2024-2025学年湖北省武汉市高二年级上册期末检测数学检测试题（附解析）

2024-2025学年湖北省武汉市高二上学期期末检测数学检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.已知直线/的方程为x+Ain8+3=0（9£R）,则直线/的倾斜角。的取值范围是

()

兀兀

A.[0,K)B.

4?2

兀3兀兀兀兀3兀

C.D.

45T41225T

2.已知两条异面直线的方向向量分别是日=（-3,1,-2尸=（3,2,1）,则这两条异面直线

所成的角。满足（）

A.sin0=-B.cos6二—

1414

0.八VH5「9

C.sin。二------D.cos0=

1414

3."ac=〃”是%、b、。成等比数列”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

2

4.已知点尸为双曲线C:f一匕=1右支上的一个动点，贝I点尸至U直线/：V=2x+4的距

4

离的取值范围为（）

5.在1和17之间插入（"-2）个数，使得这“个数成等差数列.若这（〃-2）个数中第

Ios

1个为。，第（〃-2）个为则上+f的最小值是（）

ab

A.2B.3C.4D.5

6.过抛物线E:/=2力（p>0）焦点厂的直线与此抛物线交于42两点，且万=2而.

抛物线E的准线/与x轴交于点C,过点A作44J/于点4若四边形MC尸的面积为

5vL则P的值为（）

A.2B.4C.272D.

7.谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基

在1915年提出.先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各

边的中点为顶点的三角形，即图中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中

又挖去一个“中心三角形”，用上面的方法可以无限操作下去.操作第1次得到图2,

操作第2次得到图3..................,若继续这样操作下去后得到图2024,则从图2024

22

22

8.已知椭圆£:二+二=1（°>6>0）的左焦点为尸，如图，过点尸作倾斜角为60。的直

ab

线与椭圆£交于45两点，〃为线段"的中点，若4园田=|。尸|为坐标原点），

则椭圆E的离心率为（）

A百R710r715n2将

3557

二、多选题（本大题共4小题）

9.已知圆。:/+产=1,则下列曲线一定与圆。有公共点的是（）

A.x2+y2-4x-4y+7=0B.3x+2j-l=0

C.抛物线=4x的准线D.（x-3）2+/=f2+9（feR）

10.在正方体/BC248CA中，N为BC的中点，。为应\的中点，〃是棱N4上靠

近4的四等分点，0是棱。R上靠近。点的四等分点，点P在正方体的表面上运动，

且满足。P，GN,则下列说法正确的是（）

B.点P可以是的中点

C.点尸的轨迹是长方形

D.点尸的轨迹所在平面与平/BCD交

11.双曲线具有如下光学性质：从一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光

22

的反向延长线经过另一个焦点.如图，已知双曲线C:1-勺=1（。>0,6>0）,用B为双

曲线C的左、右焦点.某光线从工出发照射到双曲线右支的尸点，经过双曲线的反射

后，反射光线尸"的反向延长线经过耳.双曲线在点p处的切线与X轴交于点

。，-0|=2|凿且反射光线所在直线的斜率为半.则以下说法正确的是（）

A.点。到直线尸片和直线尸鸟的距离相等

B.\PFt\=4a

C.双曲线C的离心率为2

D.若过点。的直线与双曲线。交于48两点，则点。不可能是线段的中点.

12.已知S“是等比数列｛%｝的前"项和，且S"=—h+a,则下列说法正确的是

（一2）

A.a=—2

B.｛Sj中任意奇数项的值始终大于任意偶数项的值

C.⑸｝的最大项为4=3,最小项为星=；

aa

D.4出+。2〃3■1--------^~iOH=6

三、填空题(本大题共4小题)

/(毛一小)一/(%)「3,贝|]

