专题18 不等式恒(能)成立问题-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）（含答案）

专题18不等式恒(能)成立问题-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）一、解答题1．已知函数f(x)=ax−sinx（1）当a=1时，讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)+sinx<0，求a的取值范围．2．已知函数f(x)=ax−（1）当a=8时，讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)<sin3．已知函数f(（1）讨论f(（2）证明：当a>0时，f(4．（1）证明：当0<x<1时，x−x（2）已知函数f(x)=cosax−ln(1−x2)5．已知函数f(x)=xe（1）当a=1时，讨论f(x)的单调性；（2）当x>0时，f(x)<−1，求a的取值范围；（3）设n∈N∗，证明：6．已知a>0，函数f(x)=ax−xe（1）求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程：（2）证明f(x)存在唯一的极值点（3）若存在a，使得f(x)≤a+b对任意x∈R成立，求实数b的取值范围．【考点1】分离参数法求参数范围二、单选题7．若函数f(x)=lnx−kx有2个零点，则实数A．(−∞,−e) B．(−∞,1e)8．已知函数f(x)=14x4−A．(−∞,2e−1eC．(−∞,2e−1e三、多选题9．已知函数f(x)=(A．-1 B．12 C．3 四、填空题10．已知函数f(x)=aex−x2是R五、解答题11．设函数f(x)=lnx+k（1）若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线x=2垂直，求k的值：（其中e为自然对数的底数）；（2）在（1）的条件下求f(x)的单调区间和极小值：（3）若g(x)=f(x)−x在(0,+∞)上存在增区间，求12．已知函数f(x)=xlnx−mx(m∈R)．（1）当m=2时，求曲线y=f(x)在点(1,（2）当x>1时，不等式f(x)+lnx+3>0恒成立，求整数m的最大值．反思提升：分离参数法解决恒(能)成立问题的策略(1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.【考点2】分类讨论法求参数范围六、单选题13．若函数f(x)=13x3+A．(3,+∞) C．(−∞,3) 14．若f(x)=−13x3+A．m≤−5 B．m≥3C．m≤−5或m≥3 D．−5≤m≤3七、多选题15．函数f(x)=xA．0 B．13 C．12 八、填空题16．已知函数f(x)=a(x+1)ex−x3，若存在唯一的正整数x0，使得九、解答题17．已知函数f(x)=(（1）当a=3时，求f(x)在点(2,（2）讨论f(x)的单调性，并求出f(x)的极小值．18．已知函数f(x)=xe（1）若f(x)的极大值为1−1e，求（2）当a>1e时，若∀x1∈反思提升：根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.【考点3】双变量的恒(能)成立问题十、单选题19．已知正数a,b满足e2aA．94 B．32 C．1 20．已知直线y=kx+t与函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象恰有两个切点，设满足条件的k所有可能取值中最大的两个值分别为k1和kA．k1k2C．75<k十一、多选题21．已知直线y=kx与曲线y=lnx相交于不同两点M(x1,y1),N(xA．0<k<1e B．x1x2=e十二、填空题22．已知函数f(x)=x+lnx，g(x)=xlnx，若f(x1)=2十三、解答题23．已知函数f(x)=ax−lnxx，（1）若f(x)存在零点，求a的取值范围；（2）若x1，x2为f(x)的零点，且x124．已知函数f(x)=lnx+x（1）当a>0时，讨论f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个极值点x1,x反思提升：含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有：(1)∀x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min.(2)∀x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max.(3)∃x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min.(4)∃x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.十四、单选题25．已知函数fx=xA．12,+∞ B．12,+∞26．已知函数f(x)=lnx−12aA．(−∞,−1) B．(−1,+∞) C．27．已知函数f(x)=aln(x+1)+x2，在区间(2,3)内任取两个实数x1，xA．[−9,+∞) B．[−7,+∞) C．28．已知f(x)=(1−x)ex−1，g(x)=(x+1)2+a，若存在x1，A．[1e,+∞) B．(−∞,1十五、多选题29．已知函数f(x)=x2+2A．−22 B．−2 C．2 30．设函数f(x)=ex−ax+1(a∈N+A．1 B．2 C．3 D．431．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f'(x)存在，且导函数f'(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)=(f'(x))'A．f(x)=−x3+2x−1C．f(x)=sinx+cos十六、填空题32．已知不等式ax≤(2x+1)ex对任意x∈[1,+∞)恒成立，则正实数33．已知不等式ex≥(2a−3)x对任意x∈R恒成立，则实数a的最大值是34．已知函数f(x)=lnx−2ax+1，若存在x>0，使得f(x)≥0，则实数a的取值范围十七、解答题35．已知函数f(x)=（1）求f(x)的单调增区间；（2）方程f(x)=m在x∈[−12,36．已知函数f(x)=2lnx−mx+2.（1）若m=3，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；（2）若∀x∈(0,+∞),【能力篇】十八、单选题37．若x∈[0,+∞)，x2A．e B．2 C．e−1 D．e−2十九、多选题38．已知函数为实数，下列说法正确的是（）A．当a=1时，则f(x)与g(x)有相同的f(x)=ax−lnx,B．存在a∈R，使f(x)与g(x)的零点同时为2个C．当a∈(0,1)时，f(x)−g(x)≤1对D．若函数f(x)−g(x)在[1,e]上单调递减，则a二十、填空题39．已知函数f(x)=ln(x2+1),g(x)=e−x二十一、解答题40．已知函数f(x)=x+2−ae（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)<0，求a的取值范围.【培优篇】二十二、解答题41．已知函数f(x)=x(a−ln（1）讨论f(x)的最值；（2）若a=1，且f(x)≤kex42．已知函数f(x)=ae（1）当a=1，b=1时，求证f(x)≥1恒成立；（2）当a≥1时，f(x)≥lnx+443．已知函数f(x)=lnx−x，（1）曲线y=f(x)与y=g(x)在x=x0处的切线分别是l1：y=θ(x)，l2，且（2）已知af(x)+g(x)+2a<0(a≠0).（i）求a的取值范围；（ii）设函数F(x)=f(x+a)+axg(x)+x+a(x>0)的最大值为M，比较M

