【高分复习笔记】龙驭球《结构力学Ⅰ》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解（中册）

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内容简介

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第5章虚功原理与结构位移计算

5.1复习笔记

5.2课后习题详解

5.3名校考研真题详解

第6章力法

6.1复习笔记

6.2课后习题详解

63名校考研真题详解

第7章位移法

71复习笔记

7.2课后习题详解

7.3名校考研真题详解

第5章虚功原理与结构位移计算

5.1复习笔记

一、应用虚力原理求刚体体系的位移

1.推导位移计算一般公式的基本思路

推导过程的基本思路是“化整为零和积零为整。把结构的整体变形分解为局部变形，应先

用刚体体系的虚力原理导出局部变形时的位移公式，然后应用叠加原理，导出整体变形时

的位移公式。

2.结构位移计算概述

（1）计算结构位移的目的

①验算结构的刚度；

②为超静定结构的内力分析打下基础,

（2）产生位移的原因

①荷载作用；

②温度变化和材料胀缩；

③支座沉降制造误差。

3.应用虚力原理求刚体体系的位移一一单位荷载法

例如，图（a）中的静定梁，支座A向上移动一个已知距离勺，现在拟求B点的竖

向位移A。

(a)

图5・1・1

位移状态已给定，力系则可根据我们的意图来虚设。在拟求位移△的方向设置单位荷载,

_b_

根据平衡条件，可得支座A的反力斤灯=一二，图5-1-1(b)中的墟设平衡力系在实际刚

Axl+C|F|U=0

体位移上作虚功，虚功方程为

b

可以求解出A~C1

在拟求的位移A方向虚设单位荷载，并利用平衡条件求出与5相应的支座反力下灯。这个

解法称为单位荷载法°

4.支座移动时静定结构的位移计算

归纳求解步骤如下：

(1)沿拟求位移A方向虚设相应的单位荷载，并求出单位荷载作用下的支座反力下RA；

(2)令虚设力系在实际位移上作虚功，建立虚功方程

IM+EFKXCK=0

d=-y/⑼

(3)由虚力方程，解出拟求位移

二、结构位移计算的一般公式一一单位荷载法

1.局部变形时静定结构的位移计算举例

图5・1・2(a)所示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角d试求A点的竖向位移

图5・1-2

解：图5-1-2(a)中的实际位移状态可改用图5-1-2(b)来表示。这里，在B处加饺，

把实际位移状态明确地表示为刚体体系的位移状态。

为了求未知位移A,可虚设力系如图5-1-2(c)所示。这里，在A点沿拟求位移△的方

向虚设单位荷载。此外.在较B处还必须虚设一对弯矩.根据平衡条件可求出力均数值

如下

M=1•a

令图5・1・2(c)中的平衡力系在图5-l・2(b)中的实际位移上作功，可写出虚功方程如

1•A-M•0=0

下

A=Mf)

解得

由此看出，位移A与截面相对转角。成正比，它们之间的比例系数正好就是虚设单位荷

载在该截面引起的弯矩

(11=(MK+八£+FQM)人

2.局部变形时的位移计算公式

3.结构位移计算一般公式

4.结构位移计算的一般步骤一一单位荷载法

(1)在某点沿拟求位移A的方向虚设相应的单位荷载:

(2)在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构内力和支座反力人」:

(3)最后根据公式(5・1)可求出位移A。

5.广义位移的计算一一虚设广义单位荷载

（1）广义单位荷载定义

对于公式（5・1）中的拟求位移A可以引申理解为广义位移。在求广义位移时，则需要根

据广义位移的性质虚设一个单位荷载，称为广义单位荷载。

（2）广义位移和广义单位荷载示例，如表5-1-1所示。

三、荷载作用下的位移计算

1.荷载引起的位移的计算公式

2.各类结构的位移公式

（1）梁和刚架

乙EA(k=

（2）桁架

-EA

(3)桁架混合结构

△=2〕整+2J融

(4)拱

3.截面平均切应变力和系数k

(1)平均切应变力

%二"制

(2)系数k

四、图乘法

1.图乘法及其应用条件

(1)图乘法公式

廿=部必也=即兀

(2)应用条件

杆段应是等截面直杆段，两个图形中至少有一个是直线，标距y。应取自图中直线。

(3)正负号规则

面积工与标距〕b在杆的同一边时，乘积用'。取正号：H与立在杆的不同边时取负号。

二次抛物线44加

(a)(b)

