机电系统计算机控制哈工大课件

机电系统的计算机控制

（28学时学位课）

主讲：陈维山，董惠娟

教材：机电系统计算机控制

陈维山赵杰编著

哈尔滨工业大学出版社

1机电系统参数及动力学基础

performance-dependentmechanicalfactors:驱动力矩、负载、摩擦力、

摩擦力矩、间隙、刚性、惯性、共振频率、传动比对控制系统的影响，如摩擦对

系统的稳态误差的影响、对系统的稳定性、快速性等动态性能的影响。

2.机电系统的模拟控制技术

直流电机驱动

直流电机的静态方程以及动态方程

转速闭环直流调速系统稳态设计

转速闭环直流调速系统动态分析与校正

电压反馈直流调速系统的分析

双闭环直流调速系统

3.步进电机

步进电机性能指标

步进电机性能分析

步进电机驱动

步进电机环形分配器设计

1.绪论

•机电一体化技术的概念、特点、发展

•机电一体化产品及特点

•机电控制系统的分类

•计算机控制系统一般要求

2信号采样与Z变换

•计算机控制系统的信号形式

•信号采样与保持

采样信号、采样定理、量化与量化误差、孔径时间、零阶采样保持器

・z变换

Z变换与差分方程、Z变换定义、性质、常用定理、方法、Z反变换的方法、求

解差分方程

3计算机控制系统分析

•脉冲传递函数

开环系统脉冲传递函数、闭环系统脉冲传递函数

•计算机控制系统性能分析

稳定性分析、稳态误差分析、动态响应分析

4数字控制器的模拟设计方法

•PID控制规律的离散化方法

模拟PID控制规律的离散化

PID控制规律的脉冲传递函数、

PID控制规律的其他离散化方法

PID控制规律的工程实现

PID控制器的设计举例

按二阶工程设计法设计数字PID控制器

控制器的前向差分、后向差分、图斯汀变换的比较

•PID控制算法的改进

防止积分饱和的方法、微分项的改进、抑制干扰的数字PID、

数字滤波

•数字PID控制器的参数整定

•数字控制器的等价离散化设计

5最少拍无纹波系统设计

1.1机电一体化

机电一体化技术*

主要研究机械技术与电子技术的结合规律，又称机械电子

(mechatronics)，既不同于机械产品，又不同于电子产品，是与微处理器相结

合的电子产品。

泥舔罐般备多功能、高效率、高智能、

计算机外设、办公自动化设备、微细加工设备、数控机床、数控加工

中心、机器人、射压成型设备、武器系统、航空航天、航海设备、家用电

子机械、电动玩具等。

产品发展方向：轻、薄、细、巧

机电一体化系统：

是把电子、机械装置、计算机、检测与传感装置以及软件等有机结合而构

成的系统，即机械、电子、检测与传感、信息处理、接口和软件等部分以系统

的观点进行结合而形成的一种新型机械系统

L2机电一体化系统分类

控制系统按信号形式分类：

1)连续控制系统：所有信号均为连续信号。

G(s)：负载、负载台体、执行电机、驱动电路等

,,,

M=J0+B3+K3+M()

2

M(S)=JS3(S)+BSB(S)+K0(S)+Mo/S

e(s)1

M(S)-MJS~JS2+BS+K

其中，M)为工作力矩，

角位置伺服系统K为系统的刚度变形

K,〃为电机的转矩系数

K”为放大器的放大倍数

?机电一体化系统分类

2）离散控制系统：所有信号均为离散信号。

3）采样控制系统：既有连续信号，又有离散信号。

4）数字控制系统：含有数字信号——计算机控制系统

币）+C仪/）I------1J--------1J⑻I------1%）,小）

>4A/D—*加0~*1D.AI~»5门------

采样开关可以在不同位置

信号

图形表示图中各点信号

时间幅值

/

连续模拟量A,1

f

T2T3T

离散连续e1B

T2T3T

q2q3q

离散离散C,G

1__4

T2T3T

i

(X)l()1()Oil

离散数字量t1D,F

T2T3T

------:

连续阶梯形模拟量上H

T2T3T

13计算机控制系统

1.3计算机控制系统:

