专题01液柱模型

专题01液柱模型一．“液柱＋管”类模型封闭气体压强的计算若已知大气压强为p0，在下图中各装置均处于静止状态，图中液体密度均为ρ，求被封闭气体的压强。在图甲中，以高为h的液柱为研究对象，由平衡条件知pAS＝－ρghS＋p0S，所以p甲＝pA＝p0－ρgh；在图乙中，以B液面为研究对象，由平衡条件有pAS＋ρghS＝p0S，得p乙＝pA＝p0－ρgh；在图丙中，仍以B液面为研究对象，有pAS＋ρghsin60°·S＝p0S，所以p丙＝pA＝p0－eq\f(\r(3),2)ρgh；在图丁中，以液面A为研究对象，由平衡条件得pAS＝(p0＋ρgh1)S，所以p丁＝pA＝p0＋ρgh1；在图戊中，从开口端开始计算：右端为大气压p0，同种液体同一水平面上的压强相同，所以b气柱的压强为pb＝p0＋ρg(h2－h1)，而a气柱的压强为pa＝pb－ρgh3＝p0＋ρg(h2－h1－h3)。二．液柱模型解答技巧解答“液柱＋管”类问题，关键是对液柱封闭气体压强的计算，求液柱封闭的气体压强时，一般以液柱为研究对象分析受力、列平衡方程，且注意以下几点：(1)液体因重力产生的压强大小为p＝ρgh(其中h为液面的竖直高度)。(2)不要漏掉大气压强，同时又要尽可能平衡掉某些大气的压力。(3)有时可直接应用连通器原理——连通器内静止的液体，同种液体在同一水平面上各处压强相等。(4)当液体为水银时，可灵活应用压强单位“cmHg”等，使计算过程简捷。【模型演练1】细长玻璃管用长为6cm的水银柱封闭一定质量的空气。当玻璃管开口向下竖直放置时，空气柱长度为为33cm；当玻璃管水平放置时，空气柱长度L2为30cm。求玻璃管开口向上竖直放置时空气柱的长度。【答案】【详解】以玻璃管中封闭的空气为研究对象，它经历等温变化，设水银的密度为ρ，玻璃管的横截面积为S，大气压为p0，开口向下时有，水平放置时有，开口向上时有，由玻意耳定律，有代入数据，解得【模型演练2】（2025高二上·江苏淮安·期中）如图所示，为一个内部不规则的导热容器，为测量它的容积，在容器上竖直插入一根两端开口、横截面积为的玻璃管，玻璃管下端与容器内部连通且不漏气，玻璃管内有一小段高度为水银柱，水银柱下端与容器接口之间封闭着长度为的空气柱，此时环境温度，把容器放入温度为的热水中，稳定后水银柱下端与容器接口之间空气柱长度变为。实验过程中大气压强且不变，求：（1）温度为时封闭气体的压强；（2）这个不规则容器的容积V。【答案】（1）；（2）【详解】（1）对液柱受力分析有解得（2）对封闭气体，其初始状态体积为其末状态体积为由于该过程中气体压强不变，即发生等压变化，有解得【模型演练3】如图所示，左侧封闭、右侧开口的粗细均匀的U形玻璃管竖直放置，左右两竖直管等长，长度均为65cm，底部长10cm，玻璃管横截面积，用20cm长的水银柱密封一段空气柱，管中两侧水银柱高度均为5cm，玻璃管导热良好，环境温度为27℃，若取大气压强，不考虑玻璃管拐角处的影响。（1）环境的热力学温度为多少时，水银柱恰好全部在竖直管内?（2）当水银柱恰好全部在右侧竖直管内时，缓慢升高温度，直到水银柱上表面到达管口为止，此过程空气柱内能增加了10J，求空气柱吸收或放出的热量。【答案】（1）见解析；（2）吸收热量27.1J【详解】（1）以密封气体为研究对象，状态1，，当水银柱恰好在左侧竖直管内时，状态2，由理想气体状态方程有解得当水银柱恰好在右侧竖直管内时，状态3，由理想气体状态方程有解得（2）水银柱恰好全部在右侧竖直管内，升高温度，直到水银柱上表面到达管口为止，此过程空气柱发生等压变化，水银柱上升的位移空气柱对外界做功根据热力学第一定律有解得即空气柱吸收热量。