2.几种常见图形的面积和形心位置

顶点

⑴

图5-1-3

3.应用图乘法时的几个具体问题

（1）如果两个图形都是直线图形，则标距比可取自其中任一个图形；

（2）如果一个图形是曲线，另一个图形是由几段直线组成的折线，则应分段考虑；如果

直杆的EI不是常数，也可进行分段考虑，保证每段图乘中杆的EI为常数即可；

（3）如果图形比较复杂，则可将其分解为几个简单图形，分项计算后再进行叠加。

五、温度改变时的位移计算

A=\叫|Fds+

s上限回

1.位移计算公式

2.正负号规则

（1）轴力工丫以拉伸为正，。以升高为正；

（2）弯矩方和温差加引起的弯曲为同一方向时（即当好和加使杆件的同一边产生拉伸变

形时），其乘积取正值，反之取负值。

六、变形体的虚功原理

1.变形体虚功原理

设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其他原因产生符合约束条件的微小

连续变形，则外力在位移上所作外虚功W恒等于各个微段的应力合力在变形上所作的内

虚功Wlo

2.变形体虚功原理的表达式

w=叫

3.变形体虚功方程的应用条件

（叭+pd.r=0

（I%+qdx=0

dM+£2d%=0

（1）力系平衡条件

（2）变形协调条件

应变位移关系式和几何边界条件合在一起称为变形协调条件。

4.变形体虚功方程

（；%%+"R+rQ泗加）一（MM++产出心）+［（P〃+价皿

=j（+FQyGd.r）

5.虚力原理和虚位移原理

（1）虚力原理及其虚力方程

①虚力方程

任意虚设的平衡力系

IriiI,

zZJ（M7+/；£+/；%）d§

IIIII

待检杳的变形状态

②虚力原理

在虚设力系满足平衡方程并具有任意性的前提下，如果虚力方程成立，则待检查的变形状

态必满足变形协调方程。反之，在上述前提下，如果已知该变形状态满足变形协调方程，

则虚力方程必成立。综合起来，在上述前提下，虚力方程是变形防调方程的充分必耍条件。

（2）虚位移原理及其虚位移方程

任意虚设的协调变形状态

IIIII

“'P心尸£/。我.+&£”广；）（15

IIIII

待检有的力系

①虚位移方程

②虚位移原理

在虚设变形状态满足变形协调方程并具有任意性的前提下，如果虚位移方程成立，则待检

查的力系必满足平衡方程。反之，在上述前提下，如果已知该力系满足平衡方程，则虚位

移方程必成立。综合起来，在上述前提下，虚位移方程是力系平衡方程的充分必要条件。

6.单位支座位移法

KH=EK；+八+FQM；I）（卜-1K加

七、互等定理

1.功的互等定理

在任一线性变形体系中，状态I的外力在状态n的位移上作的功也等于状态II的外力在

状态I的位移上作的功方1。

2.位移互等定理

在任一线性变形体系中，由荷载段所引起的与荷载心】相应的位移影响系数百等于由荷载

52所引起的与荷载段相应的位移影响系数毛。

3.反力互等定理

在任一线性变形体系中，由位移C所引起的与位移G相应的反力影响系数勺等于由位移

c所引起的与位移q相应的反力影响系数公。

4.位移反力互等定理

在任一线性变形体系中，由位移。所引起的与荷载段相应的位移影响系数s,*在绝对值

上等于由荷载/所引起的与位移G相应的反力影响系数但二者相差一个负号，即

S'l2=一心］

5.2课后习题详解

5-1试用刚体体系虚力原理求图5-2-1所示结构D点的水平位移:

(a)设支座A向左移动1cmo

(b)设支座A下沉1cm。

(c)设支座B下沉1emo

图521

解；(a)

虚设力状态图1

图5-2-2

△/川x1-1x1=0A/川=lcn】（一）

虚设力的方向同位移方向相同，运用刚体虚功方程得

(b)

虚设力状态图2

图5-2-3

州X1-1X了=。A/用=了（加（一）

根据比例关系，算出D的水平位移，列出刚体虚功方程

（C）

虚设力状态图3

图5-2-4

J/)Hxl-1x(=0%=-+m(一)

列虚功方程

5-2设图5-2-5所示支座A有给定位移Ax、4、A”试求K点的竖向位移加、水平位移

人和转角9o

图5-2-5

图5-2-6

(1)求竖向位移Av

*1

图5-2-7

IvXl-[dvx(-1)]—A0x3a=0

△Y=・A+3Q(f)