计算机控制系统：含有计算机并且由计算机完成部分或全部控制功

能的控制系统。

计算机在控制系统中的应用分两个方面：

离线应用：对控制系统进行分析、设计、仿真以及建模——控制系

统CAD

在线应用：用计算机代替模拟控制器，使其成为控制系统的一部分。

,3」计算机控,rpjj55^2东2

1.3.1计算机控制系统组成:

等

软件组成：系统软件、应用软件

1.3.2计算机控制系统分类：

1.按功能分类

1）数据采集和数据处理系统（操作指导系统）

注意：可以用于辅助建模。也就是所有计算机控制系

统均有数据采集和数据处理的功能。

-

果

IT元x

计a件

A

算

对

机象

打印机I

图1.3操作指导控制系统组成征图

2)直接数字控制系统・DDC(directdigitalcontrol)

计A/D

转换器采样器元件

工

业

"卜输出自描地址对

算

象

输出执行

转帙群口描机构

机

摊作台

也出扪指地址j

计算机控制系统分类

3)监督控制系统・SCC(supervisorycomputercontrol)

SCC+模拟调节系统

SCC+DDC系统

A«D

转换器采伴器

TZ元件

数据工

业

输出扫描地总对

象

录

记DM输出模报执行

示

显转换器扫描调节器机构

印

打

埔出门借地址

艺

据

SCC

计工

业

算对

家

机

记录

显示

打印

(b)

L32计算机控制系统分类

2.按控制规律分类

1）程序和顺序控制：程序控制是指根据输入的指令和数据，控制生产

机械按规定的工作顺序、运动轨迹、运动距离和运动速度等规律而

自动完成工作的数字式自动控制。主要用于机床的自动控制。

2）比例积分微分控制（PID控制）：目前应用最为广泛、也是广大工程

技术人员所熟悉的控制规律。

3）最少拍控制：调节时间最短为技术指标。

4）复杂规律的控制：充分利用计算机的强大计算、逻辑判断、中断以

及学习功能。如串级控制、前馈控制、纯滞后补偿、多变量解耦控

制以及最优、自适应、自学习控制等。

5）智能控制。

6）模糊控制。

L32计算机控制系统分类

4）分级计算机控制系统

1.4计算机控制系统的一般要求

1.4计算机控制系统的一般要求稳定性精确性快速性

1.4计算机控制系统的一般要求

性能指标(performancespecification)

(1)被控对象的最高运行加速度

(2)被控对象的最高运行速度

(3)最低平滑速度

(4)静差率s或转速降落：最低速度仍具有负载能力

(5)对阶跃信号输入下系统的响应特性：在阶跃信号作用下，系统的

最大超调量和响应时间(wj。

(6)通频带宽要求：国内一般用双十指标。

(7)对系统可靠性以及使用寿命等的要求。

(8)对环境、成本、通用性、标准化程度、效率、维护维修、结构尺

寸以及安装条件等的要求。

1.4计算机控制系统的一般要求

稳定性、稳态误差、动态响应，与连续系统的区别是受采样周期的影响。

1.稳定性

对于稳定系统，当输出量偏离平衡状态，应能随着时间收敛，并

且最后回到初始的平衡状态。稳定性是保证控制系统正常工作的先

决条件，与系统输入无关。

稳定判据之一：（s平面和z平面的相互关系）

（定义）闭环传递函数的极点在左半平面3闭环脉冲传递函数的极点的模小于1

z=esT

1.4计算机控制系统的一般要求

线形连续系统和线形离散系统可以分别用高阶微分方程和差分

方程来描述。例如，力矩平衡方程:

re

册»〃)+册—(〃T)+…・…+劭机)+^-ir(m-1)+……+*+%

nx

(aGn+an_xs~+...+axs+a^Y(s)

=+2一5,1+…+仇s+d)H(s)+以(s)

yG)=---------------------------------

令输入为0+4〃_]S50

ClnS+…+。]+。

M(s)

(s-p^s-p2)--(s-pn)