13.若R上的可导函数＞=/(x)在尤=Xo处满足!叫

2Ax

/'(%)=

__rrrr—►

14.对于任意向量a,5定义运算：a®b=-a-b.若向量Q=(2,1,1),向量g为单位向

量，则的取值范围是

15.已知抛物线。:/=八点尸(14),RM"5和火〃。尸。为此抛物线的两个内接三角形

(即三角形的三个顶点均在抛物线上)，且均以点P为直角顶点，则直线4?与直线

的交点坐标为

16.记R上的可导函数〃x)的导函数为f(x),满足的数列｛%｝称为

“牛顿数列”.若函数=x,且r(x)=2x-1,数列｛当｝为牛顿数列.设

-In",已知。1=2,〉1,贝a?=，数列｛%｝的前〃项和为S”，若不等式

x〃—1

0-14WS；对任意的〃eN*恒成立，贝h的最大值为

四、解答题(本大题共6小题)

17.已知圆C+(y-l)2=5,

⑴已知直线4：加x-y+1-皿=0,设4与圆。交于48两点，求弦”8中点P的轨迹方

程；

(2)记(1)中点P的轨迹为曲线E,点M为曲线E上一点，点N为直线

/2：3x-4y-4=0上一点，求的取值范围.

18.已知数列｛。“｝是等差数列，数列也｝是等比数列，且满足:

9

“1=4=1,%=/(。4-。3)，&=6b4-9b3,

(1)求｛%｝、｛4｝的通项公式;

(2)数列｛qj满足*+，■+…+*=«„+i,求｛c“｝的通项公式.

19.已知双曲线。：m-4=1(。＞0力＞0)的离心率为2@,48分别为双曲线。的左、右两

«■b3

个顶点，左顶点A到双曲线C渐近线的距离为"；

2

(1)求双曲线。的方程；

⑵若过点(0,1)且斜率为左的直线/与双曲线。仅有一个交点，求实数左的值.

20.如图，在直四棱柱/3CD-4B|QD]中，四边形48C。为梯形，AB//CD,

AB=6,AD=CD=2,ABAD=60°,点£在线段N8上，且4E=2,尸为BC的中

点.

(1)求证：〃平面4DA4；

(2)若直线与平面/BCD所成角的大小为45°,求二面角耳-跖-G的余弦值.

21.已知数列仇｝满足：­=|噜?’吃普，且4=4.记数列%,%，%，…为同，

[2""+、”为偶数

记数列。2，。4，。6，,"为｛。"｝.

⑴求证：｛%｝是等差数列，并求｛c“｝的通项公式；

(2)记d„=bn-cn+—^―q-,求数列｛4,｝的前”项和Tn.

22.已知抛物线£:/=了，其焦点为尸(0,：).

⑴42两点为抛物线C]上的动点且满足M司+忸川=',直线48不垂直于y轴，求

证：线段N3的垂直平分线过定点P,并求出点P的坐标；

⑵已知椭圆g：[+[=1，圆M:(x-拒r+(y-l)2=l,过(1)中点P作斜率分别为

无后的直线44，且满足左/2=-1，直线4交椭圆于C,。两点，直线4交圆河于瓦尸

两点，点”为跖中点，求面积的取值范围.

答案

1.【正确答案】C

【分析】根据条件，分sin6=0和sin。R。两种情况讨论，再结合上=tana的图像，即

可求出结果.

【详解】当sin6=0时，直线/的倾斜角。为彳，

2

13

当sinOwO时，由工+加山。+3=0得至!]y=一~；—x—一；—,

sin。sin。

又易知sine«-M],所以—熹w(—8,l]U[l,+8),即左£(—8川U[l,+8),

由左=tana的图像可知,U)U但何，

427\24

故选：C.

2.【正确答案】B

【分析】根据方向向量的坐标求出对应的模，利用空间向量的数量积即可求出两条

异面直线所成的角.

【详解】二•两条异面直线的方向向量分别是

M=(-3,1,-2),V=(3,2,1),/.U.V=-3X3+1X2+(-2)X1=-9

\u\=^12+(-3)2+(-2)2=V14,|V|=A/32+22+12=414,

।,\u-v\-99

又两条异面所成的角为。，则cos6=|cos仅，砌=同而=比不近=—,

故选：B.

3.【正确答案】B

【分析】由。、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得对于充分性，可

以举一个反例，满足〃=因,但。、b、c不成等比数列，从而得到正确的选项.