答案解析部分1．【答案】（1）当a=1时，fx=x-sinxcos2x，x∈0，π2（2）令gx=fx+sinx=ax-sinxcos2x+sinx=ax+sinx1-1cos2x=ax-sin3xcos2x

则g'x=a-【解析】【分析】(1)对fx求导，利用导数判断fx单调性；

(2)构造gx=f2．【答案】（1）解：函数f(x)=ax−sinxcos3令cos2x=t，则则f'当a=8时，f'当t∈0,12当t∈12,1则函数f(x)在0,π4上单调递增，在（2）解：设g(x)=f(x)−sing'(x)=f'(x)−2φ'所以φ(t)<φ(1)=a−3，1°、若a∈(−∞,3]，g'(x)=φ(t)<a−3≤0即g(x)所以当a∈(−∞2°、若a∈(3,+∞)、当t→0,2t所以∃t0∈(0,1)，使得φt0当t∈t0,1所以当x∈0,综上，a的取值范围为(−∞【解析】【分析】（1）求导，令t=cos（2）构造g(x)=f(x)−sin2x，计算g'(x)的最大值，然后与0比较大小，得出（1）f令cos2x=t则f当a=8,当t∈0,12当t∈12,1所以f(x)在0,π4上单调递增，在（2）设g(x)=f(x)−g'(x)=φ所以φ(t)<φ(1)=a−3.1°若a∈(−∞即g(x)在0,π2上单调递减，所以所以当a∈(−∞2°若当t→0,2t−φ(1)=a−3>0.所以∃t0∈(0,1)，使得φt0当t∈t0,1所以当x∈0,综上，a的取值范围为(−∞3．【答案】（1）当a=0时，此时fx=-x单调递减；