A

A.An

s—Pis-p2s-pn

n

i=\

1.4计算机控制系统的一般要求

n

Pit

y（t）=^Are

Z=1

其中，高次代数方程的根一般为复数，

假设Pi=S+jo）

.几

则，y。）=Z4,=Z4.（c°scot+ysincot）］

Z=1Z=1

若所有的根具有负实部：｝吧y⑺=°

若特征根（极点）是在左半平面，离虚轴越近，阻尼越小，超调量越

大，系统达到稳态所需的时间越长，其稳定性能差。

线形离散系统：特征根（极点）的模越大（小于1）。。。。。。

1.4计算机控制系统的一般要求

线形离散系统：

•向后差分

aQy(kT)+y(kT-T)+....+any(kT-nT)=

b()r(kT)+bxr(kT一T)+....+bmr(kT-mT)

D(s)稳定，一定稳定

•向前差分

aQy(kT+〃T)+%y(左T+nT-7)+....+〃〃、(左7)=

bGr(kT+mT)+b]MkT+mT-T)+....+bmr(kT)

其中，n>m

D(s)稳定，。⑶不一定稳定

1.4计算机控制系统的一般要求

稳定判据之二：劳斯判据routh

稳定判据之三：bode图

asmwt-----►!~~GCv)->bsin(wr+0)

振幅比：g=201g(b/a)(db)

响应滞后时间

相位差:e=360°x

输入周期

1.4计算机控制系统的一般要求

1.4计算机控制系统的一般要求

稳定判据之三：9双线性变换令bode图

稳定裕度(幅值裕度,相位裕度)

UoG)

在相角-180°时，如果201g|G(s)|<0,即G(W)<-1,这时开环传递函数G(s)=<-1,系统的输出为收敛的。

Uj(s)

1.4计算机控制系统的一般要求

在相角-180°时，如果201g|G(s)|=0,

即G(加)=-1,这时开环传递函数G(s)=〃幽=-1,系统的输出为等幅振荡。

U,(s)

在相角-180°时，如果201g|G(s)|=0,

即G(jW)=-l,这时闭环传递函数的分母l+G(s)=0,系统的最后输出为无穷。

1.4计算机控制系统的一般要求

在相角-180°时，如果201g|G(s)|>0,

即G(/w)〉-1,这时开环传递函数G(S)=〃3〉-1,系统的输出为发散振荡。

Uj(s)

注意：横坐标是对数坐标。

1.4计算机控制系统的一般要求

系统的稳定性由中频段描述。

对于一个不稳定的系统，常采用滞后校正(中频率段)，

G(s)=^^(OY”1)

Ts+l

w

y=-201gw+201gy

•中频段以-20dB/dec的斜率穿越零分贝线，而且这一频段具有足够的宽度,

则系统的稳定性好。

・截止频率(或称剪切频率)越高，增系统的快速性越好。

1.4计算机控制系统的一般要求

2.精确性(steadystateerror)

即控制精度，以稳态误差来衡量。指以一定变化规律的输入信号作

用于系统。当调整过程结束，趋于稳定时，输出量的实际值与希望

值之间的差值。它反映了动态过程的后期性能。

+K

2L=*-------1...........

u1+K1+7s/(l+K)

y(5)=』⑸U(s)=--—U(s)=k

a------U(s)

1+G(5)\+Ts+k\+k1+Ts/(1+左)

1+Ts1+T51

成-—小)=工^”

\+Ts+ks

e(oo)=limsDE(s)=——

—°\+k

如果开环增益值为无穷大，则稳态误差就会变成。

y(oo)=lim5J7(5)=K0

Sf01+%

1.4计算机控制系统的一般要求

拉氏反变换得到e(t),则稳态误差G=lime⑺

r—>00

利用终值定理，则稳态误差:ess（°°）=lims.E（s）

5—>0

ess（°°）=lim（Z—1>E（Z）

说明：求稳态误差的前提z->l

e（°）=limE（z）（初值定理）

稳态误差为0的含义z—>00

稳态误差为无穷的含义

终值定理的含义

系统的稳态精度由低频段描述。

低频段斜率陡，增益高，系统的稳态精度高。

(低频段斜率越陡，含有的积分因子越多，对于同一输入，稳态误差越小)