【详解】若。、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得：b2=ac,

若ac=〃，当。=6=。=0时，。、b、c不成等比数列，

则“〃=小是％、b、c成等比数列”的必要不充分条件.

故选：B.

本题考查充分条件、必要条件的判断，考查等比中项的性质，属于基础题.

4.【正确答案】B

【分析】把所求问题转化为求点P到直线了=2尤+4的最小距离，结合平行线间的距离

公式可求.

2

【详解】双曲线——匕=1的渐近线方程为〉=±2x,

4

44后

而直线＞=2x+4与y=2x平行，平行线间的距离d=云^二学，

由题意可知点尸到直线，=2x+4的距离大于逑.

5

故选：B.

5.【正确答案】A

【分析】由题意，得到。+6=18,构造工+学=('+学)•安，利用均值不等式即可求

abab18

解.

【详解】根据题意，设这〃个数组成的数列为{%},

贝U有。+6=1+17=18,所以1+F=('+M).号=白(26+2+?)、2,

ababab

当且仅当2=孕，即6=5a=15时等号成立.

ab

故选：A.

6.【正确答案】A

【分析】过点8作5功二于点名，过点8作BOLZ同于点。，8。交工轴于点£，设

..4

忸可=X,结合抛物线定义可得|c司=：x=p,由X表示四边形用CF的面积求出x可得

答案.

【详解】如图，不妨假定N在第一象限，

过点B作881/于点名，过点3作50,44于点。，2。交x轴于点E,

设\BF\=x,则忸可=忸阂=\CE\==双幽=M尸|=2x,

所以|40|=|04卜|4。=X，|即=皿2=，%2_一=2点,

因为///。尸，所以W=F=可得。E|=4X2行工=蝮工，

DBAB31133

\EF\BF

品=面=『1可得,即,=”1所以,W,=y4

则四边形/&CF的面积为:(|/4|+|CF|)xpE卜:卜+书c=5S,

3443

角军得x==,即p=彳x=彳x；=2.

2332

【分析】根据等比数列的前〃项和公式求得正确答案.

【详解】由图可知，图2024中挖去的白色三角形个数是:

故选：C

8.【正确答案】D

【分析】由已知求出/点坐标，利用点差法求得与,可求椭圆离心率.

a

【详解】椭圆的左焦点为尸（Y,0）,\FM\=^OF\=^C,

过/作TW'_LX轴，垂足为由N〃W=60。,

设/（无1，乂）石色,力）,则有"21=tan60。=6,±±±=-?g2j=©c,

xi~x22828

由事¥=i,除¥=i,两式相减得(%+%中72)+5+%)6一％)=0,

ababab

2

则有」b=（必+%）（.%-%）

a（占+12）（工1-X2）

故选：D

(h

7、

方法点睛：由直线倾斜角为60。且4|司图="尸I，得〃F.c,利用中点弦问题的点差

(88J

法得与=3,通过构造齐次方程法求离心率的值e==竺.

a27AVL5a27

9.【正确答案】BC

【分析】利用直线与圆的位置关系可判定BC,利用两圆的位置关系可判定AD.

【详解】易知o：/+v=i的圆心为原点，半径为1,

贝！1原点至l」3x+2y-1=0的距离"=去<1,即直线与圆相交，故B正确；

V13

由/+y2-4x-4y+7=On(x-2)~+(y-2『=1可知其圆心为(2,2),半径为1,

两圆圆心距20>1+1，即两圆相离，故A错误；

由(x-3)2+)=f2+9«eR)知其圆心为(3,0),半径炉商，

两圆圆心距为34炉商，当且仅当"0时两圆才有交点，除此之外两圆无交点,

故D错误.

易知抛物线准线方程为x=T,显然与圆。相切，故C正确.

故选：BC

10.【正确答案】ACD

【分析】A：表示出血,印的坐标，根据数量积的结果判断位置关系；B：表示出P

点坐标，然后根据丽•印的结果进行判断；C：设出P点坐标，根据9•四=0得到

坐标满足的方程，由此可确定出平面所过的两点瓦尸，再结合向量判断出轨迹形状；

D：根据跖,3C的位置关系结合基本事实3作出判断.

