浙江省杭州市外国语学校2024-2025学年高一（下）数学第2周阶段性训练模拟练习【含答案】

浙江省杭州市外国语学校2024-2025学年高一（下）数学第2周阶段性训练模拟练习一．选择题（共9小题）1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝6，b＝5，B＝30°，则sinA＝（）A． B． C． D．2．在△ABC中，若acosB+bcosA＝a，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形3．若α为锐角，且，则＝（）A． B． C． D．4．设，，，则有（）A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b5．若，则sin2α＝（）A． B． C． D．6．已知f（x）＝tanx+1，且α，β满足f（α）f（β）＝2，则α，β可能是（）A．α＝，β＝ B．α＝，β＝ C．α＝，β＝ D．α＝，β＝7．在△ABC中，分别根据甲、乙、丙、丁四个条件判断三角形的形状，甲：acosA＝bcosB；乙：a2tanB＝b2tanA；丙：acosB＝bcosA；丁：a﹣b＝ccosB﹣ccosA．判断结果与其它三个不一样的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．函数图象的对称轴方程可以为（）A． B． C． D．9．已知锐角△ABC中，，则AB边上的高的取值范围为（）A． B． C． D．二．多选题（共2小题）（多选）10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A．若A＞B，则sinA＞sinB B．a＝bcosC+ccosB C．若b＝5，c＝4，B＝45°，则三角形有两解 D．若a2+b2＝c2﹣ab，c＝1，则△ABC的外接圆半径为（多选）11．已知tanα，tanβ是方程3x2+5x﹣7＝0的两根，则（）A．tan（α+β）＝﹣ B． C． D．cos2（α+β）＝三．填空题（共5小题）12．在△ABC中，已知AB＝2且AC＝3BC，则△ABC面积的最大值是．13．已知，＜θ＜π，则cosθ＝．14．已知函数，若为奇函数，为偶函数，且在上至少有2个实根，至多有3个实根，则函数f（x）的对称轴为（写出一个即可），正整数ω的所有可能取值之和为．15．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边a，b，c，求面积S的公式．这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即：S＝．现有△ABC的三边a，b，c满足a：b：c＝1：2：，且△ABC的面积S＝8，若点D是边AB的中点，则||＝．16．已知角α满足sinα﹣cosα＝，则sin2α＝．四．解答题（共7小题）17．已知，，其中，．（1）求α﹣β的值；（2）的值．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）点M为线段BC的中点，且AM＝2，，求△ABC的面积．19．（2024春•铜山区期中）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及区间上的最大值和最小值；（2）在△ABC中，若，角B为锐角，点D为线段BC延长线上一点，，CD＝5，∠ACB＝60°，求AD的长．

20．在面积为S的△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求C的值；（2）若，求△ABC周长的最大值；（3）若△ABC为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求△ABC面积的取值范围．21．已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+2sinxcosx．（1）求f（）的值；（2）求f（x）的最大值及取得最大值时的x值．22．已知在△ABC中，内角A，B，C所对应的边为a，b，c，有．（1）求角A的值；（2）若点D在线段AC上，且有，求cos∠ABC．23．已知函数f（x）＝sin2x+2sinxcosx﹣cos2x+m的最大值为3．（1）若f（x）的定义域为[0，π]，求f（x）的单调递增区间；（2）若，，求cos2x0的值．