当a<0时，f(x)=a(ex+a)−x=aex-x+a2.此时y=aex(a<0)与y=-x均单调递减，所以fx单调递减；

当a>0时，f'x=aex-1，令f'x=0则x=ln1a，

∴当x∈-∞，ln1（2）要证当a>0时，fx>2lna+32，只需证fxmin>2lna+32，

由（1）知fxmin=fln1a=1+a2+lna，即证1+a2+lna>2lna+32，

⇒当a>0时，a2-lna-1【解析】【分析】（1）根据题意，分类讨论a的常规正负三种分类情形，结合基本函数单调性与求导分析即得答案。

(2)将条件转化为恒成立问题，求导分析函数单调性得出极值。

4．【答案】（1）证明：构造函数F(x)=x−sinx,x∈(0,则F(x)在(0,1)上单调递增，可得所以x>sin构造函数G(x)=sin则G'构建g(x)=G'(x),x∈(0则g(x)在(0,1)上单调递增，可得即G'(x)>0对则G(x)在(0,1)上单调递增，可得所以sinx>x−综上所述：x−x（2）解：令1−x2>0，解得−1<x<1，即函数f(x)若a=0，则f(x)=1−ln因为y=−lnu在定义域内单调递减，y=1−x2在则f(x)=1−ln(1−x2)故x=0是f(x)的极小值点，不合题意，所以a≠0.当a≠0时，令b=|a|>0因为f(x)=cos且f(−x)=cos所以函数f(x)在定义域内为偶函数，由题意可得：f'（i）当0<b2≤2时，取m=min{由（1）可得f'且b2所以f'即当x∈(0,m)⊆(0,1)时，f'结合偶函数的对称性可知：f(x)在(−m,所以x=0是f(x)的极小值点，不合题意；（ⅱ）当b2>2时，取x∈(0,由（1）可得f'构建h(x)=−b则h'且h'(0)=b3>0可知h(x)在(0,1b所以h(x)在(0,1b当x∈(0,n)时，则h(x)<0，且则f'即当x∈(0,n)⊆(0,1)时，f'结合偶函数的对称性可知：f(x)在(−n,所以x=0是f(x)的极大值点，符合题意；综上所述：b2>2，即a2>2，解得故a的取值范围为(−∞,【解析】【分析】（1）分别构造函数F(x)=x−sinx,x∈(0,5．【答案】（1）解：解：a=1⇒f(x)=x当x∈(−∞，0)时，f'当x∈(0，+∞)吋，f'（2）令g(x)=f(x)+1=x⇒g(x)≤g(0)=0对∀x≥0恒成立又g令h(x)=则h①若h'(0)=2a−1>0所以∃x0>0，使得当x∈(0，x0②若h'(0)=2a−1≤0，即a≤⇒g(x)在[0，+∞)上单调递减，g(x)≤g(0)=0，符合题意.综上所述，实数a的取值范围足a≤1（3）证明：取a=12，则∀x>0，总有令t=e12故2tlnt<t2−1所以对任意的n∈N*，有整理得到：ln(n+1)−故1=ln故不等式成立.【解析】【分析】（1）求出f'(x)=xex，讨论其符号后可得f(x)的单调性.

（2）设g(x)=xeax−ex+1(x≥0)，求出g'(x)，令h(x)=g'(x)，先讨论a>12时题设中的不等式不成立，再就0<a≤12结合放缩法讨论6．【答案】（1）f'(x)=a−(x+1)e又f(0)=0，则切线方程为y=(a−1)x，(a>0)；（2）令f'(x)=a−(x+1)e令g(x)=(x+1)ex，则当x∈(−∞，−2)时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(−2，+∞)时，g'当x→−∞时，g(x)<0，g(−1)=0，当x→+∞时，g(x)>0，画出g(x)大致图像如下：所以当a>0时，y=a与y=g(x)仅有一个交点，令g(m)=a，则m>−1，且f'当x∈(−∞，m)时，a>g(x)，则f'(x)>0，当x∈(m，+∞)时，a<g(x)，则f'(x)<0，x=m为f(x)的极大值点，故f(x)存在唯一的极值点；（3）由（II）知f(x)max=f(m)所以{f(x)−a}max令h(x)=(x若存在a，使得f(x)≤a+b对任意x∈R成立，等价于存在x∈(−1，+∞)，使得h(x)≤b，即b≥h(x)h'(x)=(x当x∈(−1，1)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(1，+∞)时，h'所以h(x)min=h(1)=−e所以实数b的取值范围[−e，+∞).【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；

