2024-2025学年人教版八年级数学上册夹角模型专项突破

夹角模型专项突破

突破21夹角模型（一）双内角平分线

类型一三角形两内角平分线

1.如图.BE,CF是AABC的角平分线,/A=4（T,BE,CF相交于点D厕/CDE的度数是（

A.1000

2.在AABC中,NB,NC的平分线相交于点O,NBOC=150。,则NA的度数为.

类型二三角形三内角平分线

3.如图.已知P为AABC三条内角平分线AD,BE,CF的交点,DGJ_PC于点G，则下列选项中的角一定

与/PDG相等的是（）

A.ZABEB.ZDACC.ZBCFD.ZCPE

类型三三角形两内角的三等分线

4.如图，在AABC中，NABC,NACB的三等分线交于点E,D,若/BEC=120。,则NBDC的度数

为.

D

B-C

类型四四边形一组对角的角平分线

5.如图，在四边形ABCD中,NA=/C=9(r,BE平分NABC,交AD于点E,DF平分NADC,BE,CD的延长

线交于点G.

(1)ZABC+ZADC的度数是______________;

(2)求证:/G=/CDF./

6.如图，在四边形ABCD中,NABC与/ADC互补,/DAB和/BCD的平分线交于点O设/ABC=x。,

则/AOC的度数用x的代数式表示为.

类型五多边形一组邻角的角平分线

7.如图，在六边形ABCDEF中,NA+NF+/E+ND=a,NABC的平分线与NBCD的平分线交于点P,则N

P度数为()

111

A.—cc—180艮360。-)C.180°--aD.-a-360

222

BC

突破22夹角模型（二）双外角平分线

类型一双外角平分线

1.如图在AABC中,BO,CO分别是/ABC和/ACB的外角平分线,/A+/O=130。,则/A的度数为

)

A.500B.60°C.70°D.80°

类型二双外角平分线十单内角平分线

2.如图，在AABC中,NABC=NACB,AD,BD,CD分别平分AABC的外角/EAC,内角/ABC,外角NACF,

以下结论:①AD〃BC;②/ACB=2ZADB;③ZADC=90°-NABD;circle^BDC=|Z-BAC.其中正确的是

)

A.①②③B.①②④C.①②③④D.②③④

类型三双外角平分线+双内角平分线

3.如图，在AABC中,BD,CD分别平分/ABC,/ACB,BG,CG分别平分三角形的两个外角/EBC,NFCB,

则/D和/G的数量关系为()

1

A.Z.D=-^GB.ZD+ZG=180°

2

C.2LD+-Z,G=90°DND=90°+-ZG

22

F

Et

G

突破23夹角模型（三）内外角平分线

类型一三角形的内外角平分线

1.如图,BP是AABC的角平分线,CP是AABC的外角NACM的平分线，若/ABP=2（r,/ACP=50。厕/

A+ZP=()

A.70°B.80°C.90°D.100°

类型二多重三角形的内外角平分线

2.如图，在AABC中，分别是内角/CAB,外角NCBD的三等分线，且/-E±AD=

之4CAB,乙EiBD=W乙CBD,在LABE^,4&,B私分另！I是内角.NEMB,夕卜角.NE/D的三等分线，且.

4为4。…以此规律下去,若/C=m,贝！J./E□的度数为_______________.

类型三四边形的内外角平分线

3.如图,DF为四边形ACDB外角/BDE的平分线,CF平分/ACD,若NA=140o,NB=ll（rJJU/CFD的

度数是______________.

4.如图在四边形ABCD中,/A=x,/C=y,/ABC的平分线与/ADC的外角平分线交于点Q则/Q的

度数是..（用含x,y的代数式表示）.

AD

C

B

突破24夹角模型(四)高与角平分线

类型一共顶点的高与角平分线

L如图在AABC中,NA=35o,NB=75o,CD是AB边上的高,CE是AABC的角平分线,DFLCE于点F.

⑴求/ECB的度数;

(2)求/CDF的度数.

类型二不共顶点的高与角平分线

2.如图，在AABC中.BE是AC边上的高,AD是AABC的角平分线,AD交BE于点F,ZABC=54°,Z

C=76。,求/EFD的度数.

