6.5相似三角形的性质苏科版初中数学九年级下册同步练习【含试卷答案】

6.5相似三角形的性质苏科版初中数学九年级下册同步练习第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知：在四边形ABCD中，AB/​/CD，∠B=90∘，点E是线段BC上一点，且AE平分∠BAD，DE平分∠ADC①AE⊥DE；②∠AEB=∠EDC；③AB⋅CD=BE⋅EC；④BE⋅ED=AE⋅EC上述结论中，所有正确结论的序号是(

)

A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④2.如图，在△ABC中，DE//BC，连接CD，若ADBD=12，下列结论中，错误的是A.DEBC=13

B.△ADE的周长△ABC3.如图，在▵ABC中，DE//BC，AD=3，DB=6，AE=2，则EC的长为

(

)

A.2 B.4 C.6 D.94.如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB/​/CD，根据图2中的数据可得x的值为

(

)

A.0.4 B.0.8 C.1 D.1.65.如图所示，△ABC中，点D、E分别是AC、BC边上的点，且DE/​/AB，CDAD=2：1，△ABC的面积是18，则四边形ABED的面积是(

)A.6

B.8

C.10

D.126.如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为

(

)

A.4 B.3 C.2 D.17.已知△ABC∽△DEF，SΔABC：SΔDEF=1:4.若BC=1，则EF

的长为

(

)A.1 B.2 C.3 D.48.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D(−2,3)，AD=5，若反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点B，则k的值为(

)A.163

B.8

C.10

D.9.如图，已知点A(0,4)，C(4,0)，点P为线段OC的中点，且PA⊥PB，BC⊥x

轴，则点B

的坐标为

(

)

A.(4,3) B.(4,2) C.(4,1.5) D.(4,1)10.如图，函数y=−1x(x<0)的图象经过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连结AD.若AD=3，则△ABO的周长为(

)A.12

B.6+38

C.6+2

11.如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为点C，D，若AC=1，BD=2，OB=4.则OA的长为(

)

A.1 B.2 C.4 D.812.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC=75°；②CF=2AE；③DFBC=23；④△FPD∽△PHB.其中正确结论的个数是

A.4

B.3

C.2

D.1第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）13.如图，在▱ABCD中，以CD为直径作⊙O，⊙O经过点A，且与BD交于点E，连接AE并延长，与BC交于点F，若F是BC的中点，AF=6，则AB=

．

14.如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若AMAN=12，则S△ADE

15.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB,OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为8,6，点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足▵PBE∽▵CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为

．

16.如图，在△ABC中，AC=BC，矩形DEFG的顶点D、E在AB上，点F、G分别在BC、AC上，若CF=4，BF=3，且DE=2EF，则EF的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8分)

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC上且DA⊥AC，垂足为A．

(1)求证：AB2=BD⋅BC；

(2)若BD=2，则AC的长是

18.(本小题8分)

如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．

(1)求证：△ABE∽△DFA；

(2)若AB=6，BC=4，求DF的长．

19.(本小题8分)如图，AC，BD相交于点O，∠A=∠D．求证：▵AOB∼▵DOC．20.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=12x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点C，连接OC.已知点A(−4,0)，AB=2BC．

(1)求b、k的值；

21.(本小题8分)【问题背景】如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，由已知可以得到：①△________≌△________；②△________∽△________．【尝试应用】如图2，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE=30°，求证：△ACE∽△ABD．【问题解决】如图3，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F，点D在BC上，ADBD=322.(本小题8分)

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，交AC边于点E.过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接DE．

(1)求证：BD=CD；(2)若∠G=40∘，求(3)若BG=6，CF=2，求⊙O的半径．23.(本小题8分)

如图，在四边形ABCD中，AB/​/CD，∠DAB=90°，BC=DC，O是BD的中点，AO的延长线交BC于点E．

(1)求证：△AOB∽△DCB；

(2)若AE⊥BC，求证CD：AB=2：3；

(3)若CE=1，OE=2，求BE的长(直接写结果，不写过程)．24.(本小题8分)