【模型演练4】为了测量一些形状不规则而又不便浸入液体的固体体积，可用如图所示的装置测量。操作步骤和实验数据如下。a．打开阀门K，使管A、容器C、容器B和大气相通。上下移动D，使左侧水银面到达刻度n的位置；b．关闭K，向上举D，使左侧水银面达到刻度m的位置。这时测得两管水银面高度差为h1=19.0cm；c．打开K，把被测固体放入C中，上下移动D，使左侧水银面重新到达位置n，然后关闭K；d．向上举D，使左侧水银面重新到达刻度m处，这时测得两管水银面高度差为h2=20.8cm。已知容器C和管A的总体积为VC=1000cm3，求被测固体的体积。（结果保留3位有效数字。）

【答案】86.5cm3【详解】设大气压为p0，容器B的体积为VB，固体体积为V。以C、A、B中封闭气体为研究对象，放入固体前，有p0(VB＋VC)=(p0＋h1)VC放入固体后，以C、A、B中气体为研究对象，有p0(VB＋VC－V)=(p0＋h2)(VC－V)已知h1=19.0cm，h2=20.8cm，VC=1000cm3，解得V=86.5cm31.某学习小组设计了一个简易温度计，一根细长的均匀玻璃管一端开口，管内用水银柱封闭有一段气柱。如图所示，当管口竖直向上时，气柱长度为L1=40cm，当管口竖直向下时，气柱长度为L2=60cm，管内气体可视为理想气体，环境温度T0=300K。（1）求玻璃管水平放置时的气柱长度L0；（2）①当玻璃管水平放置时，环境温度上升了Δt=1℃，求水银柱在玻璃管中移动的距离Δx，并判断温度计的标度是否均匀；②请举出一条提高温度计灵敏度的措施（越大，装置灵敏度越高）。

【答案】（1）48cm；（2）①，均匀，②可封闭更多的气体【详解】（1）设大气压强为p0，水银柱长度为h，管内横截面积为S。由玻意耳定律可知，当玻璃管从平放到管口竖直向上时，有当玻璃管从平放到管口竖直向下时，有联立可得（2）①当玻璃管水平放置时，原来环境温度T0=300K，环境温度上升了Δt，由盖吕萨克定律有可得由于Δx与Δt成正比，可知在大气压强一定时温度计的标度是均匀的；②由以上分析得故可封闭更多的气体，这样L0增大，增大，可提高测量灵敏度。2．热学中解决理想气体实验定律相关的问题时，经常使用cmHg作为压强的单位，例如标准大气压。如图所示。上端封闭、下端开口的细长的玻璃管固定在粗糙的斜面上。长为的水银柱封闭了一段空气柱，空气柱的长度。已知斜面的倾角，玻璃管与斜面的动摩擦因数，外界的压强为标准大气压，环境的温度保持不变，，，水银与玻璃管壁接触面的切向相互作用力可忽略。试求：（1）此时玻璃管内气体的压强（用cmHg作单位）。（2）释放玻璃管，在玻璃管沿斜面下滑的过程中，管内空气柱的长度。

【答案】（1）；（2）【详解】（1）对静止的水银柱分析受力，设玻璃管内气体的压强为，水银柱的质量、横截面为、，根据平衡条件有又联立解得又联立解得

（2）设玻璃管的质量为，对玻璃管和水银柱整体，设整体的加速度为，由牛顿第二定律有对水银柱有联立解得对管内的气体，有玻意耳定律有联立解得3．如图所示，玻璃管开口向下竖直放置，长度为的水银柱下表面刚好与管口平齐，此时被封闭的理想气体长度为。已知大气压强为整个过程温度保持不变。求：（1）把玻璃管缓慢转动当玻璃管开口竖直向上静止时，玻璃管内被封闭的气柱长度是多少；（2）在（1）的状态下，给玻璃管缓慢加入水银，当水银柱上表面刚好与管口齐平时，加入的水银长度为多少。（可使用数据【答案】（1）14cm；（2）2.4cm【详解】（1）开口向下时管内气体的压强开口向上时管内气体的压强p2=80cmHg设开口向上时管内气柱长度为h2，根据玻意耳定律可得解得（2）设加入水银长度为x，则此时水银总长度为，气体长度为，根据玻意耳定律可得解得4．如图，长度为l=85cm、粗细均匀的玻璃管竖直放置，下端封闭，上端开口，中间有一段高度h=25cm的水银柱封闭了一段理想气体，气柱长度为，气体温度为，大气压强，不计摩擦。（1）先将玻璃管缓慢转至水平，稳定后封闭气体的长度为多少？（2）在玻璃管水平状态下，对气体缓慢加热，当水银刚好不溢出时，此时气体的温度为多少（用表示）？