3.如图1,在AABC中,CD是AB边上的高,/A=/DCB.

⑴试说明:NACB=90。；

(2)如图2,如果AE是角平分线,AE,CD相交于点F.那么/CFE与/CEF的大小相等吗?请说明理由.

图1图2

类型三角平分线+垂线

4.如图，在AABC中,AD平分NBAC,P为AD延长线上一点,PELBC于点E,NACB=7(T,NB=24。,求/

P的度数.

5.⑴如图1,在AABC中,AD平分NBAC,P为线段AD上的一点，过点P作PEXAD于点P交直线

BC于点E,当/B=5(T,NBCA=70。时,/PED的度数为;

(2)如图2,AD平分AABC的外角NCAF,P是AD上一点PFLAD交BA的延长线于点F,交AC的

延长线于点G,若NB=a,/BCA=|3,求NPED的度数(用含有a,p的式子表示).

图1图2

6.如图,AE是AABC的角平分线,CDLAE,垂足为F,与AB交于点D.

⑴如图1,若/BAC=8(T,NB=30。,求/BCD的度数;

⑵如图2,点G在线段BC上，且/BDG=/BAC.求证:NGDC与/CAE互余

图1图2

突破21夹角模型（一）双内角平分线

1.D解:；NA=40。,

ZABC+ZACB=180°-ZA=140°.

VBE,CF是AABC的角平分线，

•••乙EBC=-Z.ABC,

2

乙FCB=-^ACB,

2

：./-CDE=Z.EBC+乙FCB=(N4BC+N4CB)=]X140°=70。.故选D.

2.120°解：：ZBOC=150°,.\ZOBC+ZOCB=180°—150°=30°.

VZABC与/ACB的平分线相交于点O,

ZABC=2ZOBC,ZACB=2ZOCB,

ZABC+ZACB=2(ZOBC+ZOCB)=60°,

•,.ZBAC=180o-60o=120°.

3.A解:：AD,BE,CF是AABC三条内角平分线，

•••乙ABE=-^.ABC,

2

1

Z-ACP=^ACBf

i

JNABE+NCAD+NACP=^(ZABC+ZBAC+ZACB)=90°.

NDPG=NCAD+NACP,

ZABE+ZDPG=90°.

VDGXPC,

・•・ZPGD=90°,

・•・ZPDG+ZDPG=90°,

NABE=NPDG.故选A.

4.150°解在"EC中，

VZBEC=120°,

・•・ZEBC+ZECB=60°.

VZABC,ZACB的三等分线交于点E,D,

•.ADBC=二乙EBC,乙DCB=-^LECB,

..乙DBC+乙DCB=-x60°=30°,

2

ZBDC=180。一(/DBC+NDCB)=150。.故答案为150°.

5>:(l)VZA+ZABC+ZC+ZADC=360o,ZA=ZC=90°,.".ZABC+ZADC=180°;

(2)VBE平分/ABC,

•••乙EBC=/ABC.

2

•・・ZC=90°,

.*.ZEBC+ZG=90°.

VDF平分NADC,

..2CDF=-^ADC.

2

VZABC+ZADC=180°,

：.-^ABC+-^LADC=90",

22

JZEBC+ZCDF=90°,

・•・ZG=ZCDF.

6.(270-x)。解：/BAD与/BCD的平分线交于点O,

•••ABAO=-^BAD,

2

ZBCO=-ZBCD.

2

VZABC与NADC互未卜,NABC=x。，

JZADC=(180-x)°.

ZB+ZDAB+ZD+ZDCB=360°,

ZDAB+ZDCB=360°—x°-(l80-x)°=180°,

・•・乙OAB+AOCB=工x180°=90°,

2

ZAOC=360°—ZABC—(ZOAB+ZOCB)=360o-x°-90o=(270-x)°.

7.A解:：ZA+ZABC+ZBCD+ZD+ZE+ZF=(6-2)x180°=720°,

ZA+ZF+ZE+ZD=a,

ZABC+ZBCD=720°-a.

VZABC的平分线与/BCD的平分线交于点P,

•••Z.PBC+APCB=|(720。-a)=360。-:a.