如图1，△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，点E在边AC上，且∠ADE=∠B．

(1)求证：△ABD∽△DCE；

(2)若AB=10，BC=16，DE/​/AB，如图2，求BD的长．25.(本小题8分)

已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE/​/BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2=FG⋅FE．

(1)求证：△CAD∽△CBG；

(2)连接DG，求证：DG

答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】根据

AB/​/CD

和

AE

平分

∠BAD

，

DE

平分

∠ADC

推出

∠DAE+∠ADE=90∘

即可证明

AE⊥DE

，可证明①正确；根据

∠AED=90∘

推出

∠AEB+∠DEC=90∘

，根据

∠B=90∘

推出

∠C=90∘

，从而推出

∠EDC+∠DEC=90∘

，即可推出

∠AEB=∠EDC

，可证明②正确；根据两角分别相等的两个三角形相似判定【详解】∵

AB/​/CD

，∴

∠DAB+∠ADC=∵

AE

平分

∠BAD

，

DE

平分

∠ADC∴∠DAE=12∴

∠AED=90∘∴

AE⊥DE

；故①正确；∵

∠AED=90∘∴

∠AEB+∠DEC=90∘∵

AB//CD,∠B=90∘∴

∠C=90∘∴

∠EDC+∠DEC=90∘∴

∠AEB=∠EDC

，故②正确；∵

∠AEB=∠EDC,∠B=∠C=∴▵ABE∽▵ECD

，∴ABEC∴AB⋅CD=BE⋅EC

，故③正确；BE⋅ED=AE⋅CD

故④不正确；正确的有①②③．故选：C．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，角平分线定义，同角的余角相等和相似三角形的判定方法与性质定理是解决问题的关键．2.【答案】C

【解析】解：∵DE∴△ADE∽△ABC，∴DE∵AD∴AD∴DEC△ADEC△ABC=AD设点A到DE的距离为ℎ，点D到BC的距离为ℎ1，点C到DE的距离为ℎ∵DE//BC∴ℎ∴S△ADES∵DE∴ℎ∴S△CDES故选：C．易证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可判断A、B选项；设点A到DE的距离为ℎ，点D到BC的距离为ℎ1，点C到DE的距离为ℎ2，根据平行线的性质可得ℎℎ1=12本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行线分线段成比例时解题关键．3.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，根据相似三角形的判定及性质即可求解，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．【详解】解：

∵DE//BC

，∴▵ADE∽▵ABC

，∴ADAB=AEAC

解得：

AC=6

，∴CE=AC−AE=6−2=4

，故选B．4.【答案】A

【解析】【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．【详解】解：

∵AB/​/CD

，∴▵COD∽▵BOA

，∴CDBA∴0.81∴x=0.4

，故选：A5.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

由DE/​/AB，得△CDE∽△CAB，根据相似三角形相似比的平方等于面积比求出△CDE的面积，即可求出四边形ABED的面积．

【解答】

解：∵DE//AB，

∴△CDE∽△CAB，

∵CDAD=21，

∴CDCA=23，

，

∵△ABC6.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积.利用相似三角形的性质求出S△ABC的值是解题的关键.由∠ACD=∠B、∠CAD=∠BAC可得出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质结合S△ACD=1，可求出S△ABC的值，将其代入S△BCD=S△ABC−S△ACD中即可求出结论．

【解答】

解：∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，

∴△ACD∽△ABC，

7.【答案】B

【解析】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=1：4，

∴BC：EF=1：2，

∵BC=1，

∴EF=2，

故选B．

根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得相似比后即可求得线段EF8.【答案】D

【解析】解：过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，

∴∠BHC=90°，

∵点D(−2,3)，AD=5，

∴DE=3，

∴AE=AD2−DE2=4，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠BCD=∠ADC=90°，