（2）令f'(x)=0，可得a=(x+1)ex，则可化为证明y=a与y=g(x)仅有一个交点，利用导数研究y=g(x)的变化情况，数形结合求解即可；

（3）令h(x)=(x2-x-1)ex，(x>-1)，则将问题等价转化为存在x∈(-1，+∞)，使得h(x)≤b，即b≥h(x)min，利用导数求出h(x)的最小值即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：函数f(x)=lnx−kx有2个零点，等价于关于x的方程设g(x)=lnxx，则原方程即为g(x)=k，而g'(x)=1−lnxx2，所以g(x)在(0,e)上单调递增，在当k≥1e时，对x∈(0,e)∪(e,+∞)都有当k≤0时，对x∈(1,+∞)有g(x)=lnxx>0≥k，而由(0,1]⊂(0,e)知当0<k<1e时，由于16e2k2>16>e，且g(1)=0<k，g(e)=1e>k，综上，实数k的取值范围是(0,故答案为：C.【分析】原问题转化为关于x的方程lnxx=k8．【答案】D【解析】【解答】解：函数f(x)=14x4−23因为函数f(x)在[1e,2]上存在单调递减区间，所以即a<1+lnxx+2x−令g(x)=1+lnxx+2x−x2当1e≤x<1时，−lnx当1<x≤2时，−lnxx2所以g(x)在[1e,1)上单调递增，在(1,故答案为：D．【分析】根据题意，将问题转化为f'(x)<0在[1e,2]上有解，即9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：函数f(x)=(1e若a>0，当x=0时，1≥0恒成立，满足题意；当x>0时，则ex+1x≥ax当x<0时，则(1e)令g(x)=e−x−x当x<−1时，则g'(x)=(x+1)当−1<x<0时，则g'(x)=(x+1)所以g(x)min=e1若a≤0时，因为f(x)>0,a|x|≤0，所以f(x)≥a|x|，故实数a的范围为故答案为：ABD.【分析】由题意，分a>0和a≤0两种情况讨论，结合导数判断函数的单调性求最值即可求实数a的取值范围.10．【答案】2【解析】【解答】解：因为函数f(x)=aex−所以f'(x)=ae令g(x)=2xex，则g'(x)=当x∈(−∞,1)当x∈(1,+∞)时，g要使a≥2xex恒成立，则a≥2e故答案为：2e【分析】由题意，可得f'(x)=aex−2x≥0恒成立，分离参数可得a≥11．【答案】（1）解：由题可得f'因为曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线x=2垂直，所以f'(e（2）解：由（1）知f'(x)=由f'(x)<0，解得0<x<e所以f(x)的单调减区间为(0,e)，单调增区间为(（3）解：由g(x)=f(x)−x=lnx+k即g'(x)=1即k<−x2+x在(0令h(x)=−x2+x则h(x即k的取值范围为(−∞,【解析】【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求解即可；

（2）由（1）可得f'(x)=x−ex2，利用导数与单调性以及极值的关系求解即可；

（3）将g(x)=f(x)−x在12．【答案】（1）解：当m=2时，f(x)=xlnx−2x,因为f'(x)=lnx+1−2=lnx−1，所以所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−(−2)=−1×(x−1)，即（2）解：由题意，知xlnx−mx+lnx+3>0对任意x>1恒成立，可知m<lnx+lnx+3x对任意设函数g(x)=lnx+lnx+3x(x>1)对函数g(x)求导，得g'设函数h(x)=x−lnx−2(x>1)，对函数h(x)求导，得h'所以函数h(x)在(1,又h(3)=1−ln3<0,所以存在x0∈(3,72所以当x∈(1,x0)时，当x∈(x0,+∞)时，所以g(x)所以m<x0+1x所以整数m的最大值为2．【解析】【分析】（1）将m=2代入，求导，利用导数的几何意义几何点斜式求解即可；