1.4计算机控制系统的一般要求

3.快速性

系统的动态指标，即当系统的输出和输入之间产生偏差时,

消除这种偏差的快慢程度。

动态指标包括：超调量o%(overshot)、调节时间ts、峰

值时间tp、振荡次数N

U

y

0A

1.4计算机控制系统的一般要求

y«p）-y（8）

y（8）

%=0.16+0.4x(吃+1)

71o

”一[2+1.5x(Mr-1)+2.5x("If]

为了提高快速性，常采用超前校正（中频率段）：d5）=答1(1YOY15)

Ts+i

“L(W)

y=20lgvv-201g-^―

.aT

5

1/aT1/T

T

7-

2.1计算机控制系统的信号形式

例:对一非纯阻性元件两端的余弦电压和电流信号进行计算机采集，计

算其电压和电流的相位差。

已知:余弦电压频率/，采样频率例（采样周期（）,被采样电压U.5）和电流/〃5）

贝I」：U.5）=UmaxC0S%n=1,2,3......

电压采样值两个连续采样点极性不同过零点分别设为（％,U0）和

计算过零点时间：

r_tQul—tluoy

I-III

U「U°_/Illi:

一丁——__

贝U：q的相位囚=（匕T'）G=

的相位％=①（〃一1）（+0n=1,2,3……

同理，两个连续采样点极性不同过零点计算L的相位外

电压上⑺和电流/〃⑺的相位差：=以〃一1）7；+0-外

如图：n=5

2.2信号采样与保持

2.2信号采样与保持

2.2.1采样信号

1）3函数及其性质（脉冲函数）

foot=0

5。）=《

[0twO

3函数的采样性质或筛选性质

，+00

W）力=/（o）

—00

2.2.1信号采样

+00

5(。/。)力=/(0)

」一00

f+00

J—00

」■p+oo

同理：［kT)/⑺力二/(kT)

J—00

2）理想采样开关的数学描述--单位脉冲序列

5T6=……++女7)……+6(，)……+3(t-kT)

,00

=Eb(t—kT)

—oo

2.2.1信号采样

3）理想采样信号的时域描述

+00

+00

=E/（kHT）

—00

222采样定理

222、采样定理

1）采样开关的傅氏级数

给定任意周期函数，满足狄里赫利条件，则可

以展成傅氏级数

+001X0k

其中，⑺^=—

—0012I

+00

例：将单位脉冲函数序列一左7）展成傅氏级数

一00

2.2.2采样定理

<e）基流"十”三次谐波“十”五次谓波基波"+"三次清波“+”五次谐夜七次漕波

2.2.2采样定理

2）理想采样信号的傅氏积分:

（丁⑺为连续周期信号）

于飞）=小）不⑴

1丁00

1—00

1丁8

尸（S）尸。+共叫）

尺—00

2.2.2采样定理

连续周期函数频谱和其采样函数的频谱:

(-)连续频谱

9,

2.2.2采样定理

连续非周期函数（具有无限频谱）频谱:

随着频率的增加，正弦信号的幅值减小

w〈为）1

小。）

例：设连续函数/⑺=/oexp（T/u）"=O.Ol秒，取gJ靠x）=0.05,

£为信息损失率，求最高有限频谱？（答案：1997rad/s=320Hz）

2.2,2采样定理

3）采样定理

a）被采样信号b）调制过程c）采样信号

思考：什么时候不需要采样保持器?

2.2.2采样定理

采样定理：

对于一个具有有限频谱的连续信号（周期连续信号）/⑺进行采样，

若采样频率4满足

①

s—2%1ax

再通过一个理想的低通滤波器，则采样信号/⑺能够不失真地复现

原来的连续信号/⑺。其中以皿为原信号/⑺有效频谱中的最高频率

2.2.2采样定理

ToolsDesktopWindowHelp

加举例：0C®建□目」□

loaddataOl.txt

load_data=dataOl

subplot(2,1,1)

plot(load_data)

Y=FFT(load_data,512)