施加一个竖向力，虚设力状态如图5・2・7所示，对应开始时的位移状态，列虚功方程

(2)求水平位移

图5-2-8

施加一个水平力，虚设力状态如图5-2-8所示，列虚功方程

x1-4x1-儿X"=0

品=4+5（一）

AJ'

A

A/=-l

（3）求转角6

图5-2-9

虚设力状态如图5・2・9所示，列虚力方程

flxl-[A.X（-I）]=0

…儿（D

5-3设图5-2-10所示三校拱支座B向右位移单位距离。试求C点的竖向位移山、水平位

移山和两个半拱的相对转角&。

c

图5-2-10

解；(1)求竖向位移4

图5211

在C点施加一个竖向虚力，结构虚设力状态如图5-2-11所示，支座位移和力的方向相反,

则列虚功方程

」小「得=0」得(.)

(2)求水平位移

1

c

图5-2-12

dzX1-1XJ=o

施加水平方向的单位力,虚设力状态如图5-2-12所示，列虚功方程

(3)求相对转角△:

图5-2-13

xI-1x-^=0d3=y([1)

两端施加单位为偶，虚设力决态如图5213所示，列虚功方程

5-4设图5-2-14所示三校拱中的拉杆AB在D点装有花篮螺丝。如果拧紧螺丝，使截面

口与D2彼此靠近的距离为入，试求C点的竖向位移A。

c

图5214

解：两截面相互靠近，可知AB上有相对的位移，可用虚功方程求解。

图5-2-15

在C点施加一个竖向的虚设力，AB杆的轴力如图5-2・15所示，列虚功方程

▲xl♦入x.O

5-5设图5-2-16所示柱AB由于材料收缩，产生应变名。试求B点的水平位移

图5-2-16

解.：虚设力状态如图5-2-17所示。

图5217

Ax1-邑x2〃x2=0A=4〃j(—)

则运用虚功原理，列方程

5-6设由于温度升高，图5-248所示杆AC伸长K=1mm,杆CB伸长ACB=1.2mm。

试求C点的竖向位移A。

D

图5-2-18

解；在C点施加竖向虚设力，虚设力状态如图5-2-19所示。

图5-2-19

则C点的竖向位移A为

白二(1x；+1.2x1mm=1.Imm(v)

5-7试用积分法求图5-2-20所示悬臂梁A端和跨中C点的竖向位移和转角（忽略剪切变

形的影响）。

图5-2-20

解：（a）①A端的竖向位移

在A端施加一个竖向虚设力，则梁上产生的弯矩为：1/="；外力均布荷载产生的弯矩为:

IL=笆

小=麻1）

所以位移为

②A端的转角

在A端施加•个虚设弯矩，则梁上产生的弯矩为；方=1；外力均布荷载产生的弯矩为:

2

则位移为

狗（逆时针）

③C点的竖向位移

在C点施加一个竖向虚设力,，则在，梁上产生的弯矩：前=工（坐标原点放到C点）；均布

荷载产生的弯矩为「「一8十2+2\

一「修+小初二叱⑴

-1>£7-38“7（▼

则位移为

④C点的转角

在C点施加一个虚设弯矩，则在梁上的产生的弯矩为：”=1（坐标原点放到C点）；均

M=小+%&

布荷载产生的弯矩为；'-822'o

,巴迂+%）乂1।

口八822I.7q^_/、青口、

"二L------------Ei------------"1嘉7（逆时针）

则位移为

（b）因为外力集中荷载在C左边不产生作用，因此为了方便起见，把坐标原点放到（:点。

®A点的竖向位移

1/=1+.v,l/p=Fvx

,则位移为

.)

