2024年沪科新版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪科新版高二数学上册月考试卷310考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、已知抛物线的焦点为准线为过抛物线上一点作垂直于若则的面积为（）A.B.C.D.2、在等差数列中，若则的和等于()A.7B.8C.9D.103、正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是（）4、【题文】在等比数列中，=6，=5，则等于A.B.C.或D.﹣或﹣5、【题文】有四个关于三角函数的命题：

xR,+=x、yR,sin(x-y)=sinx-siny

x="sinx"sinx=cosyx+y=

其中假命题的是()A.B.C.D.6、关于函数f(x)=5sin3x+53cos3x

下列说法正确的是(

)

A.函数f(x)

关于x=59娄脨

对称B.函数f(x)

向左平移娄脨18

个单位后是奇函数C.函数f(x)

关于点(娄脨18,0)

中心对称D.函数f(x)

在区间[0,娄脨20]

上单调递增评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)7、计算=____8、函数的极大值等于____．9、【题文】已知函数若数列满足且的前项和为则_____________.10、【题文】设正数满足则____11、【题文】已知无穷等比数列的前项和且是常数，则此无穷等比数列各项的和等于____(用数值作答)．12、（3+4i）（﹣2﹣3i）=____评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)13、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

14、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）15、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共30分)20、一名大学毕业生到某单位应聘，需进行书面测试，要求按顺序完成6道相互独立的题，这名大学毕业生正确做出每一道题的概率都是．

（Ⅰ）求这名大学毕业生首次做错一道题前；已正确做出了两道题的概率；

（Ⅱ）若这名大学毕业生至少正确做出5道题；才能通过书面测试，求这名大学毕业生通过书面测试的概率．

21、在锐角中，分别是角的对边，（1）求的值；（2）若求的值.22、以椭圆Mx2a2+y2=1(a>1)

的四个顶点为顶点的四边形的四条边与隆脩Ox2+y2=1

共有6

个交点；且这6

个点恰好把圆周六等分．

(

Ⅰ)

求椭圆M

的方程；

(

Ⅱ)

若直线l

与隆脩O

相切，且与椭圆M

相交于PQ

两点，求|PQ|

的最大值．评卷人得分五、计算题(共4题，共40分)23、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．24、设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．求L的方程；25、已知z1=5+10i，z2=3﹣4i，求z．26、在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），求f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）的值．评卷人得分六、综合题(共4题，共28分)27、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．28、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．29、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．30、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】试题分析：根据抛物线的定义，可知为等腰三角形，又因所以为等边三角形，由于焦点和准线的位置，可知正三角形的边长为故三角形的面积故选B.考点：抛物线的性质，三角形的面积.【解析】【答案】B2、C【分析】【解析】试题分析：因为等差数列中，若根据整体思想可知，则构成了等差数列，则可知故选C.考点：等差数列的性质【解析】【答案】C3、C【分析】由于内切球与三棱锥的斜率相切，并且与底面中心相切，因而应选C.【解析】【答案】C4、C【分析】【解析】因为是等比数列，所以所以是方程的两根，解得或则或从而可得所以故选C【解析】【答案】C5、A【分析】【解析】xR,+=是假命题；是真命题，如x=y=0时成立；是真命题，x=sinx；是假命题，选A.【解析】【答案】A6、D【分析】解：对于函数f(x)=5sin3x+53cos3x=10?(12sin3x+32cos3x)=10sin(3x+娄脨3)

令3x+娄脨3=k娄脨+娄脨2

求得x=k娄脨3+娄脨6k隆脢Z

可得函数的图象关于直线x=k娄脨3+娄脨6k隆脢Z

对称，故A错误．

把函数f(x)

向左平移娄脨18

个单位后得到y=10sin[3(x+娄脨18)+娄脨3]=10sin(3x+娄脨2)=10cos3x

的图象；为偶函数，故B错误．

令x=娄脨18

求得f(x)=10

为函数的最大值，故函数的图象关于直线x=娄脨18

对称；故C错误．

在区间[0,娄脨20]

上，3x+娄脨3隆脢[娄脨3,29娄脨60]

故函数f(x)

在区间[0,娄脨20]

上单调递增；故D正确．

故选：D

．

利用三角恒等变换化简f(x)

的解析式；再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．【解析】D

二、填空题(共6题，共12分)7、略

【分析】试题分析：微积分基本定理，根据已知定积分的知识求解运算，理解已知的定积分的表示的含义，表示的为四分之一个圆的面积。圆心在原点，半径为1的圆，故可知答案为考点：定积分点评:考查了定积分的几何意义的运用，属于送分试题，一般容易得分。【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】

因为可知函数的极大值在x=-1处取得，因此为4.【解析】【答案】49、略

【分析】【解析】

试题分析：因为所以8042.