/=100000*(0:256)/512

subplot(2,1,2)

p/o/(7,Q加(Y(1:257)))

gridon

采样频率100KHZ,采样点数512。下图频谱分析图中，基于采样定理，只分析0-50KHZ,

50-100KHZ的频谱是什么？为什么？

2.2.2采样定理

问题：采样512数据，并进行FFT,幅度谱有哪些特点？可以得到多少个频率点

的谱密度？分别是哪些频率点？（0〜511）100000/512Hz

2.2.2采样定理

FFT频谱分析实例：对如下有限长序列进行了谱分析：

X(H)=sin(2»-100n)+sin(2»•150”)+sin(2»•250〃)

〃=1,2,...,100

r=0:0.001:1;

x=sin(2*pi*100*f)+sin(2*pi*150*。+sin(2*pi*250*r);

subplot(2,T,D;

plot(x);

y="(x,512);

f=1000*(0:255)/512;

subplot(2,1,2);

pE(/,“bs(y(l:256)));

gridOH;

2.2.2采样定理

问题：为什么下图关于500Hz对称？与100Hz、150Hz相比，为什么250Hz

的频率谱密度更窄?250/(1000/512)=128

150/(1000/512)=76.8

2.2.2采样定理

对如下有限长序列进行了谱分析（采样频率1KHZ）:

X(H)=sin(2»-100H)+sin(2»-150H)+sin(2»•650〃)

H=1,2,...,100

01002003004005006007008009001000

问题：650Hz正弦信号幅度谱出现了严重的失真现象（频谱混叠），为什么?

2.2.3量化和量化误差

2.2.3量化和量化误差

c-«/max-«Anin_«Anax-«Anin

二2一一N

f=Lq+s

其中L为整数。对于余巍（£<q）有两种处理方法,

截尾

0<8<q

舍入

-qll<8<qll

2.2.4孔径时间及采样保持

2.2.4孔径时间及采样保持

1）孔径时间

例如：一个10位的A/。转换器，量化精度为0.1%,孔径时间为10

如果要求转换误差在转换精度之内，则允许转换的正弦模拟信号的

最大频率？

2.2.4孔径时间及采样保持

2）采样保持

3）模拟量输出保持器

2.2.4孔径时间及采样保持

4）零阶保持器

%=1（f）-1（"7）

1—Ts1—Ts

拉氏变换："o（s）=L——二二一

SSS

Ho（s）=T/于（低频,欧拉表达式）

H0（s）=—/（泰勒展开）

1-F-S

2

采样周期T的大小不同，注意外、入小的变化。

问题：零阶保持器等效为一个惯性环节，含义是什么？

2.3Z变换

2.3Z变换

线形连续系统：

d(〃)yd(〃T)yd(")r

a.+a,1--+....+ay=b+b1-+....+br

°dtn力〃T-l°(}力〃}力i"

线形离散系统：

aoy(kT)+axy{kT-T)+....+any(kT-nT)=bor(kT)+bxr(kT-T)+....+bmr(kT-mT)

aoy(kT+nT)+a1y(kT+nT-T)+....+any(kT)=bQr(kT+mT)+bxr(kT+mT-T)+....+bmr(kT)

其中，n>m

例：y(kT)+y(JcT-T)=r(kT)+2r(kT-2T)

kk>-f)

输入序列：，(4)=L1n初始条用(0)=2

0k<0

试用迭代法求解差分瘫。

2.3Z变换

例由传递函数求差分方程的表达式（用后向差分方法）

D(s)=3=kp+1

E(s)「

解：U(s)=k-E(s)+-­E(s)

pTjS

k

用后向差分方法离散：u(k)=kp-e(k)+—

TTj=i

Tk-l

u(k-l)=kp-e(k-l)+--^e(j)

hj=i

u(k)=u(k-1)+kp(e(k)-e(k-1))+Je(k)

J-T

注意：可以用微分或积分的两种方法离散

2.3.1Z变换的定义

2.3.1Z变换的定义

0000

/⑺的采样信号表示为：/*«)=/⑺ZW%—kT)=Z以kT)3Q_kT)

k=0k=0

co

F*(s)=£j(kT)e-kTs

k=0

引入新的变量：z=*，则

00

F(z)=F*(s)=Zf(kT)厂

k=0

=L"*(心

13

=/(O)Z°+/(T)r+F(2T)z-2+f(3T)r+....