∴∠DCP+∠BCH=∠BCH+∠CBH=90°，

∴∠CBH=∠DCH，

∵∠DCP+∠CPD=∠APO+∠DAE=90°，∠CPD=∠APO，

∴∠DCP=∠DAE，

∴∠CBH=∠DAE，

∵∠AED=∠BHC=90°，

∴△ADE≌△BCH(AAS)，

∴BH=AE=4，

∵OE=2，

∴OA=2，

∴AF=2，

∵AO=OE=2，OP/​/DE，

∴OP=12DE，

∵∠APO+∠PAO=∠BAF+∠PAO=90°，

∴∠APO=∠BAF，

∴△APO∽△BAF，

∴OPAF=OABF，

∴12×32=2BF，

∴BF=83，

∴B(4,83)，

∴k=323，

故选：D9.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了坐标与图形的性质以及相似三角形的判定与性质．

先根据题意得到OA=4，OC=4，OP=PC=2，再证明△OAP∽△CPB，可得OACP=OPCB，即【解答】解：∵A(0,4)，C(4,0)，

∴OA=4，OC=4，

∵点P为线段OC的中点，

∴OP=PC=2，

∵PA⊥PB，BC⊥x轴，

∴∠APB=∠PCB=∠AOP=90°，

∴∠OAP+∠OPA=90°=∠OPA+∠CPB，

∴∠OAP=∠CPB，

∴△OAP∽△CPB，

∴OACP=OPCB，即42=2CB，

10.【答案】D

【解析】解：如图，过点D作DE⊥AO于E，

∵点D是BO的中点，

∴AD=BD=DO=3，

∴BO=6，

∵DE⊥AO，AB⊥AO，

∴AB/​/DE，

∴△ODE∽△OBA，

∴DOBO=DEAB=EOAO=12，

∴AB=2DE，AO=2EO，

∵S△DEO=12DE×EO=12，

∴S△ABO=12AB×AO=2，

∵AB2+AO2=OB2=36，11.【答案】B

【解析】【分析】由

AC⊥CD,BD⊥CD

，得

∠C=∠D=90∘

，而

∠AOC=∠BOD

，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明

▵AOC∽▵BOD

，得

OAOB=ACBD

，再由

AC=1,BD=2,OB=4

，求得【详解】解：∵

AC⊥CD,BD⊥CD

，∴∠C=∠D=90∘∵∠AOC=∠BOD

，∴△AOC∽△BOD

，∴OAOB∵AC=1,BD=2,OB=4

，∴OA=AC⋅OBBD故选：B．【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明

▵AOC∽▵BOD

是解题的关键．12.【答案】B

【解析】【分析】

本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

由等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得∠CPD=∠CDP=75°，故①正确；根据∠BPC=∠EPF=60°，得∠ABE=30°，△BPC是等边三角形，易得△PEF是等边三角形，PC=PB，PE=PF，得CF=BE，所以CF=2AE②正确；通过证明，可得∠PDF=∠PBH=15°，∠PFD=∠HPB=60°，可证△BHP∽△DPF，故④正确；由相似三角形的性质可得PFPH=DFBC=33，故③错误，即可求解．

【解答】

解：∵△BPC是等边三角形，

∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，

∴∠ABE=∠DCF=30°，

∴∠CPD=∠CDP=75°，故①正确；

∵△BPC是等边三角形，

∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠PEF=∠PFE=60°，

∴△PEF是等边三角形，

∴PE=PF，

∴CP+PF=BP+PE，

∴CF=BE，

在Rt△ABE中，

∠ABE=∠ABC−∠PBC=30°，

∴BE=2AE，

∴CF=2AE，故②正确；

∵∠CPD=∠CDP=75°，

∴∠PDF=15°，

∵∠PBH=∠PBC−∠HBC=60°−45°=15°，

∴∠PDF=∠HBP=15°，

∵∠BPH=∠DFP=60°，

∴△FPD∽△PHB，故④正确；

∴PFPH=DFBP，

∴PFPH=DFBP=DFBC=DF13.【答案】4【解析】解：连接AC，CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC∵F是BC∴BF=FC∵△BEF∽△DEA，∴EF：EA=BF：AD=1：2∴EF=∵CD是⊙∴∠DEC∴∠ACF=∠DAC=90∴EF=BF=FC=2，BC=2EF=4∵A∴AB=故答案为：4连接AC，CE，由圆周角定理得到∠ACB，∠BEC是直角，由△BEF∽△DEA，得到EF：EA=BF：AD=1：2，即可求出EF的长，由直角三角形的性质得到本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．14.【答案】14【解析】【分析】