考点：1.分段函数的问题.2.数列的思想.3.三角函数的周期性.4.分类列举的数学思想.【解析】【答案】804210、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】____12、6﹣14i【分析】【解答】解:（3+4i）（﹣2﹣3i）=﹣6+12﹣8i﹣6i=6﹣14i．

故答案为：6﹣14i．

【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．三、作图题(共8题，共16分)13、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

14、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．15、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共30分)20、略

【分析】

（Ⅰ）设“正确解出第i道题”为事件Ai（i=1，2，3，4，5，6），则．

∴．．（6分）

（Ⅱ）记通过书面测试这一关为事件B；而这名大学毕业生至少正确做出5道题；

即正确做出5道题或6道题才能通过书面测试，故=．．（11分）

答：（Ⅰ）中所求概率为（Ⅱ）中所求概率为．（12分）

【解析】【答案】（Ⅰ）设“正确解出第i道题”为事件Ai（i=1，2，3，4，5，6），则．再根据P（A1A2）

=P（A1）P（A2）P（）运算求得结果．

（Ⅱ）记通过书面测试这一关为事件B，而这名大学毕业生至少正确做出5道题，故运算求得结果．

21、略

【分析】试题分析：1）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（2）利用同角三角函数的基本关系求角的余弦值值.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角形中，注意这个隐含条件的使用.（4）理解正弦定理与余弦定理的使用条件，不要搞混.试题解析：（1）∵∵∴∴∵是锐角三角形，∴∴6分（2）∵∴又由正弦定理得解得∴即边的长为5．12分考点：(1)在三角形中求余弦值；（2)求三角形的边长.【解析】【答案】(1)(2)22、略

【分析】

(

Ⅰ)

依题意，A(0,1)B(a,0)隆脧OAB=60鈭�

从而得到a=3

由此能求出椭圆方程．

(

Ⅱ)

当直线l

的斜率不存在时，直线l

的方程为x=隆脌1

此时|PQ|=263

当直线l

的斜率存在时，设直线l

的方程为y=kx+m

由直线l

与隆脩O

相切，得m2=1+k2

由{y=kx+mx23+y2=1

得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2鈭�1)=0

由此利用根的判别式；韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出|PQ|

的最大值．

本题主要考查圆的方程、椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．【解析】解：(

Ⅰ)

如图，依题意，A(0,1)B(a,0)隆脧OAB=60鈭�

隆脽tan隆脧OAB=|BO||AO|隆脿3=a1隆脿a=3

隆脿

椭圆方程为x23+y2=1

．

(

Ⅱ)

当直线l

的斜率不存在时；直线l

的方程为x=隆脌1

代入x23+y2=1

得y=隆脌63

此时|PQ|=263

当直线l

的斜率存在时；设直线l

的方程为y=kx+m

隆脽

直线l

与隆脩O

相切，隆脿|m|1+k2=1

即m2=1+k2

由{y=kx+mx23+y2=1

消去y

整理，得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2鈭�1)=0

鈻�=36k2m2鈭�12(1+3k2)(m2鈭�1)=12(13k2鈭�m2)=24k2

由鈻�>0

得k鈮�0

设P(x1,y1)Q(x2,y2)

则x1+x2=鈭�6km1+3k2x1x2=3(m2鈭�1)1+3k2

隆脿|x1鈭�x2|=(x1+x2)2鈭�4x1x2=26|k|1+3k2

．

隆脿|PQ|=(x1鈭�x2)2+(y1鈭�y2)2=1+k2|x1鈭�x2|

=1+k2|x1鈭�x2|

=1+k2?26|k|1+3k2

=23?(1+k2)鈰�2k21+3k2

鈮�23?(1+k2)+2k221+3k2=3

．

隆脿

当且仅当1+k2=2k2

即k=隆脌1

时，|PQ|

取得最大值3

．

综上所述，|PQ|

的最大值为3

．五、计算题(共4题，共40分)23、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．24、解：所以当x=1时，k=点斜式得直线方程为y＝x－1【分析】【分析】函数的导数这是导函数的除法运算法则25、解：∴

又∵z1=5+10i，z2=3﹣4i

∴【分析】【分析】把z1、z2代入关系式，化简即可26、解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：C63C40=20．f（3，0）=20；含x2y1的系数是C62C41=60；f（2，1）=60；

含x1y2的系数是C61C42=36；f（1，2）=36；

含x0y3的系数是C60C43=4；f（0，3）=4；

∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120【分析】【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可．六、综合题(共4题，共28分)27、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．28、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当A