（2）原问题转化为m<lnx+lnx+3x对任意x>1恒成立，设函数g(x)=lnx+lnx+313．【答案】C【解析】【解答】解：因为f(x)的定义域为R，且f'令f'(x)=0，可得x=−3或若−a<−3，即a>3，当x>−3或x<−a时，f'(x)>0；当−a<x<−3时，可知f(x)在(−∞,−a),则f(x)在x=−3处取到极小值，不合题意；若−a=−3，即a=3，则f'(x)=(x+3)可知f(x)在定义域R内单调递增，无极值，不合题意；若−a>−3，即a<3，当x<−3或x>−a时，f'(x)>0；当−3<x<−a时，可知f(x)在(−∞,−3),则f(x)在x=−3处取到极大值，符合题意；综上所述：实数a的取值范围是(−∞,故答案为：C.【分析】求导，分−a<−3，−a=−3和−a>−3讨论函数f(x)的单调性，进而求极值点，结合题意分析求解即可.14．【答案】C【解析】【解答】解：求导可得f'当f'(x)>0，解得−1<x<2；当f'(x)<0，解得所以f(x)在(−1,2)上单调递增，在(−∞,若函数f(x)=−13x则m+4≤−1或m−1≥2或m−1≥−1m+4≤2，解得m≤−5或m≥3或m∈∅即m≤−5或m≥3.故答案为：C.【分析】求导，利用导数判断函数的单调性，再由已知建立关于m的不等式组求解即可得实数m的取值范围.15．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：函数f(x)=x若a≤0，可得f'(x)>0,f(x)在若0<a<1时，令f'(x)>0，解得af(x)在(所以f(x)在x=a若a≥1，可得f'(x)<0,f(x)在综上所述：0<a<1.故答案为：BCD.【分析】先求函数f(16．【答案】[【解析】【解答】解：因为存在唯一的正整数x0，使得f(x0)<0，

则因为存在唯一的正整数令h(x)=a(x+1),g(x)=x3ex，所以存在唯一的正整数所以x∈(3,+∞)，g'(x)<0，所以g(x)单调递减；x∈(−∞,所以g(x)max=g(3)=27e所以当a≤0时，有无穷多个整数，使得h(x)<g(x)，当a>0时，函数h(x)单调递增，作出函数h(x)=a(x+1),记g(x)上A(2,8e实数a的取值范围是[27故答案为：[27【分析】将存在唯一的正整数x0，使得f(x0)<0转化为存在唯一的正整数x017．【答案】（1）解：当a=3时，函数f(x)=(32x−3)2则k=f'(2)=0，因为f(2)=0，所以f(x)在点(2（2）解：函数f(x)=(3x2令f'(x)=0，解得x=2a当2a−63<x<2a3时，当x<2a−63或x>2a3时，则f(x)【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求解即可；

（2）求导，利用导数判断函数的单调性求极值即可.18．【答案】（1）解：因为函数f(x)=xex−因为a>0，令f'(x)=0，解得x=−1或当lna<−1时，即0<a<1e时，f(x)在(−∞,lna)所以f(x)的极大值为f(ln当lna=−1时，即a=1e时，f'(x)≥0当lna>−1时，即a>1e时，f(x)在(−∞,−1)所以f(x)极大值为f(−1)=a2−（2）解：当a>1e时，由（1）知，函数f(x)在(−∞,−1)上单调递增，在(−1,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，当lna≤0时，即1e<a≤1时，当x∈[1,+∞)又因为当x∈(−∞,0]时，因为e−32a>0，所以，当1e<a≤1当0<lna≤1时，即当x∈[1,+∞)时，f(x)单调递增，当x∈(−∞若满足题意，只需32a−e≤a当lna>1时，即a>e当x∈[1,+∞)时，f(x)在(1,ln所以函数f(x)的最小值为f(x)所以f(x)∈[又因为x∈(−∞,0]时，若满足题意，只需12a(ln因为a>e，所以1−(ln所以，当a>e时，不存在x2∈(−∞,综上，实数a的取值范围为(1【解析】【分析】（1）求导可得f'(x)=(x+1)(ex−a)，令f'(x)=0，解得x=−1或x=lna，分lna<−1和lna=−119．【答案】A【解析】【解答】解：由e2a设f(x)当x>ln4时，f'(x所以f(x)在(则f(x)当且仅当2a=ln4，即设g(x)当0<x<14时g'(x所以g(x)在(0所以g(x)max=g(又f(2a)此时a=ln2,故答案为：A.【分析】由题意，不等式可转化为e2a−8a≤4lnb−16b+8，分别构造函数20．【答案】B【解析】【解答】解：因为对于任意A>0，ω>0，φ∈R，k1k2设k1对应的切点为(x1,sinx设k2对应的切点为(x2,sinx因为(sinx)'=cos所以只需考虑x1+x'1则k1k2=sin所以k1又因为−2sinx所以sinx1=(令f(x)=tanx−x+π(−π所以f(x)在(−π2,设f(x所以−π2<x2所以k1令h(x)=sinxπ−x令t(x)=(π−x)cosx+sin因为t(x)在(−π2,即h'(x)<0，h(x)在(−π所以sinx1sin综上所述：53故答案为：B.【分析】根据结论恒成立只考虑y=sinx的情况，假设切点坐标，则只需要考虑x1+x'1=2π，x2+x'221．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、令f(x)=lnxx定义域为0，+∞当f'x>0，则x∈(0,e)，f(x)单调递增；当f'x<0，则x∈(e,+∞)，f(x)单调递减，

