2024-2025学年人教版九年级下数学《锐角三角函数》测试卷（附答案解析）

2024-2025学年人教版九年级下数学《第28章锐角三角函数》测试卷

一、选择题（本题共计12小题，每题3分，共计36分）

1.（3分）在RtZ\/BC中，ZC=90°,cosA=AC=V3,则8C等于（）

A.V3B.1C.2D.3

2.（3分）在直角三角形NBC中，NC=90°,/C=8,BC=6,则tan5的值（）

3543

A.-B.—C.-D.—

5434

3.（3分）在△NBC中，ZC=90°,AB=6,BC=2,则下列三角函数表示正确的是（）

A.siih4=B.cos3=2夜C.tanA=D.COSL4=称

4.（3分）已知，如图，在RtZUBC中，ZC=90°,BC=3,4c=4,则sinB的值是（）

5.（3分）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3,m）,且。尸与x轴正半轴的夹角a的正切值

4

是石，则sina的值为（）

6.（3分）如图所示，河堤横断面迎水坡的坡比是1：V5,堤高2c=4加，则坡面N5的长度是（）

A.V5mB.4V5mC.2&mD.4V6m

7.（3分）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中/2、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，Z

480=150°,8c的长是8加，则乘电梯从点8到点C上升的高度人是（）

第1页（共18页）

A.—mB.4mC.4V3mD.8m

8.（3分）如图，等边三角形45c边长为28，点尸在△48C内部，ZAFB=120°,延长4RBF交BC,4c于点

D,E,下列说法错误的是（）

A.BD=CEB.BD?=DF,AD

2

C.点厂可能是△NBC的重心D.点尸的运动路线长为黑

9.（3分）如图，中，N4、ZB.NC所对的三边分别记为〃，b,c,。是△45。的外心，ODLBC,OE1.

AC,OFLAB,则OD：OE-.OF=()

111

A.a：b：cB.

abc

C.cos/：cosB：cosCD.siih4：sinB：sinC

10.（3分）如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处

有一条60cm长的绑绳EF,tana=则“人字梯”的顶端离地面的高度4。是（）

A

B

A.144cmB.180cmC.240cmD.360cm

11.（3分）在东西方向的海岸线上有4,2两个港口，甲货船从/港沿东北方向以5海里/时的速度出发，同时乙货

船从8港口沿北偏西60。的方向出发，2/?后相遇在点尸处，如图所示.问力港与8港相距—海里.（）

A.10V2B.5V2+5V6C.10+5V6D.20

12.（3分）如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线N5,/C与地面的夹角分别为8。和10。，

该大灯照亮地面的宽度BC的长为3.5米，则该大灯距地面的高度为（

(参考数据：sin8°〜余，tan8°«y,sinl0°〜前，tanl0°~

第2页（共18页）

A.3.5米B.2.5米C.4.5米D.5.5米

二、填空题（本题共计8小题，每题3分，共计24分）

13.（3分）已知Wtcma=l,则锐角a的度数是.

14.（3分）在RtZ\/8C中，ZC=90°,a=2,6=3,则cosN=,sinB

=，tan5=•

15.（3分）如图C、。是两个村庄，分别位于一个湖面的南北两端/和8的正东方向上，且。位于C的北偏东30°

16.（3分）如图,△48C的顶点在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，则tanZACB=.

1

17.（3分）如图，在中，ZABC^90°,已知点/（2,0）,B（6,0）,且tan//C3=当若在y轴上存在点

P使得//尸2=ZACB,则点P的坐标为.

18.（3分）如图，小明在尸处测得/处的俯角为15°,3处的俯角为60°,PB=3Qm.若斜面48坡度为1：V3,

则斜坡AB的长是m.

HBF

第3页（共18页）

19.(3分)对于三个数a、b、c,用"{a,b,c}表示这三个数的中位数，用机办{0,6,c}表示这三个数中最大数,

,,fa(a>-1)

例如：M{-2,-1,0}=-1,max{-2,-1,0}=0,max{-2,-1,a}={/、.

(―l(a<-1)

解决问题：M{sin45°,cos60°,tan60°}=,如果加办{3,5-3x,2x-6}=3,贝Ux的

取值范围为.

20.(3分)在平面直角坐标系xOy中，点4的坐标为(1,0),P是第一象限内任意一点，连接尸。、PA,若/尸。么

=m°,ZR4O=n°,则我们把(m°,n)叫做点P的“双角坐标”.例如，点(1,1)的“双角坐标”为(45°,

90°).

11

(1)点(万，万)的“双角坐标”为；

(2)若“双角坐标”为(30°,60°),则点坐标；

(3)若点P到x轴的距离为;，则m+n的最小值为.

三、解答题(本题共计5小题，共计60分)

21.(10分)如图，一根长6b米的木棒(.AB),斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，与地面的倾斜角(NABO)

为60°.当木棒N端沿墙下滑至点H时，8端沿地面向右滑行至点夕.

(1)求03的长；

(2)当=1米时，求BB'的长.

第4页(共18页)

22.（10分）如图，在△/BC中，3c=120,高40=60,正方形EFG8一边在上，点£、尸分别在/2、/C上,

AD交EF于点、N,求NN的长.

第5页（共18页）

23.(10分)如图，在△48C中，/ABC=/ACB,以/C为直径的。。分别交42、于点M、N,点P在的

延长线上，且NCAB=2NBCP.

(1)求证：直线CP是。。的切线.