!\

财=1,=%x

②A点的转角

rTA'p.vd.v

IEl逆时针)

on/

,则位移为

.%=h\,x,M二x

③C点的竖向位移

(Lv

4V二I24£/，I

,则位移为

=Fvx,M=\

点的转角

rxx1耳尸,ML-、

ciPdx病（逆时针）

d=I-ET

,则位移为

h-------------------------------H

(b)一

5-8试用积分法求图5-2-21所示梁的跨中挠度（忽略剪切变形的影响）。

图5-2-21

解•：（a）在跨中施加一个竖向虚设力，梁弯矩为：回、（左半边弯矩）：外力荷载作

M尸如厂也

用下弯矩为：2-2,结构左右对称，因此求位移

)

El384A7

——T

（b）在跨中施加一个竖向虚设力，梁弯矩为：Ki="2^（只考虑左半边）；外力荷载作

用下弯矩为：风一彳二结构左右对称，因此位移为

5-9试求图5-2-22所示简支梁中点C的竖向位移A,并将剪力和弯矩对位移的影响加以

G二3后，4二1.2,。二1

比较。设截面为矩形，h为截面高度，8/电

图5-2-22

解：（1）求位移

在C点施加一个竖向虚设力，则产生弯矩只二；力轴力八・二°,剪力&T（只考虑

左半边）；外力荷载在结构上，产生弯矩”?=¥”一写，轴力Fw=°,剪力

尸Qr—¥-q”，且结构左右对称。

①弯矩对位移的影响

册//_0.154J

8cl=61

②剪力对位移的影响

015/

中-38427GA'

故总位移为

（2）比较剪力和弯矩对位移的影响

求二者比值

Ag0.15//5t//41I,52A7

A—CA-384以=GA尸

r=AFJL1

将题中所给的‘一8''I=-13弋入上式，则比值为2.56%,

可以看出剪力对位移的影响仅仅是弯矩的2・56%,因此在某些情况下可以不用考虑剪力

的影响。

5-10试求图5-2-23所示结点C的竖向位移Ac,设各杆的EA相等。

D

图5-2-24

在C点施加一个竖向的虚设力，则结构各杆内力反应如图5・2・24所示；外力作用下，各

杆的内力反应也如图5-2-24所示。则C点竖向位移为

&=^|^xyx2(/x2+(-^FP)x(-^]X75</X2+(-fP)x(-I)x2</]

5-11试求图5-2-25所示结构结点C的水平位移Ac,设各杆的EA相等。

图5-2-25

解：在C点施加一个水平虚设力。

结构的虚设力状态图和荷载轴力匿，如图5-2-26所示。

图5-2-26

求位移得

.l=777丫见，*V?X怎+(-F)X(-1)X//=2、2+1)

ch：ivA/I

3.828/*〃/

EA

5-12试求图5-2-27所示结构结点C的水平位移Ac,设各杆的EA相等。

Q

图5-2-27

实际荷载轴力图

图5-2-28

首先在C点施加一个水平虚设力，注意到桁架C点以上都为零杆，因此只考虑C点一下

结构受力。虚设力状态图、荷载的轴力图如图5-2-28所示，则结点C的水平位移为

4,=£匚（4+4+10+2互+2万）〃.3

j&/lt.A

=23.65"

5-13试求图5-2-29所示等截面圆弧曲杆A点的竖向位移Av和水平位移加。设圆弧AB

为'个圆周，半径为R,EI为常数°

图5229

解，（1）A点的竖向位移Av

百A点施加一个竖向的虚设力，虚设力状态和外荷载作用下的应力状态，如图5・2・30所

小0

虚设力状态图实际状态图

图5-2-30

求解得到用人二-Asin。，/弘,人二-八代热】仇则A点的竖向位移为

(-FpRsin。)(-Rsinff)0..s

&=L---------------EI-------x血”而(])

(2)A点的水平位移AH

虚设力状态如图5-2-31所示：

图5-2-31

图中=・(/＜■凡，＜＞卬)，外力荷载同上，则A点的水平位移为

(-F,.Ksin0)[-(R-]

RdO=

El

5・14试求图5・2・32所示曲梁B点的水平位移AB,已知曲梁轴线为抛物线，方程为

EI为常数，承受均布荷载q0计算时可只考虑弯曲变形,设拱比较平，可取ds=dx°

q

tH1HNN111HI口t

图5-2-32

M=1Xy=y

解：在B点施加水平虚设力，则任意点的弯矩为

M产生当

外力荷载作用下，梁任意点的弯矩为

则B点的水平位移为

二i%

5-15试用图乘法解习题5-7。

解：（a）外力荷载下的弯矩图如图5・2・33所示。

图5-2-33

①A点的竖向位移

A点施加竖向虚设力，则弯矩图如图5-2.34所示。

图5-2-34

“4Jxixg兄_3.