【答案】（1）；（2）【详解】（1）设玻璃管横截面积为S，玻璃管由竖直缓慢转至水平，根据玻意耳定律有其中代入数据，解得玻璃管水平时封闭气体的长度（2）在玻璃管水平状态下，对气体缓慢加热，当水银刚好不溢出时，此时气体的温度设为，气体发生等压变化，根据盖—吕萨克定律，有其中解得5．如图所示，粗细均匀的玻璃管放置在水平面上，右端开口左端封闭，一段理想气体被水银柱封闭在左端左上方，稳定时理想气体的温度为，左右液面的高度差为，理想气体的高度也为，已知大气压强为，求：（1）若缓慢的升高封闭气体的温度，当左右液面的高度相同时，气体的温度为多少？（2）若从开口端向管内添加一定量的水银，稳定后左右液面的高度相同，气体的温度仍为，则添加的水银柱的高度为多少？【答案】（1）600K；（2）28.5cm【详解】（1）对于封闭气体，初始状态，设U形玻璃管横截面积为S温度升高到两液面恰相平时，末状态根据得（2）右管缓慢注入水银，左右两玻璃管水银面恰相平时，此时根据玻意耳定律有所需要加入的水银柱的长度为解得6．（2024·河南·二模）如图所示，一粗细均匀、竖直放置的U形管，其左端封闭右端开口，管内水银柱将一部分理想气体封闭在左管中。当封闭气体的温度为时，左管内气柱长度L=20cm，右管中水银面比左管中水银面高h=10cm，大气压强(1)若缓慢降低封闭气体的温度，当温度为多少时，左右两管中的水银面等高?(2)若保持封闭气体温度T0不变，从右管开口处缓慢注入水银，当左管中水银面上升了1cm时，注入水银柱的长度是多少cm（结果保留1位小数）?【答案】(1)(2)6.5cm【详解】（1）以左管中封闭气体为研究对象，U形管横截面积为S，设左管气体压强为，体积为，则有设温度为时，左右两管中的水银柱等高，设此时左管气体压强为，体积为，则有

由代入题中数据，联立解得（2）左管中水银面上升了时，左管中气体体积，由解得此时，水银面高度差联立解得故注入水银柱的长度7．（2024·河南·模拟预测）如图所示，上端封口的细玻璃管插入水银槽中，玻璃管中被封闭一定质量的理想气体，管内水银面与槽内水银面的高度差为h，气体的温度为T0、压强为大气压强的0.75倍，气体的长度y为未知量。当把气体的温度缓慢地增加到1.5T0，管内水银面与槽内水银面的高度差变为0，管内水银面在上升或下降的过程中，认为槽内水银面的高度不变，大气压恒定。求：(1)气体的长度y；(2)当气体的温度缓慢增加到什么值时，管内水银面的高度比槽内水银面的高度低h。【答案】(1)8h(2)【详解】（1）管内水银面与槽内水银面的高度差变为0，气体的压强为p0，由理想气体状态方程可得解得（2）大气压为p0，气体的压强为0.75p0，说明高度差为h的水银柱对应的压强为当管内水银面的高度比槽内水银面的高度低h，气体的压强为由理想气体状态方程可得解得8．（2025届四川省德阳市高中高三上学期第一次诊断考试物理试卷）如图所示，一根长度为、横截面积为S、两端封闭、粗细均匀且导热良好的玻璃管竖直放置。在玻璃管顶部开一小孔。堵住小孔，管内有一段高的水银柱，上方为真空，下方则封闭着长为的空气柱。已知玻璃管所处地理位置的大气压强，热力学温度，空气可视为理想气体。