参考答案与试题解析题号123456789答案CADCDDCAD一．选择题（共9小题）1．【解答】解：若a＝6，b＝5，B＝30°，由正弦定理得，sinA＝＝＝．故选：C．2．【解答】解：由acosB+bcosA＝a，结合正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA＝sinA，∴sin（B+A）＝sinA，可得：sinC＝sinA，∴a＝c，则△ABC的形状为等腰三角形．故选：A．3．【解答】解：由α为锐角，且，可得，则．故选：D．4．【解答】解：由于，，，由于tan40°＞sin40°＞sin20°，故a＞b＞c．故选：C．5．【解答】解：因为，所以两边平方，可得sin2α+cos2α+2sinαcosα＝1+sin2α＝，则sin2α＝﹣．故选：D．6．【解答】解：由题意知：（1+tanα）（1+tanβ）＝2，即tanα+tanβ＝1﹣tanαtanβ，当1﹣tanαtanβ＝0时，可得tan2α＝﹣1，显然不成立；所以1﹣tanαtanβ≠0，可得＝tan（α+β），所以α+β＝，k∈Z，只有D选项满足．故选：D．7．【解答】解：对于甲：acosA＝bcosB，由正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，又A，B，A+B∈（0，π），所以2A＝2B或2A＝π﹣2B，即A＝B或，所以A＝B或，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形且；对于乙：a2tanB＝b2tanA，由正弦定理可得sin2AtanB＝sin2BtanA，所以，又A，B∈（0，π），所以sinA＞0，sinB＞0，所以sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，又A，B，A+B∈（0，π），所以2A＝2B或2A＝π﹣2B，即A＝B或，所以A＝B或，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形且；对于丙：acosB＝bcosA，由正弦定理可得sinAcosB＝sinBcosA，所以sin（A﹣B）＝0，又A，B∈（0，π）且A+B∈（0，π），所以A﹣B∈（﹣π，π），所以A﹣B＝0，即A＝B，所以△ABC为等腰三角形；对于丁：a﹣b＝ccosB﹣ccosA，由正弦定理可得sinA﹣sinB＝sinCcosB﹣sinCcosA，所以sin（B+C）﹣sin（A+C）＝sinCcosB﹣sinCcosA，即sinBcosC+cosBsinC﹣sinAcosC﹣cosAsinC＝sinCcosB﹣sinCcosA，所以sinBcosC﹣sinAcosC＝0，即（sinB﹣sinA）cosC＝0，所以cosC＝0或sinB﹣sinA＝0，又A，B，C∈（0，π）且A+B+C＝π，所以或A＝B，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形且．故选：C．8．【解答】解：函数图象的对称轴方程∴k＝0时，∴函数图象的对称轴方程可以为故选：A．9．【解答】解：因为锐角△ABC中，，设AB边上的高为h，所以，解得＜A＜，由正弦定理可得＝4，所以a＝4sinA，b＝4sinB，因为S＝ch＝absin，所以h＝＝＝4sinAsin（﹣A）＝4sinA（cosA+sinA）＝2sinAcosA+6sin2A＝sin2A+6×＝2sin（2A﹣）+3，因为A∈（，），2A﹣∈（，），所以sin（2A﹣）∈（，1]，所以h＝2sin（2A﹣）+3∈（6，2+3]．所以AB边上的高的取值范围为（6，2+3]．故选：D．二．多选题（共2小题）10．【解答】解：由A＞B，可得a＞b，即2RsinA＞2RsinB（R为△ABC的外接圆的半径），即有sinA＞sinB，故A正确；由正弦定理可得bcosC+ccosB＝2RsinBcosC+2RsinCcosB＝2Rsin（B+C）＝2RsinA＝a，故B正确；若b＝5，c＝4，B＝45°，则sinC＝＝＝＜1，而c＜b，即C＜B，则C为锐角，三角形有且只有一解，故C错误；若a2+b2＝c2﹣ab，c＝1，可得cosC＝＝﹣，内角C＝120°，即有2R＝＝＝，即R＝，故D错误．故选：AB．11．【解答】解：∵tanα，tanβ是方程3x2+5x﹣7＝0的两个实数根，由韦达定理可知，，对于A，，A选项正确；对于B，，B选项正确；对于C，sin2（α+β）＝＝＝，故C错误；对于D，结合C可知，cos2（α+β）＝1﹣sin2（α+β）＝，D选项正确．故选：ABD．三．填空题（共5小题）12．