与Mp图乘：I326,对应的形心”=彳'，所以位移为

②A点的转角

1

A点施加虚设单位弯矩，则弯矩图如图5-2-35所示。

图5235

与瓦图乘：4相同，对应的形心为，I所以位移为

a'=i/X6X1=6A7(U)

③C点的竖向位移

祝图

虚设力的弯矩图如图5-2-36所示。

图5-2-36

对应外力荷载的弯矩图为如图5-2-37所示。

图5-2-37

图乘时，把图分解成儿-4两个图形，其中:

4A2"_32Xx2'xX逛8"酒-96

迎

32

阳=焉任/0+2*亨x力守x9亨xO卜?嚏x1

=黯⑴

C点竖直位移为

注：用到了两个矩形图乘的公式。

b

图5-2-38

△=」—(2ac+2bd+ad-be)

6EI

上图中两个图形的图乘结果为

④C点的转角

虚设力的弯矩图如图5-2-39所示。

1

A

图5-2-39

图乘结果为

(b)弯矩图如图5-2・40所示。0

图5-2-40

分别与MP图图乘可得

品寺号停号+全卜第(I)

n11/%,K7/,、

^=E/X7X7XTX1=8E/(U)

11//

cEl222

14x1x^xl

6c=

El222

5-16试用图乘法解习题5-8。

解：(a)作虚力弯矩图和外荷载弯矩图，如图5-2-41所示。

图5-2-41

M,图分解为Ai+4两个图形，其中

9”(，/2)[”

2x

3r8-96

图乘求其跨中挠度为

A/^-x—x—+^-x—1x2-^—(।)

dv"E/(32X3X4+96X8)X2^384E/U,

力图M，图

(b)作虚设力弯矩图和外荷载弯矩图，如图5・2・42所示。

图5-2-42

直接图乘，得出跨中挠度

金4(景小齐»二哥I)

5-17试用图乘法求图5-2-43所示梁的最大挠度Uo

图5-2-43

解二作出虚设力和外荷载的弯矩图，如图5-2-44所示。

图5-2-44

L''=E/（^444X6）x2+A71（6+4）X64x^|x2

册⑴

对两个图进行图乘即可求出梁的最大挠度

5-18试求图5-2-45所示梁在截面C和E的挠度。己知E=2.0xlOsMPa,h=6560cm，,

h=12430cm4o

|30kN

卜2m十2m

图5-2-45

解：（1）C点的挠度

虚设力和外荷载的弯矩图如图5-2-46所示。

图5-2-46

IT浮乂枭60+°^^*/*叫+册[(L5+O.5)x4x；x6()]

80240]<Q,।、

二4-I.八「川（.）

EI】EI2

则可以求得c点的挠度为

（2）E点的挠度

虚设力弯矩图如图5-2-47所示，外荷载MP图与（1）中相同。

2

万图

图5-2-47

则E点的挠度为

=12XX6()X2+(1+2)X2XX6X2

£/1(23)A[2°]4VS

=2.06cm(I)

5-19试求图5-2-48所示梁C点挠度，已知FP=9000N,q=15000N/m,梁为18号工

字钢，I=1660cm4,h=18cm,E=2.1xl0SMPao

F.................?...................

卜。9ml一l.5m十L5mT

图5-2-48

8.lkN-m

必图/『一、、

DA\C|16.875/fl

"图

解：分别作虚设力和外荷载下的弯矩图，如图5・2・49所示。

图5-2-49

将MP分解为只有均布荷载作用下的弯矩图和只有FP作用下的弯矩图，然后分别与虚设力

弯矩图做图乘，得C点挠度为

^1()-、(2XVX15X16.875xO.75yxO.75xl.5x8.1j

E1l\38

323on(I)

1660x2.1xIO

20kN/m140kN20kN/m|40kN

JW)

B攵C

4m4m・।I2Tm।

5-20试求图5-2-50所示梁C点挠度。已知EI=2xl08kN<m2o

图5-2-50

解.：作虚设力和外荷载的弯矩图，如图5-2-51所示。

图5-2-51

两个图进行图乘，得到C点的挠度

x=r7^(2x4()x()-2x8()XI+80x0+40x1)-yx4x40x

6也/kl

4

+而(-2x80x1+2x120x2-80x2+120x1)

2)4(-|x2xl0xl

12()X2XXYX

4(■J

=l.()()cm(1)