所以f(x)的极大值f(e)=1e，且x>1，f(x)>0，因为直线y=kx与曲线y=lnx相交于B、设M(x1,yy=lnx在My−lnx1=1因为k=lnx2−lnC、因为k=y1x因为P(x0即y0=x所以y1D、因为kx1=y1，所以lnk+lnx1=lny1，所以ln故答案为：ACD.【分析】构造函数f(x)=lnxx，计算即可判断A；写出A，B点处的切线程联立并化简得x0=x1x2lnx2−22．【答案】12e【解析】【解答】解：由f(x1)=2由g(x2)=t2x1令m(x)=x+lnx，则因为m'(x)=1+1x>0，所以函数所以lnt令h(t)=lntt当t∈(0,e)时，h'(t)>0则函数h(t)在(0,e)h(t)max=h(e)=故答案为：12e【分析】由题意，构造x1+lnx1=ln(lnx2)+ln23．【答案】（1）解：函数f(x)=ax−lnxx的定义域为令f(x)=0，即ax−lnxx=0(a>0)设g(x)=ax2−lnx，则g令g'(x)=0，可得当x∈(0,2a2a)时，当x∈(2a2a,+∞)时，则g(x)的最小值为g(2a2a)=要使得g(x)=ax2−lnx即1+ln2a≤0，得a∈(0,（2）解：由x1,x2为即g(x1两式相减得a(x12要证当0<x1<只需证lnx1−lnx2lnx1x令t=x1x2(0<t<1)F'(t)=1t−∴F(t)=lnt−2(t−1)【解析】【分析】（1）先求函数f(x)的定义域，问题等价于ax2−lnx=0，令g(x)=ax2−lnx，求导利用导数函数g(x)的单调性，并求最小值，解不等式g(2a2a)=12(1+ln2a)≤0求解即可；24．【答案】（1）解：因为f(x)=lnx+x所以f'令g(x)因为a>0，当0<a≤2时，Δ≤0，则g(x此时f(x)当a>2时，Δ>0，由g(x)=0当0<x<x3或x>x4时，当x3<x<x4时，所以f(x)在(0,x综上，当0<a≤2时，f(x当a>2时，f(x)在(0,其中x3（2）解：由（1）可知，x3,x4为所以x1=x3,此时a>2，x1+所以x1∈(0,22)，则2f(=2(=令t=x22，则t∈(则g'当t∈(12,1)时，当t∈(1,+∞)时，g'所以g(t)所以2f(x1)−f(【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，分Δ≤0，Δ>0两种情况判断函数的单调性即可；

（2）利用（1）的结论，利用韦达定理可得x1⋅x2=12，2a25．【答案】B【解析】【解答】解：∵fx=x2−2x+mlnx∴f'x即m≥−2x2+2x令gx∴gxmax=即实数m的取值范围为12故答案为：B.【分析】由题意可得f'x=2x−2+mx≥0在26．【答案】B【解析】【解答】解：函数f(x)=lnx−12a由题意得f'(x)=1即1x2−其中y=1故a>−1，故实数a的取值范围是(−1,故答案为：B.【分析】先求函数fx的定义域，由题意可得f'(x)=1x27．【答案】A【解析】【解答】解：对任意两个实数x1，x2，且x1≠x2，令gx=fx由函数的单调性定义可得：函数gx在(2,3)上为增函数，gx=alnx+1+x2-x，