(1)若只缓慢加热玻璃管，当水银刚到达玻璃管顶部时，求封闭气体的热力学温度；(2)若松开孔，空气从外界进入，最终稳定时，水银柱下降距离（整个过程外界温度为，保持不变）。【答案】(1)450K(2)40cm【详解】（1）封闭气体的压强不变，根据盖吕萨克定律解得（2）初状态封闭气体的压强末状态封闭气体的压强根据玻意耳定理解得9．（2025·陕西宝鸡·一模）如图所示，均匀薄壁U形玻璃管，左管上端封闭，右管上端开口且足够长，管内装有一定量的某种液体。右管内有一轻活塞，与管壁间无摩擦且不漏气。活塞与管内液体在左、右管内密封了两段空气柱（可视为理想气体）。当温度为T0时，左、右管内液面等高，两管内空气柱长度均为L。已知大气压强为P0，玻璃管横截面积为S，不计轻活塞重力。现将左右两管理想气体缓慢升高相同的温度，使两管液面高度差为L，左管压强变为原来的1.2倍。求：(1)理想气体温度升高到多少时两管液面高度差为L？(2)温度升高过程中，右管内的轻活塞上升的距离为多少？【答案】(1)T=1.8T0(2)1.3L【详解】（1）当两管液面高度差为L时左管液柱下降，右管液柱上升，设此时温度为T，则有：解得对左管封闭气体，根据理想气体状态方程有联立以上式解得T=1.8T0（2）升温过程中，右管封闭气体压强不变，设末状态时右管中封闭气体长度为，则有解得活塞上升的高度10．如图所示，开口向上的汽缸内盛有一定深度的水银，一粗细均匀、长度且下端开口的细玻璃管竖直漂浮在水银中。平衡时，玻璃管露出水银面的高度和进入玻璃管中的水银柱长度均为，轻质活塞到水银面的高度，水银面上方的气体压强。现施加外力使活塞缓慢向下移动，当玻璃管内气体的压强时，玻璃管上端恰好与水银面齐平，活塞与汽缸壁间的摩擦不计且密封性良好，玻璃管的横截面积远小于汽缸的横截面积，整个过程中各部分气体的温度保持不变，求：(1)此时玻璃管中的水银柱长度；(2)整个过程中活塞向下移动的距离。【答案】(1)(2)【详解】（1）初始状态玻璃管内气体的压强和体积分别为末状态玻璃管内气体的压强和体积分别为玻璃管内的气体做等温变化，由玻意耳定律得求得（2）初始状态气缸内气体的压强和体积分别为末状态气缸内气体的压强和体积分别为对汽缸内的气体由玻意耳定律得求得11．（2425高三上·湖北·阶段练习）上端开口、导热性良好的玻璃管竖直放置，玻璃管总长L=95cm，水银柱将一部分理想气体封闭在玻璃管内，初始时气柱高度H=60cm，气体的热力学温度为300K，水银柱高度h=25cm，外界大气压强p0=75cmHg。外界环境温度不变。(1)仅缓慢加热管内气体，求水银柱到达玻璃管管口时，管内气体的热力学温度；(2)仅向管内缓慢注入水银，求水银柱上表面恰好与玻璃管管口相平时，向管内注入水银的长度。【答案】(1)T2=350K(2)ΔL=20cm【详解】（1）设玻璃管横截面积为S，初始时气体的体积初始时管内气体的热力学温度温度升高后管内气体体积根据盖—吕萨克定律有解得（2）初始时气体压强设加入的水银柱长度为ΔL，则水银柱再次与管口平齐时，气体的压强气体的体积根据玻意耳定律有解得12．如图所示，一根长度为、横截面积为S、两端封闭、粗细均匀且导热良好的玻璃管竖直放置。在玻璃管顶部开一小孔。堵住小孔，管内有一段高的水银柱，上方为真空，下方则封闭着长为的空气柱。已知玻璃管所处地理位置的大气压强，热力学温度，空气可视为理想气体。(1)若只缓慢加热玻璃管，当水银刚到达玻璃管顶部时，求封闭气体的热力学温度；(2)若松开孔，空气从外界进入，最终稳定时，水银柱下降距离（整个过程外界温度为保持不变）。【答案】(1)(2)【详解】（1）题意可知水银刚到达玻璃管顶部时，空气柱的长度为由等压过程规律知代入数据得（2）据题意，原封闭空气柱压强稳定后空气柱压强代入数据得由等温过程规律知代入数据解得13．