根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出DEBC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．

本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．

【解答】

解：∵M，N分别是DE，BC的中点，

∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，

∵△ADE∽△ABC，

∴DEBC=AMAN=115.【答案】

4,3

或

325【解析】【分析】由题意知，

PE//OC

，点P在线段

BC

上，分两种情况：当

AP=CP

时，点P是线段

AC

的垂直平分线与

BC

的交点，即点P是

OA

的中点；当

CA=CP

时，利用相似三角形的性质即可求得点P的坐标．【详解】解：∵

▵PBE∽▵CBO

，∴

∠BEP=∠BOC=90∘∴

PE//OC

，点P在线段

BC

上．∵A点的坐标为

8,6

，∴

OB=8,OC=6

，由勾股定理得：

BC=10

；如图1所示，当

AP=CP

时，点P是线段

AC

的垂直平分线与

BC

的交点，即点P是

BC

的中点，∴点P是

OA

的中点，∴点P的坐标为

4,3

；如图2所示，当

CA=CP

时，∵四边形

ABOC

是矩形，∴

AC=OB=8

，∴

CP=8,BP=2

，∵

▵PBE∽▵CBO

，∴

PEOC=∴

PE=15OC=65

∴

OE=OB−BE=8−85∴点P的坐标为

325,综上所述，

4,3

或

325,【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，矩形的性质等知识，注意分类讨论思想的运用．16.【答案】125【解析】解：∵DE=2EF，设EF=x，则DE=2x，

∵四边形DEFG是矩形，

∴GF//AB，

∴△CGF∽△CAB，

∴GFAB=CFCB=44+3=47，即2xAB=47，

∴AB=7x2，

∴AD+BE=AB−DE=7x2−2x=32x，

∵AC=BC，

在△ADG和△BEF中，

∠A=∠B∠ADG=∠BEFDG=EF，

∴△ADG≌△BEF(AAS)，

∴AD=BE=34x，

在△BEF中，BE2+EF2=BF2，

即(34x)17.【答案】(1)证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°，

∵DA⊥AC，

∴∠DAC=90°，

∴∠BDA=∠DAC+∠C=120°，

∴∠BAC=∠BDA=120°，

∵∠B=∠B，

∴△BDA∽△BAC，

∴BABC=BDBA，

∴A【解析】【分析】

本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．

(1)根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C=30°，再利用垂直定义可得∠DAC=90°，从而利用三角形的外角可得∠BDA=∠BAC=120°，然后证明△BDA∽△BAC，利用相似三角形的性质进行计算即可解答；

(2)利用(1)的结论可得∠B=∠BAD=30°，从而可得BD=AD=2，然后在Rt△ADC中，进行计算即可解答．

【解答】

(1)见答案；

(2)∵∠BAC=120°，∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=30°，

∵∠B=30°，

∴∠B=∠BAD，

∴BD=AD=2，

在Rt△ADC中，∠C=30°，

∴AC=3AD=2318.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD/​/BC，∠B=90°，

∴∠DAF=∠AEB，

∵DF⊥AE，

∴∠AFD=∠B=90°，

∴△ABE∽△DFA；

(2)解：∵E是BC的中点，BC=4，

∴BE=2，

∵AB=6，

∴AE=AB2+BE2=62+22=210，

∵四边形【解析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．

(1)由矩形性质得AD//BC，进而由平行线的性质得∠AEB=∠DAF，由于∠AFD=∠B=90°，再根据两角对应相等的两个三角形相似证明；

(2)由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，最后根据相似三角形的性质求得DF．19.【答案】解：∵

AC

，

BD交于点O∴

∠BOA=∠DOC∵

∠A=∠D∴△

AOB

∽△

DOC

【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握运用两角对应相等的两个三角形相似的判定方法是解题的关键．20.【答案】解：(1)如图，作CD⊥y轴于D，