片

E4J8

5-21试求图5-2-52所示梁B端的挠度。

图5-2-52

解：为了计算简便，本题采用“修补法”。

先将AB整体看做一个刚度为EL的杆件，求出其端部位移

4117,2

品“万x/x/x一八r/蔺

再端部的长度为a的一部分就行修补，把这一段看成一个刚度为(Eb-Eh)的杆件，求端

部位移

/_L__L

\El2EhMP,

%A=MA+AA般3以

将两个位移相加，得到B点的挠度

5-22试求图5-2-53所示刚架A点和D点的竖向位移。己知梁的惯性矩为21,柱的惯性

矩为I。

图5-2-53

解：注意梁和柱的刚度不同，因此图乘的时候要分开计算。

（1）A点的竖向位移

作虚设力和外荷载的弯矩图，如图5-2-54所示6

图5-2-54

△L5(/X4XMX：X4)+=(8«x3x4)=甯(1)

两个图进行图乘，得到A点的竖向位移

(2)D点的竖向位移

作虚设力的弯矩图如下图5-2-55所示，-Mp图与(1)相同。

图5-2-55

A：=为xyx2x2x/-1-x27+-?-x8”)+:x3x8(/x2

I2.1小I）

一痛x于x-x铲X29x2

16153.6%।、

=田=~^（1）

两个图就亍图建得到D点的竖向位移

5-23试求图5-2-56所示三较刚架E点的水平位移和截面B的转角。设各杆EI为常数。

图5-2-56

解：（1）E点的水平位移

作虚设力和外荷载的弯矩图，如图5・2・57所示。

3c^rrTrnTH、।

ET

B

r

i

T

T

r

图

\7M图

图5-2-57

A,=±(9gx6x!xyx3jx4+前yx6x4.5q"5)=~：："(—»)

对两年图进行图乘，得到E点防水平位移

(2)B点的转角

虚设力如图5-2-58所示，外荷载的弯矩图如图与(1)中相同。

图5-2-58

对两个图进行图乘，得到B点的转角

5-24试求图5・2・59所示结构B点的水平位移。

图5-2-59

解：

分别作出虚设力和外荷载的弯矩图，如图5-2-60所示。

图5-2-60

其中梁的刚度为无穷大，因此在图乘的时候不考虑梁上的作用，对两个图进行图乘，得到

B点的水平位移

△“师(36”6x小枭6卜费(t)

5-25试求图图5-2-61所示结构C点的水平位移AH,竖向位移小，转角0。设各杆EI与

EA为常数。

(a)忽略轴向变形的影响。

(b)考虑轴向变形的影响。

图5-2-61

解：(a)忽略轴向变形的影响

分别作出虚设力和外荷载作用下的弯矩图，如图5-2-62所示。

力

V7777/

以

HTHmTr^

B

A

%图

图5262

分别用立图与图进行图乘，得到相应的位移：

水平位移：与“#八"扑蜜㈠；

x/,x/)=

竖向位移：4=必用"/吟*1■川山用""；；；"(1)；

［

o।,r/।1।».।.、A,./(/+2/1)

转角：^=A7(A'/X/X2X|+A,/X，，XI)=2EI'L)

（b）考虑轴向变形的影响

分别作出虚设力和外荷载作用下的轴力图，如图5-2-63所示。

iiiiiiiiiaiiiiii..!'

三

三

至

三

嬴

用图3心图

图5-2-63

分别用八•和/图乘，计算出相应的位移，与（a）中的相加即可。

Fp/i2/

计算水平位移时，图乘结果为0,因此水平位移，和（a）中相同，为》尸石/

,L…,2Fj(l+3h)F7(l+3h)弛小

竖向位移，为'-百J"''一"3£/3日防(口

W+2A).、

6

集中力矩不产生轴力，因此转角与（a）中相同，为--2ET

5-26试求题5-8简支梁截面A和B的相对转角X

8

图

万图Mr

解，（a）分别作虚设力和外荷载的弯矩图，如图5。2・64所示。

图5-2-64

将两个图进行图乘，得到A、B的相对转角

△4代《金川+枭泉枭1卜2=备（。）

.%图

（b）作出外荷载的弯矩图，如图5・2-65所示。虚设力的弯矩图方图和（a）中相同。

图5-2-65

对两个图进行图乘，得到A、B的相对转角

44件亭91卜2=瑞（。）

5-27图5-2-66所示框形刚架，在顶部横梁中点被切开，试求切口处两侧截面A与B的

竖向相对位移4,水平相对位移&和相对转角设各杆EI为常数。

q

4

三

三

日

|

1二

图5-2-66

百用2

解：作出三个虚设力下的弯矩图，如图5・2・67所示。

图5-2-67

作均布荷载下的弯矩图，如图5.2-68所示。

M•图

图5-2-68

观察，图1是反对称的，而拉P图是正对称的，则图乘结果相加为0,所以竖向相对位移

白内；图2、图3都是正对称的需要图乘计算。

.n1r1../11.225.2\2.1；2I；/5.2

4=-2x^x[yx/x/x(Txp/+TxT7/)-yx/x?7/Xy/+yx-7/x

Z-^-XyXX/j

“需"。⑼7*(­)