（2425高三上·江西萍乡·期中）如图所示，水银柱将一定质量的理想气体封闭在竖直放置的上端开口的玻璃管内，玻璃管上粗下细，粗管横截面积是细管的3倍，上半部分足够长，水银柱的上表面正好与细管上端口齐平。大气压强为，封闭气体的压强为，水银柱的长度为，封闭气体的长度也为，封闭气体的温度为，缓慢地给封闭气体加热，当水银柱刚好全部进入粗管中时，求：(1)此时封闭气体的压强；(2)此时封闭气体的温度。【答案】(1)(2)【详解】（1）水银柱全部在细管中，产生的压强为，水银柱刚好全部进入粗管中，设水银柱的长度为，则解得综上可得，水银柱刚好全部进入粗管时水银柱产生的压强为此时封闭气体的压强为（2）由理想气体状态方程可得解得14．（2024·广西·模拟预测）图甲是伽利略根据气体压强随温度的变化制造出的气体温度计，图乙是其模型示意图。玻璃泡A内封有一定量气体，与A相连的B管插在水银槽中，管内水银面的高度x即可反映泡内气体的温度（即环境温度），并可由B管上的刻度直接读出。玻璃泡A体积较大，B管的体积与玻璃泡A的体积相比可忽略不计。(1)在标准大气压下对B管进行温度刻度标注（标准大气压相当于76cm高的水银柱所产生的压强）。当温度为27℃时，管内水银面高度为，此高度即为27℃的刻度线。问t为47℃的刻度线在为多少厘米处？(2)若大气压为74cmHg时，利用该测温装置测量温度时所显示读数为27℃，此时的实际温度为多少？【答案】(1)(2)【详解】（1）根据题意可知，当环境温度变化时，玻璃泡A内的气体做等容变化，气体的初末状态为初态1状态2根据查理定律有求得（2）若大气压为74cmHg时，利用该测温装置测量温度时所显示读数为27℃，此时玻璃泡A内的气体处于状态3，即由状态1到状态3，根据查理定律有求得15．（2425高三上·云南曲靖·阶段练习）如图所示，开口向上、粗细均匀的玻璃管竖直放置，管内用两段水银柱封闭了两部分理想气体，两段水银柱长均为，两段气柱长均为。已知大气压强，玻璃管的导热性能良好，环境温度，封闭的两部分气体的质量均保持不变，A处水银面到管口的距离足够大。问：若将玻璃管从足够高处由静止释放，不计空气阻力，求下落过程中A处的水银面（稳定后）相对玻璃管上升的距离？【答案】【详解】当玻璃管静止释放自由下落时，玻璃管内水银柱处于完全失重状态，管内气体的压强等于大气压强；对最下端的密封气体，根据玻意耳定律可知解得对上端的密封气体，根据玻意耳定律可知解得则下落过程中A处的水银面相对玻璃管上升的距离16．（2024·山东济南·模拟预测）如图所示，左右两管足够长的U形管左管封闭，右管内径为左管内径的倍，管内水银在左管内封闭了一段长为26cm、温度为280K的空气柱，右管一轻活塞恰处在与左管水银面平齐的位置且封闭了一定质量的气体，左右两管水银面高度差为36cm，大气压强为76cmHg。现将活塞缓慢下推，并保持左右管内气体的温度不变。当左管空气柱长度变为20cm时，求：(1)左管内气体的压强；(2)活塞下移的距离。【答案】(1)52cmHg(2)10.8cm【详解】（1）左管封闭气体的压强为左管封闭气体变化前后的体积分别为，由于气体发生等温变化，由玻意耳定律可得解得（2）U形管右管内径为左管内径的倍，则右管横截面积是左管横截面积的2倍，为2S，当左管水银面上升6cm时，右管水银面下降3cm，所以这时左右两管水银面的高度差为45cm，因此右管内气体的压强为原状态右管气体的压强为设活塞缓慢下推后右管气体的高度为，由玻意耳定律可得解得活塞下移的距离是17．