则g'x≥0在(2,3)上恒成立，即ax+1+2x-1≥0，

即a≥-2x-1x+1即实数a的取值范围为a∈[−9,故答案为：A.【分析】由f(x1)−f(x2)x1−x2>1可得28．【答案】B【解析】【解答】解：∃x1,x2由题得f'当x>0时，f'(x)<0，当x<0时，所以函数f(x)在-∞，0单调递增，在0，+∞由题得g(x)min=g(−1故答案为：B.【分析】由题意，原问题等价于f(x)max≥g29．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：因为函数f(x)=x当x<0时，x2+2≥ax恒成立，即因为x+2x≤−22，当且仅当x=2当x=0时，e0当x>0时，ex≥ax恒成立，即设g(x)=exxx∈(0,1)，g'(x)<0，函数g(x)单调递减，x∈(1,所以g(x)min=g(1)=e综上所述：−22故答案为：ABC.【分析】当x<0时，可得a≥x+2x恒成立，结合对勾函数的性质求得a≥−22，当x=0时，e0≥0恒成立；当x>0时，得a≤30．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：函数f(x)=ex−ax+1(a∈N+)，求导可得f'当x<lna时，f'(x)<0，当所以函数f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在所以x=lna时，函数取得最小值因为f(x)>0恒成立，所以a−alna+1>0恒成立，且可得实数a的所有可能取值1，2，3.故答案为：ABC.【分析】求导，利用导数判断函数f(x)的单调性，结合f(x)>0恒成立求解即可.31．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A、函数f(x)=−x3+2x−1，f当x∈(0,3π4)时，B、函数f(x)=lnx−2x，f'(x)=1当x∈(0,3π4)时，C、对于f(x)=sinx+cosx，f'(x)=cosx−sinx，当x∈(0,3π4)时，x+π4∈(对于D.对于f(x)=xex，f'当x∈(0,3π4)时，故答案为：ABC．【分析】由题意，根据凸函数的定义，求出函数的二阶导导函数，逐项判断即可.32．【答案】(0【解析】【解答】解：因为x≥1，不等式ax≤(2x+1)ex，分离参数可得设g(x)=(2x+1)ex当x∈[1,+∞)时，g'(x)>0，所以函数则g(x)min=g(1)=3e，所以0<a≤3e故答案为：(0,【分析】由题意，分离参数可得a≤(2x+1)exx，设g(x)=(2x+1)33．【答案】e+3【解析】【解答】解：不等式ex≥(2a−3)x对任意x∈R恒成立，即ex设f(x)=ex−(2a−3)x2a−3<0时，f'(x)>0在R上恒成立，f(x)在函数y=ex和函数y=−(2a−3)x在R上都单调递增，ex∈(0,+∞)当2a−3=0时，f(x)=ex≥0当2a−3>0时，f'(x)<0解得x<ln(2a−3)，f(x)在(−∞,ln(2a−3))上单调递减，在当x=ln(2a−3)时，f(x)有最小值，故(2a−3)−(2a−3)ln(2a−3)≥0，0<2a−3≤e，综上可知，实数a的最大值为e+32故答案为：e+32【分析】由题意，ex−(2a−3)x≥0对任意x∈R恒成立，构造函数f(x)=e34．【答案】(−∞【解析】【解答】解：因为f(x)=lnx−2ax+1≥0，且x>0原题意等价为：存在x>0，使得2a≤ln构造函数g(x)=lnx+1x当0<x<1时，g'(x)>0；当x>1时，可知函数g(x)在(0,1)内单调递增，在(1,可得2a≤1，解得a≤1所以实数a的取值范围是(−∞,故答案为：(−∞,【分析】由题意分析可知：原题意等价为：存在x>0，使得2a≤lnx+1x成立，构建g(x)=35．【答案】（1）解：f(x)=x求导可得f'当x∈(−∞,−13)∪(1,+∞)故函数f(x)单调增区间为(−∞,−1（2）解：由（1）知，函数f(x)在区间(−12,−1因为f(−12)=178，f(−13)=59故函数f(x)在区间[−12,2]上的最大值为4，最小值为1，则【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性求单调递增区间即可；