【解答】解：因为AB＝2且AC＝3BC，设BC＝x，则S△ABC＝AB•BCsinB＝，又因为cosB＝＝＝，所以S△ABC＝＝＝≤．当2x2＝，即x＝时取等号．故答案为：．13．【解答】解：∵＜θ＜π，∴＜θ+＜，∴cos（θ+）＝﹣＝﹣，cosθ＝cos（θ+﹣）＝cos（θ+）cos+sin（θ+）sin＝﹣×+×＝，故答案为：．14．【解答】解：因为为奇函数，为偶函数，所以f（x）的图象关于（﹣，0）对称，也关于x＝对称，故，k∈Z，n∈Z，所以2φ＝+（k+n）π，k∈Z，n∈Z，即，k∈Z，n∈Z，因为0，所以，ω＝4n+1，n∈Z，当0＜x＜时，，因为在上至少有2个实根，至多有3个实根，所以，解得12＜ω≤24，所以ω可以取13，17，21，和为51．故答案为：x＝（答案不唯一），51．15．【解答】解：设a＝x，b＝2x，c＝x，因为△ABC的面积S＝8＝，解得，x＝4，由中线长定理可得，CA2+CB2＝2（CD2+AD2），即16+64＝2（CD2+28），所以CD＝2．故答案为：2．16．【解答】解：因为sinα﹣cosα＝，两边同时平方得，1﹣2sinαcosα＝1﹣sin2α＝，则sin2α＝．故答案为：．四．解答题（共7小题）17．【解答】解：（1）因为，，其中，，所以cosα＝，tanα＝，所以tan（α﹣β）＝+＝1，因为﹣π＜α﹣β＜0，所以α﹣β＝﹣；（2）由tan，β∈（）可知，cosβ＝﹣，sin，所以sin2β＝2sinβcosβ＝2×＝﹣，cos2β＝2cos2β﹣1＝2×＝，则＝cos2sin2β＝＝﹣．18．【解答】解：（1）由，可得acosB+bcosA＝2ccosA，即有sinAcosB+sinBcosA＝2sinCcosA，即为sin（A+B）＝sinC＝2sinCcosA，由于sinC＞0，可得cosA＝，而0＜A＜π，可得A＝；（2）由题意可得2＝+，即有42＝2+2+2•，即为4×4＝c2+b2+2bc×，即c2+b2+bc＝16，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即3＝c2+b2﹣bc，即有bc＝，S△ABC＝bcsinA＝××＝．19．【解答】解：（1）因为f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），故T＝π，当0时，，所以﹣，所以﹣1≤f（x）≤2，即函数在区间上的最大值为2，最小值为﹣1；（2）因为在△ABC中，＝2sin（B+），角B为锐角，所以B＝30°，因为∠ACB＝60°，所以A＝90°，因为点D为线段BC延长线上一点，，CD＝5，所以AC＝AB•tan30°＝3＝3，△ACD中，AC＝3，CD＝5，∠ACD＝120°，由余弦定理得，AD2＝25+9﹣2×＝49，故AD＝7．20．【解答】解：（1）由，可得2S（+）＝（a2+b2）sinA，即有2S（ab+c2）＝bcsinA（a2+b2），由三角形的面积公式，可得a2+b2＝c2+ab，即a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理可得cosC＝＝，由0＜C＜π，可得C＝；（2）若，则2＝c2＝a2+b2﹣2abcosC＝（a+b）2﹣2ab﹣ab＝（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣3（）2，即有a+b≤2（当且仅当a＝b时，取得等号），则△ABC的周长的最大值为2+＝3；（3）由A+B＝π﹣C＝，设A＝﹣α，B＝+α（﹣＜α＜），由AB边上的高h为2，可得asinB＝bsinA＝2，即有a＝＝，b＝＝，则S＝absinC＝ab＝＝＝，由﹣＜α＜，可得sin2α∈[0，），则S的取值范围是[，2）．21．【解答】解：（1）f（x）＝cos2x﹣sin2x+2sinxcosx＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），则f（）＝2sin（2×+）＝2sin＝2×＝．（2）由（1）得：的最大值为2，当x＝k（k∈Z）时，函数取得最大值．22．【解答】解：（1）由于，整理得，故cosA＝，由于A∈（0，π），所以A＝．（2）由于，故，所以，由于ADsin∠CBD＝CDsinC，所以，由正弦定理，所以，设CD＝x，则AD＝BD＝2x，在△ABD中，A＝，此时△ABD为等边三角形，则有AB＝2x，在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝4x2+9x2﹣6x2＝7x2，所