ZP+ZPBC+ZPCB=180°,

zP=180°-(360。一号a)=称8180。,故选A.

突破22夹角模型(二)双外角平分线

1.D解:依题意，得/1=N2=?/ACB+/A),/3=/4=XN4BC+N4),

•••Z2+Z3=^^ABC+/-ACB+Z4)+|z4=90°+|z4,

••.NO=180°-(90。+*)=90。-2.

ZA+ZO=130°,

.••NA+90°--z.A=130°,

2

，NA=80°.故选D.

2.C解:NEAC=/ABC+NACB=2NACB.

：AD平分NEAC,

•••^.EAD=jzFAC=^ABC,

；.AD〃:BC,故①正确；

VAD/7BC,

.*.ZADB=ZDBC.

VBD平分/ABC,

NABC=2/DBC=2/ADB=/ACB,故②正确；

设NABD=a,则/ABC=NACB=2a,NDAC=/ACB=2a,NACF=180°-2a,

ZACD=90°=a,/ADC=NDCF=/ACD=90。一a=90。一/ABD,故③正确；

BD平分ZABC,CD平分NACF,

.•"DC=|NBAC,故④正确，故选C.

3.B解:：BD,CD分别平分NABC,NACB,

11

・•・乙DBC=^ABC,乙DCB=^ACB.

VBG,CG分别平分三角形的两个外角/EBC,/FCB,

..^GBC=-^EBC,

2

1

乙GCB=：乙FCB,

ZDBG=ZDBC+ZGBC=^ABC+ZEBC)=90°.

同理可得NDCG=90。，

・・・ND+NG=180。.故选B.

突破23夹角模型(三)内外角平分线

1.C解:TBP是AABC中NABC的平分线,CP是NACM的平分线,二NABC=2NABP=4()o,NACM=2

ZACP=100°,

JZA=ZACM-ZABC=60°,ZACB=180°-ZACM=80°,

AZBCP=ZACB+ZACP=130°.

ZPBC=20°,

JZP=180°-ZPBC-ZBCP=30°,

・・・NA+NP=90。.故选C.

2.坦3解：乙Ei=AE^BD-AErAD=|Z.CBD一|"AB=^C=|m.

同理可得=卷•••出==奈

3.35°解:延长CA,DB交于点G.

,/ZCAB=140°,ZABD=110°,

ZGAB=40°,ZGBA=70°,

ZG=180°—ZGAB-ZGBA=70°,

.,.ZGDE-ZGCE=70°.

•••CF,DF分别平分ZACE,ZGDE,

•••LFCD=jzGCE,乙FDE=

*.•ZF=ZFDE-ZFCE,

ZF=-乙GCE)=^x70°=35°.

4.90。+-y)解:设BQ与AD交于点N.由题意彳导NDNQ==1800-x-

zQDAf=|(180。-乙4OC),

.,.ZQ=180°-ZDNQ-ZQDN=180°-(1800-x-^ABC)-|(180。-N40C)=x+

+Z4DC)-90°=x+180。-总+y)-90°=90°+^(x-y).

突破24夹角模型(四)高与角平分线

1.解:⑴；在AABC中,ZA=35°,ZB=75°,

ZACB=180°-ZA-ZB=180o-35°-75o=70°.

又：CE是/ACB的平分线，

•••乙ECB=-4ACB=-x70°=35。；

22

(2)VCD±BD,ZB=75°,

JZBCD=90o-ZB=90°-75o=15°,

JZDCF=ZECB-ZBCD=35°-15°=20°.

VDFXCE于点F,ZDCF=20°,

ZCDF=90o-ZDCF=90°-20o=70°.

2.解:：ZABC=54°,ZC=76°,

ZBAC=180o-54°-76o=50°.

：AD平分NBAC,

11

・•・=-x50°=25°.

22

VBEXAC,

JZAEB=90°,

JZEFD=ZCAD+ZAEB=25o+90°=115°.

3.解:(1).「CD是AB边上的高，

・•・ZCDA=90°,

JZA+ZACD=90°.

VZA=ZDCB,

・•・ZACB=