【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设正方形的边长为4,

对于A：因为跖（4,0,3）,0（0,0,1）6（0,4,4）,N（2,4,0）,所以

哈（＜0,-2）干=（2,0,f,

所以说•四=一8+0+8=0,所以M0，GN,故A正确；

对于B：因为3（4,4,0）,3"4,4,4）,。（2,2,2）,所以P（4,4,2）,0?=（2,2,O）,

所以而•*=4+0+0=4w0,所以OP，GN不成立，故B错误；

对于C：设尸（x）,z）,所以历=（x-2/-2,z-2）,

因为赤=2（x-2）+0-4（z-2）=0,所以x-2z+2=0,

当x=0时，z=l,当x=4时，z=3,

取石（0,4,1）1（4,4,3）,且M（4,0,3）,0（0,0,1）,

所以说=（-4,0,-2）,而=（-0,-2）,所以破=而，

所以四边形为平行四边形，

又因为砺=（0,4,0）,所以近.赤=0+0+0=0,所以破_L加，

所以四边形MFEQ为长方形，

又因为M（4,0,3）,E（0,4,1）,所以出的中点为（2,2,2）即为。点，

所以Oe平面

又因为近•苧=0,加•印=0,所以M0_LC；N,MF_LGN,

且=平面所以C/_L平面MFE0,

所以若OPLGN,则有Pe平面MFEQ,

所以点P的轨迹是长方形故C正确；

对于D：因为斯,8Cu平面且ER3C不平行，所以3c相交于一点，

又因为EFu平面MFE0,BCu平面/BCD,

由基本事实3可知，平面四花。与平48CD交，故D正确；

故选：ACD.

11.【正确答案】ABD

【分析】对于A,可由双曲线的光学性质得到为/耳尸乙的角平分线；然后由角平

分线的性质以及双曲线定义求出户用和|尸园可判断B；再由直线尸耳的斜率求出

cos/尸片用，根据余弦定理判断C；对于D,假设直线存在，利用点差法导出矛盾.

【详解】对于A：由双曲线的光学性质可知，尸。为/片时的角平分线，故A正确;

对于B：由角平分线性质可\P知F.胎\F=,Q高\=2,

\PF2\QF1\

又忸用-户闾=2%解得卢41=4%\PF^=2a,故B正确；

对于C：设弦;=a（0<a<1],由直线尸片的斜率为运可得tana=1

I2J77

7

又sin2a+cos2a=1,解得cosa=7,

8

a=附「+闺柳-尸母=（44+（24-（24=7

由余弦定理可知cos

2M忸524。2c8

c1

整理得：6/-7ac+2c2=0解得e=—=3或大舍去），故C错误;

a2

对于D：假设存在满足条件的直线48,设/（占,“）]（孙力）,

由闺。=2阳。可知。点的坐标为、,o],。为中点可知%+%=gc,

%+%=。，把42点的坐标代入双曲线方程得耳-4=1,4-4=1,

a2b~a2b2

两式作差得（X「X2”X|+%）=（必+匕）,等式右边等于0,

ab

等式要想成立只能左边也等于0,即再=%，因为%+%=0,

此时48两点关于X轴对称，即48垂直于X轴，显然48与双曲线不相交,

不满足题意，故D正确；

故选：ABD

12.【正确答案】BCD

【分析】由等比数列的前〃项和公式可得。=2,可判断选项A；根据S,的解析式判

断奇数项与偶数项的公式，从而判断BC；由S“得到°”的通项公式，从而表示出

b„=a„a„+l的通项公式即可判断D.

【详解】由题可知，此时等比数列的公比4*1,所以设前〃项和公式应为：

S„=-A-q"+A,

3=-2.+a=2,A错误;

/r+2,〃为奇数

因此包=-2・+2=<

-击+2,〃为偶数

可得｛sj中，奇数项递减，且始终大于2,最大值为岳=3,

3

偶数项递增，且始终小于2,最小值为§2=；,因此BC正确;

n-2

3

由S〃可得q

2

所以Qi?+。2。3-----*■。10%14,故D正确

4

故选：BCD

13.【正确答案】6

【分析】导数的定义可得答案.