水平相对位移

相对转角

A=p)x2xJxx/-Yx/x；“x：/-x

/S/L3ZoZ\OO/J5LoJ

fxi9/2]

%=L167a6

5-28试求图5-2-69所示结构中A、B两点距离的改变值A。设各杆截面相同。

图5269

解：在A、B两点施加虚设力，作虚设力和外荷载的弯矩图和轴力图，如图5-2-70所示。

00

I1

图5-2-70

x（与+枭2局）

x2+2aXFvax28d

F/Ra3,T、

,为二9⑻5方（［）

图乘计算，两点距离改变值为

5-29设图5-2-71所示三较刚架内部升温30℃,各杆截面为矩形，截面高度h相同。试

求C点的竖向位移人。

图5-2-71

解：在C点施加-个竖向的虚设力，产生的弯矩和轴力，如图5-2-72所示。

33

33FHIIIIIIIIIIlSlIIIIIIIIIIIHH

一

一

A/图

图5-2-72

A='^^Mds+1叫］人小

代入温度变化引起位移公式

.ax30/41A,1八1080a/)、

Ac-----j-(3ox6x—x41-ax!5l—x61x41="----1o8n0a(|)

C点的竖向位移为

5・30在图5・2・73所示简支梁两端作用一对力偶M,同时梁上边温度升高匕，下边温度下

降匕。试求端点的转角8。如果8=0,问力偶M应是多少?设梁为矩形截面，截面尺寸为

b-ho

MiM

截而

图5-2-73

解：本题可先认为M已知，求出结构的转角色再令6=0,解出M即可。

（1）在端点施加一个虚设弯矩，作出虚设力和外荷载的弯矩图如下图5-2・74所示。

M

M，图

图5-2-74

叫x21Mll.al

吗KG)—X/XT=2E/-T(fM)

分别计算外荷载和温度引起的转角并叠加，得

(2)令6=0,解出M

2Kit.a

业.旦0l/=

2A7h~F

5-31题5-3中的三钱拱温度均匀上升to试求C点的竖向位移人和C较两侧截面的相对

转角Az,拱轴方程为

图5-2-75

（1）C点的竖向位移

在C点施加一个竖向的虚设力，如图5-2-75中虚设状态图1所示。

在虚设力的作用下拱结构上没有弯矩，只有轴力。各个位置的轴力为

F、二一F^in(p-Fj|C()s^=-了siw一1又陟

4=\a/JA\(k=口“(-y-sin^-ds

代入公式，有

计算中取：si“ds=dy,c。喋山二（k,计算得

(2)在C点两侧施加虚设单位力偶，如图54-75中虚设状态图2所示。同样拱结构中

G卜、=-y1cos(p

只有轴力作用，各位置的轴力为

同(1)中原理相似，代入公式积分得到C点两侧的相对转角

5-32题5-10中桁架的下弦杆温度上升to试求C点的竖向位移Aco

解：在C点施加一个竖向的虚设力，结构的轴力图，如图5・2-76所示。

图5-2-76

下弦杆整体温度上升，因此代入公式，积分计算可以求出C点的竖向位移

△c=oilx—x2r/x2=2a/rf(I)

5.3名校考研真题详解

一、填空题

1.图5-3-1(a)所示桁架结构C点的竖向位移Avc=°［中国矿业大学2009研］

(a)(b)

图5-3-1

【答案】等I)

【解析】本题为非对称荷载，因为A支座处有水平反力，而B支座没有，可将荷载分解

为正对称和反对称，如图5-3-1(b)、(c)所示。其中反对称荷载下C点竖回位移为零,

只需计算正对称荷载下C点的竖向位移。在C点加一竖向单位力，求出/'w、底,如图

5-3-1(d)、(e)所示，则C点的竖向位移为

Fp/2X(1/2)Xd

△wX4-EA(4)