2.3.2z变换的性质和常用定理

2.3.2z变换的性质和常用定理

1)线性性质

若Z"]⑺]=F](z),Z[/2(r)]=外⑶,则

Z此⑺+队⑺]=aFx⑶+/⑶

其中私月为任意实数。

2)位移定理(/(左)=0,左＜0)

滞后定理：若脉冲序列延迟〃个采样周期，则

Z[f(k-n)T]=Z-nF(z)

超前定理：若脉冲序列超前〃个采样周期，则

71-1

Z[f(k+n)T]=Z"尸(z)—Zz〃一"(")

/=o

2.3.2z变换的性质和常用定理

3）初值定理：如果limb（z）存在，则〃［）或〃U）的初值/（。）为

Z->oo

J（O）=limFa）

z-00

4)终值定理：如果/*(%)的终值存在，则

limf(r)=f(oo)=lim[(z-l)F(z)]

z—>00Z—>1

例2-1：讨论差分方程——=-l<a<l

式中k<0时，/（左）=0,且1（左）是单位阶跃序列，求〃0）和/»

2.3.2z变换的性质和常用定理

5)非一一对应性：

z变换只能给出原函数的一连串离散的数值八左T),而不能给出

原函姆⑺，即z反变换的结果只和采样时刻的信息一一对应，而和

连续信号非一一对应

k1

6)迭值定理：g(k)=£y⑴，则G⑵==丫⑵

i=o1-z

2.3.3z变换方法

2.3.3z变换方法

表4.1N变换表

F3fST)或f(k\F5)

单位脉冲函数

1火力11%=01

六仃）=

Io"0

S^T-nT)=

5(.t-”丁)(1k=nN-*

\0A#兀

11_

1(*)

1(01—x-1

]1

e—“「MT

$+tl1一©一吟-1

17V7

tJtT

万(1-Z-1)2

7^7(1+1】)

2户(仃/

T-(1一LA

2.3.3z变换方法

1）级数求和法：

例2-2求/>⑺=5⑺的z变换，其中5。）为单位脉冲函数o

例2-3求单位阶跃函数f⑺=1⑺的z变换。

00

例2-4求单位理想脉冲序列分=Z3。-左T）的z变换。

k=0

注意：例2-3和2-4的z变换结果相同

2.3.3z变换方法

一八sinwtt>0,.

例2—5：求的z变换

0t<0

I

1

提示:sinwt=-(eJwt-e-Jwt)

2j

tt>0

例2-6：求〃力=一的z变换

0t<0

V

注意：下面的函数与例2-6的区别

求〃4)=[：的z变换。

[0左<0

、[kk>1,,

求人人)"的z变换

0%<1

2.3.3z变换方法

2）部分分式法

设连续信号/⑺的尸⑸

n

尸G)=ZA

Z=1s-ai

拉氏反变换得出/⑺为

n

Z=1

"z)=£4z

a：T

1

Z=1z~e

2.3.3z变换方法

例2-7已知b(s)=―--,求方(z)。

S(S+Q)

例2-8已知/(s)=下J，求方(z)。

s乙+Ia乙

1

例2—9求/(s)=------甘生变换

2.3.4Z反变换

2.3.4z反变换

ZT[F(Z)]=//)=/(AT)

/*«)=/(⑦心⑺

1）部分分式展开法

10z

例2-10已知方（z）=，求f（左）。

(z—l)(z—2)

2.3.4Z反变换

例2T已知姓）=1

,。为常数，丁为采样周期，求“公。

2）长除法

如果尸(z)是z的有理函数

7m.rm—1.7m—2.7

bz+》亿+bz+•••〃〃(、、

/(z)=Q~~~~2~------("Nm)

aoz+/z+电z+…4

并将商按ZT的升幕排列，

00

-1-2czk

F(Z)=CQ+qz+c2z+…qz"'+…=Zk~

k=0

f(O)=co,/⑴=0〃2)=。2，〃3)=q

2.3.4Z反变换

1A7

例2—11已知/(Z)=F—"--’求〃女)。

z—-3z+2

解：首先将分子分母按二的升幕排列，得

IQz-1

E(z)=

1-3/+2厂

采用长除法

10z-1+30Z_2+70Z-3+

1—3/+2厂)10/

lOz7-30z-2+20Z”