（2）由（1）知，函数f(x)的单调性，求最值，结合区间端点处的函数值，即可得实数m的范围.36．【答案】（1）解：f(x)=2lnx−3x+2定义域为0，+∞，f'则f'(1)=−1，f(1)=−1，故所求切线方程为y+1=−(x−1)，即（2）解：由题意，2lnx−mx+2≤0，故m≥2lnx+2x对任意令g(x)=2lnx+2x(x>0)令g'(x)=0，解得当x∈(0,1)时，当x∈(1,+∞)时，则当x=1时，g(x)取到极大值，也是最大值2，故实数m的取值范围为[2,【解析】【分析】（1）将m=3代入，求导，利用导数的几何意义求解即可；

（2）由题意，不等式f(x)≤0，转化为m≥2lnx+2x对任意x∈(0,+∞)恒成立，

令37．【答案】D【解析】【解答】解：当x=0，1≤e0，不等式成立；当x>0时，a≤ex−x2−1x恒成立，即a≤(ex−x2所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，故g(x)>g(0)=0，所以ex−x−1>0，

所以当0<x<1时，f'(故答案为：D.【分析】先确定x=0时的情况，在x>0时，参变分离可得a≤ex−x238．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、当a=1时，f(x)=x−lnx,当0<x<1时，有f'(x)<0,当x>1时，有f'(x)>0,所以当x=1时，f(x),g(x)均各自取到相应的极值，且所以当a=1时，则f(x)与g(x)有相同的极值点和极值，故A正确；B、f(x)=ax−lnx=0⇔a=ln令u(x)=lnu'(x)=1−当0<x<e时，u'(x)>0，u(x)单调递增，当x>e时，u'当x→0时，u(x)→−∞，当x→+∞，u(x)→0，当x=e时，u(x)有极大值，u(e)=1在同一平面直角坐标系中，画出直线y=a的图象与函数u(x)的图象，如图所示：所以方程a=lnxx当0<x<1e时，v'(x)<0，v(x)单调递减，当1e当x从1的左边趋于1时，v(x)趋于正无穷，当x从1的右边趋于1时，v(x)趋于负无穷，当x>1时，v'(x)>0，令x=et,t→−∞，则x→0，v(x)=−e当x=1e时，v(x)有极小值，在同一平面直角坐标系中，画出直线y=a的图象与函数v(x)的图象，如图所示：方程a=−1xln综上所述，不存在a∈R，使f(x)与g(x)的零点同时为2个，故B错误；C、设F(x)=f(x)−g(x)=ax−lnx−alnF(1)=a−1<0<1,F'当x∈[1,e],若1<1a<e当1<x<1a时，F'(x)<0，F(x)单调递减，当1aF(1即在1e<a<1的情况下，f(x)−g(x)≤1对若1a≥e，即当1<x<e时，F'(x)<0，所以F(x)<F(1)<0<1，所以在0<a≤1e的情况下，f(x)−g(x)≤1对综上所述，当a∈(0,1)时，f(x)−g(x)≤1对D、若函数f(x)−g(x)在[1,e]上单调递减，则F'即ax−1≤0对x∈[1,e]恒成立，即a≤1易知函数y=1x在[1,e]上单调递减，所以a≤1故答案为：AC.【分析】由题意，分别求导，结合导数和函数极值的关系即可判断A；分别求f(x)与g(x)的零点为2个时a的范围，判断交集是否为空集即可判断B；构造函数F(x)=f(x)−g(x)=ax−lnx−alnx−1x,x∈[1,e],a∈(0,39．【答案】[【解析】【解答】解：由题意，可得f(x)当−1≤x≤1时，f'由f'(x)<0，可得−1≤x<0，由f'所以函数f(x)在[−1,0)上单调递减，在(0,因为g(x)=(1e)x−a，所以所以0≥(1e)2−a，解得故答案为：[1【分析】根据题意可得f(x)min≥g40．【答案】（1）解：函数f(x)=x+2−aex的定义域为R，求导可得当a≤0时，f'(x)>0，则函数f