2,图5-3-2(a)所示结构中支座A转动，角，则截面A弯矩MA=,截面C转角°。

=。［哈尔滨工业大学2007研］

图5-3-2

【答案】o；W3

【解析】画出结构的位移图，如图5—3-2(b)所示，可以看出截面c转角为“，逆时针

转动6

也可以应用虚功原理，在C点加一虚单位弯矩，画出万图，如图5・3・2(c),由刚体的

虚功原理，列出方程得

乂令=

1xQ(:+1O=>0C=-^(U)

二、选择题

1.图5-3-3所示结构中截面C转角比与截面E转角现为()。［西南交通大学2012

研］

11.5kN/m

A,4等于0,，•顺时针B.%等于0.逆时针

C,拆顺时针,“等于0I）.仇等于0.4等于0

图5-3-3

【答案】B

【解析】上层为附属部分，下层为基本部分。CD杆传下一个集中力，作用在AB杆的中

点，为对称荷载，对称轴处的转角为零，即a=0,但是却有竖向位移；上层的DF杆承

受均布力，也是对称荷载，荷载引起的E点转角为零，但由于D支座随着C点有竖向位

移，相当于支座沉降，引起DF杆逆时针转动。

2.图5-3-4（a）所示结构，各杆EI、EA均为常数，线膨胀系数为a。若各杆温度均匀

升高t℃,则D点的竖向位移（向下为正）为（）。［浙江大学2012研］

图5-3-4

A.-ata

B.ata

C.2ata

D.0

【答案】B

【解析】在D点加一向下的虚单位力，求出各杆弯矩和轴力，如图5-3-4(b)、(c)所

示，则D点的竖向位移为

=«/()IA\(l.s+.!/(l.s=a/x1x〃+0=afa(1)(其中环-t.At=0)

三、判断题

1.图5・3・5所示简支梁，当FPI=LFP2=0时，1点的挠度为Q0I65/3花/,2点的挠度为

0.077尸〃,7。当Fp】=0,FPZ=1时，则1点的挠度为0.021//也7(其中F”作用在1/4

图5-3-5

【答案】错

【解析】由位移互等定理，1点的挠度应等于0.07713/EI。

2.无法用图5-3-6所示单位荷载，来求图示结构中K点的全位移，()［北京科技

大学2008研］

5

图5-3-6

【答案】对

【解析】只能求水平方向的位移。

四、计算题

1.计算图5・3・7所示结构B点的水平位移，EI=常数。［华南理工大学2011研］

图5-3-7

解•：先求实际荷载作用下的内力，再求虚设单位荷载下的内力。

先求Mp图,如图5・3-8所示。

图5-3-8

建立虚设力状态，绘制工图，如图5・3・9所示。

图5-3-9

求位移，不考虑结构的轴向变形，则白=［鬻小用“图乘法,，得

-2qaA

EI3223EI

2.试求图5-3-10(a)所示结构中截面B、C的相对竖向位移。EI=常数。［福州大学

2011研］

解：在B、C两点加一对方向相反的单位力1,作MP图和立图，如图5-3-10(b)、(c)

图5・3-10

截面B、C的相对竖向位移为

=A(-1X2X4OX2X|-4x4X40X2x4

+^X4X4OX4--|X4X2OX3)=O

3.图5-3・11(a)所示结构,荷载Fw已知，杆件C端与地面光滑接触,问FPZ为何值时

C端离开地面？(EI=常数)［武汉大学2010研］

图5-3-11

解：分别画出外荷载FPI、FP2单独作用下的弯矩图，在C点加一竖向虚单位力，画出万图,

如图5・3-11(b)〜(d)所示。

£”二卜;广2x2X~X~61IS7SET(］)

在FPI作用下"点而竖向位移为

在FP2单独作用下，C点的竖向位移为

令4/7-2A7,可求得当仁一24也时，C端离开地面。

4.图5-3-12(a)所示悬臂梁要考虑剪切变形的影响，EI、GA为常数，剪切系数k=1.2,

试求自由端的竖向位移。［天津大学2008研］

图5-3-12

解：在自由端加一竖向单位力，画出"图、"图、%图，如图5-3-12(b)-(f)

所示，弯曲变形和剪切变形引起的位移都可以用图乘法。

上“■。器・国卜力X亨X%齐，X，X与X扑X

弯曲变形引起的位移为

1.2I/勺1I.1.8/