（2425高三上·河南·期中）如图所示，将一内径处处相同，导热良好的“T”形细玻璃管以“∈”的姿势放在水平面上，使其上端开口，下端封闭，且使竖直细管垂直水平面，管中用水银封闭着A、B两部分理想气体，C为轻质密闭活塞，各部分长度如图所示。现缓慢推动活塞，将水平管中水银恰好全部推进竖直管中，水银未从上端管口溢出，已知大气压强设外界温度不变。，求：(1)水平管中水银恰好全部被推进竖直管中时，气体A的压强；(2)将水平管中水银全部推进竖直管的过程中活塞移动的距离。【答案】(1)(2)6.25cm【详解】（1）水平管中水银恰好全部推进竖直管中时，气体A的压强（2）初状态，气体A的压强设玻璃管横截面积为Scm²，初状态气体A的体积设末状态气体A的体积为，对气体A由玻意耳定律得解得末状态气体A的长度气体A的长度减少量△L=(4542.5)=2.5cm初状态气体B的压强末状态气体B的压强初状态气体B的体积设活塞移动的距离为xcm，末状态气体B的体积对气体B由玻意耳定律得带入数据得x=6.25cm18．粗细均匀的U形管，右端封闭有一段空气柱，两管内水银面高度差为，封闭空气柱长度为，如图所示。已知外界大气压强相当于76cm高水银柱产生的压强，灌入水银过程中温度保持不变。向左管再注入多少水银可使两管水银面等高？【答案】39cm【详解】以右管中被封闭的空气为研究对象，空气在初状态时，有末状态由玻意耳定律联立解得所以需加入的水银柱长度应为19．（2425高三上·山西·阶段练习）如图甲所示，一粗细均匀的长细管开口向下竖直固定时，管内高度为h的水银柱上方封闭气体的长度为H，现将细管缓慢旋转至开口竖直向上，如图乙所示。已知大气压强恒为，水银的密度为，管内气体温度不变且可视为理想气体，重力加速度大小为g，求：(1)图乙中封闭气体的压强；(2)图乙中封闭气体的长度。【答案】(1)(2)【详解】（1）设细管的横截面积为，则有解得（2）设题图甲中封闭气体的压强为，有解得20．（2425高三上·宁夏固原·阶段练习）如图所示，一根一端封闭粗细均匀细玻璃管开口向上竖直放置，管内用高的水银柱封闭了一段长的空气柱。已知大气压强相当于水银柱产生的压强，，封闭气体的温度为，取，则：(1)玻璃管内封闭空气柱的压强为多大？(2)现将竖直放置的玻璃管以端为圆心顺时针缓慢旋转53°，则此时封闭气柱的压强为多少？（已知气体温度和大气压强始终不变，，）(3)若竖直放置的玻璃管长度为，现对封闭气体缓慢加热，则温度升高到多少摄氏度时，水银刚好不溢出？【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）初始时刻，气体的压强为（2）将竖直放置的玻璃管以端为圆心顺时针缓慢旋转53°，则气体的压强为（3）若对封闭气体缓慢加热，直到水银刚好不溢出，封闭气体发生等压变化，设玻璃管的横截面为，初始状态，，末状态封闭气体发生等压变化，则解得则此时的温度为21．如图所示，在一根长度、下端封闭上端开口、粗细均匀的玻璃管中，用长为的水银柱封闭一部分空气，玻璃管竖直放置，管内空气柱的长度。已知大气压强保持不变，初始时封闭气体和环境的热力学温度。(1)若缓慢转动玻璃管，使得玻璃管开口向下竖直放置，水银没有溢出，求水银柱稳定后空气柱的长度；(2)若缓慢加热封闭气体，使得水银柱恰好未溢出，求此时封闭气体的热力学温度；(3)若缓慢转动玻璃管使其水平放置，同时使得水银柱恰好未溢出，求此时封闭气体的热力学温度。（结果保留一位小数）【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）管内封闭气体做等温变化，则有解得（2）管内封闭气体做等压变化，则有解得（3）对管内封闭气体，根据一定质量的理想气体状态方程