【详解】1血/（“。2）一小。）=-llim“X。…A"%）=_1f'ix\=-3,

-2Ax2o—Ax2v7

则f'M=6.

故答案为.6

14.【正确答案】[6-76,6+76]

【分析】设扇3=6,贝111区3=|同2-展5=6-&cos。，根据。的范围可得答案.

【详解】由题意得，同="，忖=1,

设落3=6,则1区3=|同2—。石=6-Ccos。，

因为OV04无，所以—IVcosdWl,所以6-灰Wa③346+八.

故答案为.[6-跖6+#]

15.【正确答案】（-1,2）

【分析】设/N，X；）,8（X2，X；）,求出直线NB的方程，又乃U而得

xlx2+xl+x2+2=0,与直线48的方程作比较可得直线48过定点，同理直线CD过相

同定点可得答案.

【详解】设/（网/；）,812，考），JU!]=（x1+x2）（x-x1）,

即LB:了=（&+X2）x-尤俨2,

又尸/_LP8,强=（尤而=（%-1芯-1）,

则（X1—l）+（x；-—1）=0,.〔1+（&+1）（迎+1）=0,;.Xj%2+X]+%2+2=0,

则对于。B：了=（占+尤2）x-X1X2而言，当x=-l时，y=2,即直线48过定点（T,2）.

同理，/⑺也过定点（-1,2）,则可知直线NB和。的交点坐标为（-1,2）.

故（T2）.

【分析】由导函数，可得X“+I=47，再由为求出A，即可得到巧，从而求出出，

（V

又』!」=,则0用=2%,可求出数列｛g｝的通项公式与前〃项和为S“，参变

x”+「l1当一3

14（14、

分离可得区S〃+不对任意的〃®N*恒成立，利用对勾函数的性质出j+不即可.

>V3〃人in

2_2

【详解】因为/（x）=f-X,则/'（x）=2x7,贝1JX"M=X“-A^=

2尤「I2x„-l

224

由q=2,%=ln」、，所以一J=e2,解得看=——,所以「=二*।，

1

Xj-1x,-1e-12玉_]e-1

所以g=ln之=4,

2(f

Z二Z

nn+\n___]片-2%〃+1

2x^1"

所以=21n^^=2a„,

x“+i-1-xn-l

即数列｛4｝是以2为首项、2为公比的等比数列，所以⑸=2",

因为0-14WS；对任意的〃eN*恒成立，又S">0且S”单调递增，

1414

所以，4s“+不对任意的"eN*恒成立，令g（x）=x+—,xe（O,+e）,

根据对勾函数的性质可得g（x）=x+—在（0,a可上单调递减，在（、/词+8）上单调递

增，

又2=耳（旧VS2=6,且g⑵=9,g（6）=F<g⑵，

c142525

所以区邑+3=⑥，所以/的最大值为

3253

25

故4；

3

思路点睛：由〃〃与血的函数关系，结合“牛顿数列”的定义，由生求出公，再得到巧，从而

求出的，得出数列｛。“｝的特征，求出S",最后的恒成立问题转化为函数最值问题.

17.【正确答案】（1）

4

(2)|MV|e—,+co

5

【分析】（I）先判断直线4所过定点，利用圆的几何性质列方程，从而求得点P的

轨迹方程.

（2）根据直线和圆的位置关系来求得的取值范围.

【详解】（1）圆C:/+3_l）2=5的圆心为C（O,1）,半径r=右，

直线《：加工一夕+1-«7=0,，"（五-1）-夕+1=0过定点。（1,1）,。，。尸，

则可知弦N3中点P应在以CD为直径的圆上,

C,。的中点为|8|=1,设尸(》/),

则点P的轨迹方程为£[+37)2=；,

由于直线4：相尤-夕+1-加=0不能表示直线x=l,

2

则点P的轨迹方程应为1-j+(y-l)=1(x^1).

(2)记点匕J为点G,则点G到直线，2：3x-4歹-4=0的距离为°2=13,

5-10

1314田」4\

可知19京=而一稔二b'即归,"0)

[3,〃=1

⑵*=12.3,,-1,H>2

【分析】(1)根据已知条件求得等差数列｛g｝的公差、等比数列｛或｝的公比，从而

求得｛%｝、也｝的通项公式;

(2)利用“退一作差法”求得c“.