30Z-2—20Z「3

30z--90尸+60z”

70Z-3-60Z-4

70厂-210Z"+140Z-5

因止匕尸(z)=10zT+30z-2+70z-3+…

指令：num=[0,10,0]J

den=[1,-3,2]J

[y,x]=dimpulse(num,den)J

2.3.4Z反变换

3)反演积分法(留数法)

若/⑺的z变换为/⑶,则/(仃)=ZRe#1尸(z)]=Xlim[zi%z)(z-pi)]

i=lz=piz=lz—>pi

Pi为尸(z)的极点，即/⑺的z反变换为zJ尸(z)的各留数之和。

当尸(z)具有重极点，重极点的阶数为/

n-l]。-1)

f*T)=Zlim々J尸(z)(z-pi)]+lim”……[zi“Xz-pj)1]

i=l—pi—PjdZ

例2-12,求/⑵=2zS-b)的z反变换〃仃%/*⑺

(z—a)(z—b)

f*T)=Umz-尸(z)(z—〃)+Rmd"尸(z)(z—b)

Z—z—>人

2zk(a-b)2z\a-b)

=-------------------------H----------------------------

(D』—a)日

=2(ak-bk)

2.3Z变换

例2—13,求b（z）=^^——的z反变物（左T）,「⑺

z-4z+3

〃b）=limzi/（z）（z-1）+limzi/（z）（z-3）

z-z~~^3

k—\k—\

zz

二-----H-------------

（z"

1--11

=—J------

22

2.3.5用z变换求解差分方程

2.3.5用z变换求解差分方程

例2-14设一阶采样离散控制系统的差分方程为

c(k-\-l)-b-c(k)=r(k)

已知输入信号“女)=/,左20,初始条件为c(0)=0,求c(Z)。

解：对差分方程两边进行z变换，应用偏移定理得

7

zC(z)-zc(0)—人。(z)=R(z),R(z)=

z-a

代入初始条件c(0)=0

z1「Zz

Ci(z、)=-----------=-----------------

(z—〃)(z—b)a-b\_z-az-b_

进行z反变换得c(k)=--一(ak-bk)

a-b

讨论：c(k)的输出形式？如何收敛?

2.3.5用z变换求解差分方程

例2-15用z变换解下面的差分方程

x(k+2)+3x(k+1)+2x(k)=0

已知初始条件x(0)=0,九⑴=1,求九女).

解：对方程两边进行z变换，得

♦x(z)-z2x(0)--⑴+3次(z)-3^(0)+2X(z)=0

代入初始条件，并简化得

777

x()=-——=--------—

zz?+3z+2z+1z+2

对上式进行z反变换，得

%/)=(———(—2产

此方程的输入信号「伏)=0,响应是由初始条件激励的。

思考：x(k)的输出形式，即振荡还是单调？若振荡，则振荡频率是多少？是否收敛?

2.3.5用z变换求解差分方程

600

x(A)可以表示为：x(k)=cosk7i-2kcoskn

振荡发散，且振荡频率='=振荡周期Ts=2s

其中，采样周期T=ls

2.3.5用z变换求解差分方程

例2-16用z变换解下面的差分方程

x(k+2)-4x(2+1)+3x(k)=d(k)

已知初始条件x(左)=0,左40,求x(左).

解：对方程两边进行z变换，得

?X(z)-?x(0)-zx(l)-4zX(z)+4zx(0)+3X(z)=1

代入初始条件，x⑴=0并简化得

?X(z)-4次(z)+3X(z)=l

X(z)=-^——

z——4z+3

对上式进行z反变换，得

x(k)=彳(3)1--

22

问题:输出X(k)是如何发散还是收敛?

2.3.5用z变换求解差分方程

单调发散

例2-17由脉冲传递函数求差分方程的表达式

D(z)=幽＞=/+女Fj+z+l

43