2023届高考数学复习(新教材)增分微课(一)-构造法在解决函数、导数问题中的应用

增分微课(一)

构造法在解决函数、导数问题中的应用类型一导数型构造法增分微课(一)例1已知函数y=f(x)的导函数为y=f'(x),对任意的实数x,都有f'(x)>f(x)且f(1)=e,则不等式f(lnx)<x的解集为(

)

A.(e,+∞) B.(1,+∞) C.(0,e) D.(0,1)C

增分微课(一)

增分微课(一)D

类型二同构法构造函数增分微课(一)例2

(1)[2020·全国卷Ⅰ]若2a+log2a=4b+2log4b,则(

)

A.a>2b

B.a<2b C.a>b2

D.a<b2B[思路点拨]将已知等式2a+log2a=4b+2log4b按照“左右形式相当,一边一个变量”的目的变形,然后逆用函数的单调性求解即可;[解析]由题知2a+log2a=4b+log2b=22b+log2(2b)-1<22b+log2(2b),又函数y=2x+log2x在(0,+∞)上为增函数,所以a<2b,故选B.

增分微课(一)C

增分微课(一)[总结反思](1)在成立或恒成立问题中,有一部分题目是利用函数单调性构造出来的,如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数),那么无疑大大加快了解决问题的速度.找到这个函数模型的方法,我们称为同构法.例如:若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)]≥f[h(x)],然后利用f(x)的单调性,如单调递增,再转化为g(x)≥h(x),这种方法我们就可以称为同构不等式法(等号成立时,称为同构方程法),简称同构法.增分微课(一)

增分微课(一)C

[题组训练]❶

已知f(x)是定义在R上的奇函数,f'(x)是函数f(x)的导函数,当x∈[0,+∞)时,f'(x)<1,若f(2020-m)-f(m)≥2020-2m,则实数m的取值范围为(

)A.[-1010,1010] B.[1010,+∞) C.(-∞,-1010] D.(-∞,-1010]∪[1010,+∞)增分微课(一)B[解析]设g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f'(x)-1,当x∈[0,+∞)时,f'(x)<1,所以g'(x)<0,即函数g(x)在[0,+∞)上单调递减.又f(x)是定义在R上的奇函数,所以函数g(x)为R上的奇函数,故g(x)在R上单调递减,又f(2020-m)-f(m)≥2020-2m,所以f(2020-m)-(2020-m)≥f(m)-m,即g(2020-m)≥g(m),可得2020-m≤m,解得m≥1010,故选B.❷

若asina-bsinb=b2-a2-1,则(

)A.a>b

B.a<b C.|a|>|b|

D.|a|<|b|增分微课(一)D[解析]令f(x)=xsinx+x2,∵f(-x)=-xsin(-x)+(-x)2=xsinx+x2=f(x),∴f(x)是偶函数.∵f'(x)=sinx+xcosx+2x=x(cosx+1)+(sinx+x),令g(x)=sinx+x,则g'(x)=cosx+1≥0,∴g(x)单调递增,当x≥0时,g(x)≥g(0)=0,此时f'(x)≥0,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增.由asina-bsinb=b2-a2-1可得asina+a2=bsinb+b2-1,即f(a)=f(b)-1,∴f(a)<f(b),∵f(x)是偶函数,∴f(|a|)<f(|b|),∴|a|<|b|.故选D.❸

已知函数f(x)的定义域为R,且f(-1)=2.若对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为

.

增分微课(一)(-1,+∞)[解析]设g(x)=f(x)-2x-4,则g'(x)=f'(x)-2,因为对任意x∈R,f'(x)>2,所以g'(x)>0,所以g(x)在R上单调递增.因为f(-1)=2,所以g(-1)=f(-1)+2-4=4-4=0,由g(x)>g(-1)=0,可得x>-1,则f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).❹

已知f'(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数,若对任意实数x都有f'(x)>f(x)-1,且有f(1)=2,则不等式f(x)-1>ex-1的解集为

.

增分微课(一)(1,+∞)

❺

若存在两个不相等的正实数x,y,使得m(y-x)+e2y-e2x=0成立,则实数m的取值范围是

.

增分微课(一)(-∞,-2)[解析]由存在两个不相等的正实数x,y,使得m(y-x)+e2y-e2x=0成立,可得my+e2y=mx+e2x成立,构造函数f(x)=mx+e2x,x>0,由x≠y,f(x)=f(y),可得函数f(x)在(0,+∞)上不单调,易知