1用含t的式子分别表示出Rt△PMQ的三边，由勾股定理得QM2+MP2=QP2，解得t=3后得到△DPQ是等边三角形，边长为3，从而求出周长.【详解】解：（1）△ABC中，∵AB=AC=4，∠BAC=120°，AD⊥BC，∴∠B=∠C=30°，BD=DC∴AD=12AB=2，由勾股定理得：BD=DC=23∴BC=2BD=43;（2）过点Q作QM⊥BC于点M，∵CQ=t，∠C=30°，BP=3t∴QM=12CQ=1①当点P在线段BD上运动时，即0≤t≤2，如图：PD=BD-BP=23-3t∴S△PDQ=12×PD×QM=12×（23-3t）×12t=-34t②当点P在线段DC上运动时，即2<t≤4，如图：PD=BP-BD=3t-23，方法同①得：S△PDQ=12×PD×QM=12×（3t-23）×12t=32t-（3）当点P在BD上运动时，∠BDQ>90°，PD≠PQ，所以若PD=PQ=3t-23，则PD=PQ如（2）②中图形，此时PD=PQ=3t-23，PC=BC-BP=43-3t，MC=CQ2−MQ2=32t，MP=MC-PC=32t-(43Rt△PMQ中，∵QM2+MP2=QP2∴（12t）2+（332t-43）2=（3t-23化简得：t2-6t+9=0，即（t-3）2=9，∵t>0解得t=3，即PD=PQ=3t-23=33-23=3=PC，又∵∠C=30°，∴∠C=∠PQC=30°，∠DPQ=∠C+∠PQC=60°，即△DPQ是等边三角形，∴△DPQ的周长=3PD=33.【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、分类讨论思想，解题关键是熟练掌握三线合一和勾股定理.26．（1）A奖品的单价是10元/件，B奖品的单价是15元/件；（2）共有8种购买方案；（3）购买总费用最少的方案是购买A奖品75件、B奖品25件，最小费用为1125元．【解析】【分析】（1）设A奖品的单价是x元/件，B奖品的单价是y元/件，根据“若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购买A种奖品m件，购买总费用W元，则购买B种奖品（100-m）件，根据总价=单价×购买数量，即可得出W关于m的函数关系式，再根据购买费用不超过1160元且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，即可求出购买方案；（3）在（2）的基础上，利用一次函数的增减性质即可解决最值问题．【详解】解：（1）设A奖品的单价是x元/件，B奖品的单价是y元/件，

根据题意，得：3x+2y＝60x+3y＝55解得：x＝10y＝15答：A奖品的单价是10元/件，B奖品的单价是15元/件．

（2）设购买A种奖品m件，购买总费用W元，则购买B种奖品（100-m）件，

根据题意，得：W=10m+15（100-m）=-5m+1500．

∵购买费用不超过1160元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，∴−5m+1500≤1160m≤3解得：68≤m≤75，

∴W=-5m+1500（68≤m≤75）．∵m为正整数，∴m=68、69、70、71、72、73、74、75，即共有8种购买方案；（3）由（2）得：W=-5m+1500（68≤m≤75）．∵k=-5＜0，

∴W随m的增大而减