【详解】(1)设等差数列｛%｝的公差为d,等比数列他,｝的公比为/

g

由｛%｝为等差数列，所以％+4d=jt/,且%=1,所以d=2,故。"=2"-1,

由也｝为等比数列，所以如4=6丽3_9如2,即/-6q+9=（q-3）2=0,所以4=3,故

4=3"、

(2)由题中?+8+…+?=2〃+1,便有?+?+…=2〃-1(〃22),

4b2bn*b2bn_x

两式相减得小=2（〃N2）；即%=2"=2.3"-（此2）,

f3,〃=1

经验证C]=36]=3,所以.

[2-3,n>2

2

19.【正确答案】（1）?r-/=]

（2）土也或土逅.

33

【分析】（1）根据左顶点到双曲线渐近线的距离为，离心率为13，和

4c的关系即可求出双曲线的方程；

（2）设过点（0,1）且斜率为左直线/的方程为：y=kx+l；联立双曲线方程讨论有一个

解即可得到对应实数左的值.

ab

【详解】（1）左顶点/（-。,0）到双曲线C渐近线砂-加=0的距离为

22

7'a+b273

Q3UV32

川|徨J方_]双曲纬「的方程头1a1

由题意可知：，C-----7c，火U〔寸。1，叫狭L刀4■士/Jy1

Ja+b23

c=2

a2+b2=c21

(2)设直线l:y=kx+\,

y=kx+1

2

联立■x2,消元可得(1-3左2卜2一66-6=0.

13,

V3

r.1-3^29=0,A;=±—

3

21—3r片0时，A=(-6k)2+24(1-3Z:2)=24-36Z:2=0.=±g

综上，上的值为±且或土逅.

33

20.【正确答案】(1)证明见解析；

(叼2

【分析】(1)先根据直四棱柱的结构特征证明CG〃。。，再利用线面平行的判定定

理证明CG〃平面NDA4，再通过证明四边形NOCE为平行四边形得到进

而利用线面平行的判定定理得到CE〃平面最后利用面面平行的判定定理与

性质即可得出结论；

(2)先根据直线与平面/BCD所成角的大小为45。求出。口，再建立空间直角坐

标系，求出两个平面的法向量，最后利用向量的夹角公式即可得出结论.

【详解】(1)由题意可得CG〃。。，又。，u平面平面

CG〃平面ADD/-

连接CE,：且4E=CD,；.四边形4DCE为平行四边形，则CE〃/。，

又40u平面4024，CE<Z平面，CE〃平面/。24.

又。6；口以=。且。加，CEU平面CC]£,

平面ADD.A,〃平面CC、E.

又GEu平面CQE,：.GE〃平面AD14.

(2)连接由题意可得V/DE为等边三角形，故。£=2,

由。2，平面N8CO可得RED为直线0E与平面所成的角，故

ND\ED=45°,则DD、=DE=2.

以。为坐标原点，DC,所在直线分别为力z轴，过。且垂直于平面CDDG的直

线为x轴，建立空间直角坐标系如图所示，

则4(6,5,2),G(0,2,2),E(❷1,0),

'I227

贝1」而=一曰，于°，率=(O，T-2),Q£=(V3,-l,-2).

设平面瓦跖的法向量为4=（国,%,

6J_n

n•EF=0—x+~y=0

则「}一，即1l

nx-B[E=0

_41yl—2Z]=0

令必=6,得1=（5,石，一2百）

设平面QE尸的法向量为巧=（工2，%，22），

n,■EF=0

则——.，即

n2-CXE=0

令%=6,得巧=3,后26),

•%162

贝UCOS〃1，〃2=

同•同405'

由图可知二面角片-E尸-G为锐二面角,

2

故二面角与-跖-G的余弦值为

21.【正确答案】（1）证明见解析，cQn

⑵k手1

【分析】（1）根据题意结合等差数列的定义和通项公式运算求解；

（2）根据题意结合等比数