则△ABO∽△CBD，

∴ABBC=AOCD，

∵AB=2BC，

∴AO=2CD，

∵点A(−4,0)，

∴OA=4，

∴CD=2，

∵点A(−4,0)在一次函数y=12x+b的图象上，

∴b=2，

∴y=12x+2，

当x=2时，y=3，

∴C(2,3)，

∵点C在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，

【解析】(1)由点A(−4,0)在一次函数y=12x+b的图象上，代入求得b=2，作CD⊥y轴于D，则△ABO∽△CBD，得出C的横坐标为2，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值；

(2)根据三角形的面积公式代入计算即可．

21.【答案】解：【问题背景】①ABD；ACE；

②ABC；ADE；

【尝试应用】证明∵∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE=30°，

∴△ABC∽△ADE，

∴ACAE=ABAD，∠CAB=∠EAD，

∴ACAB=AEAD，∠CAB−∠EAB=∠EAD−∠EAB，∠CAE=∠BAD，

∴△ACE∽△ABD；

【问题解决】如图，连接CE．

由【尝试应用】知△ABD∽△ACE，

∴∠ABD=∠ACE=∠ADE=30°，BDCE=ABAC，

∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，

∴BDCE=ABAC=3．

∵∠AFD=∠EFC，

∴△ADF∽【解析】【分析】

本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握基本几何模型--旋转型相似是解题的关键．

【问题背景】根据全等三角形的判定和相似三角形的判定可得答案；

【尝试应用】首先证明△ABC∽△ADE，得ACAE=ABAD，∠CAB=∠EAD，则ACAB=AEAD，∠CAE=∠BAD，从而可证△ACE∽△ABD；

【问题解决】连接CE，由【尝试应用】知△ABD∽△ACE，所以BDCE=ABAC=3，再证△ADF∽△ECF，得DFCF=3BDEC=3⋅BDEC=3．

【解答】

解：【问题背景】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，

∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE22.【答案】(1)证明：连接AD，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∴AD⊥BC.

∵AB=AC，

∴BD=CD．

(2)解：连接OD．

∵GF是切线，OD是半径，

∴OD⊥GF，

∴∠ODG=90°.

∵∠G=40°，

∴∠GOD=50°.

∵OB=OD，

∴∠OBD=65°

∵点A、B、D、E都在⊙O上，

∴∠ABD+∠AED=180°，

∴∠AED=115°

(3)解：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB，

∴∠ODB=∠C，

∴OD/​/AC，

∴△GOD∽△GAF，

∴ODAF=GOGA，

∴设⊙O的半径是r，则AB=AC=2r

∴AF=2r−2

∴r2r−2=6+r【解析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理等相关知识，解答此题的关键是掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理等相关知识．

(1)根据圆周角定理可知∠ODG=90°，再根据三角形三线合一的性质即可求证．

(2)根据切线性质可得∠ODG=90°，又根据三角形内角和定理可得∠OBD=65°，因为点A、B、D、E都在⊙O上，根据圆内接四边形的性质可得∠ABD+∠AED=180°，即可求解．

(3)根据相似三角形的判定与性质可得ODAF=GOGA，设⊙O的半径是23.【答案】(1)证明：∵∠DAB=90°，O是BD的中点，

∴OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵BC=CD，

∴∠CBD=∠CDB，

又∵AB/​/CD，

∴∠CDB=∠OBA，

∴∠CBD=∠CDB=∠OBA=∠OAB，

∴△AOB∽△DCB；

(2)证明：连接OC，

∵BC=DC，O是BD的中点，

∴CD⊥AB，

∵AE⊥BC，

∴∠AEB=90°，

∴∠OAB+∠OBA+∠CBD=90°，

由(1)知∠CBD=∠CDB=∠OBA=∠OAB，

∴∠CBD=∠CDB=∠OBA=∠OAB=30°，

∴CD：OD=2：3，BD：AB=2：3，

又∵BD=2OD，

∴CD：AB=2：3；

(3)解：BE=33+12.理由如下：

延长AE与DC的延长线交于点F，如图，

∵DC/​/AB，

∴∠F=∠OAB，

∵∠AOB=∠DOF，OB=OD，

∴△OAB≌△OFD(AAS)，

∴OA=OF，AB=DF，

∴OA=OB=OD=OF，

设BE=x，OA=OB=OD=