(2)若BC=2瓜sinZBCP=求点3到/C的距离.

(3)在第(2)的条件下，求△/CP的周长.

第6页(共18页)

24.(15分)在△48C和△D3E中，CA=CB,EB=ED,点。在NC上.

(1)如图1,若/ABC=/DBE=6Q°,求证：/ECB=NA；

(2)如图2,设8c与DE交于点？当/4BC=NDBE=45°时，求证：CE//AB-,

1EF

(3)在(2)的条件下，若tan〃EC斗时，求而的值.

第7页(共18页)

25.(15分)如图，。。的半径为5,弦5c=6,4为8c所对优弧上一动点，△4BC的外角平分线/尸交。。于点P,

直线AP与直线BC交于点E.

(1)求证：P为优弧8/C的中点；

(2)连接尸C,求尸C的长度；

(3)求sinNR4c的值;

(4)若A/BC为非锐角三角形，请直接写出△/8C的面积的最大值.

备用图

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2024-2025学年人教版九年级下数学《第28章锐角三角函数》测试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共计12小题，每题3分，共计36分）

1.(3分)在中，ZC=90°,cosA=AC=V3,贝U5C等于()

A.V3B.1C.2D.3

G4cI

解：如图：Vcos^4=-y,,又,:AC=遍,:.BC=/22—(V3)2=1.故选：B.

乙AB2N

2.（3分）在直角三角形/BC中，ZC=90",/C=8,BC=6,则tanS的值（）

3543

--c--

A.543D.4

BC=6,

3.（3分）在△ZBC中，ZC=90°,AB=6,BC=2,则下列三角函数表示正确的是（）

A.siih4=^1

B.cos5=2近C.taib4=D.cos4=可

4

解：・・•在△45。中，ZC=90°，AB=6,BC=2,：.AC=^AB2-BC2=V62-22=V32=4V2,

..BC21n21,BC242.AC4V22V2

S1IVA,===C0s5=：==

••IB63'IB63'tag=*=也=彳'cos/=AB=~T3

故选项4错误，选项5错误，选项C正确，选项。错误；故选：C.

4.（3分）已知，如图，在中，ZC=90°,BC=3,/C=4,则sinB的值是（）

B

---------------ACA.

解：VZC=90°,BC=3,AC=4,：.AB=y/AC2+BC2=5,贝!Jsin^=器=看故选：D.

5.（3分）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3,m）,且OP与x轴正半轴的夹角a的正切值

4

是石，则sina的值为（）

第9页（共18页）

PF4

解：过点P作尸£_Lx轴于点E,则可得。£=3,PE=m,在Rt/\POE中，tana=瓦；=可，

解得：机=4,贝!]OP=7PE2+0E2=5,故sina=*故选：A.

6.（3分）如图所示，河堤横断面迎水坡的坡比是1：V5,堤高3c=4〃?，则坡面的长度是（）

A.V5wB.4y/5mC.2返"iD.

解：：迎水坡的坡比是1：V5,：.BC：/C=l：V5,BC=4m,

则AB=7AC?+BC2=4逐（m）.故选：D.

7.（3分）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中/5、CO分别表示一楼、二楼地面的水平线，Z

4SC=150°,5c的长是8加，则乘电梯从点8到点C上升的高度人是（）

1

则CM=〃，ZCMB=90°,VZABC^150°,：.ZCBM^30°,；.h=CM=^BC=4m,故选：B.

8.（3分）如图，等边三角形/8C边长为2b，点尸在△NBC内部，/AFB=120°,延长//，BF交BC,NC于点

D,E,下列说法错误的是（）

A.BD=CEB.BD2=DF-AD

2

C.点厂可能是△/3C的重心D.点尸的运动路线长为黑

第10页（共18页）

解：VZAFB=nO°,：.ZBAD+ZABF=180°-ZAFB=ISO°-120°=60°,

:△/SC是等边三角形，AZABC=ZABF+ZEBC=60°,ZABD=ZBCE=60°,AB=BC,

Z.BAD=AEBC

：.ZBAD=Z.EBC,在△N3D和△BCE中，\AB=BC,:.AABD冬dBCE(ASA),：.BD=CE,

Z.ABD=乙BCE

选项/不符合题意；VZBFD=130°-ZAFB=130°-120°=60°=/ABD,NFBD=NBAD,

BDFD

；.ABFDS^ABD,；.—=—，:.BN=DF-4D,.•.选项3不符合题意；•.,当D,E分别为BC,/C的中点时,

ADBD

ZAFB=ZAFC=ZBFC=120°,此时，尸点为△48C的重心，，选项C不符合题意；

如图所示，连接CM,OB,过点。作0GL48于点G,点下运动的路线长就是弧48的长度，

VZABF=120°,AZAOB=UO°,VOGA.AB,OA=OB,：.ZAOG=^ZAOB=60°,AG=^AB=V3,sin

；。点尸运动的路线长为—选项。符合题意；故选：

/AOG=Uri.4O=SJlllO*\J=qV5=2,180=-3TT,D.

T

9.(3分)如图，△45C中，N4、/B、NC所对的三边分别记为a,b,c,。是的外心，ODLBC,OE1.

111

B.一：一：-

abc

C.cosA：cosB：cosCD.siib4：sinB：sinC

解：设三角形的外接圆的半径是R连接。2,OC.；。是△/2C的外心，且

ABOD=ZCOD=ZA在直角△08。中，OD=O8・cos/BOD=R・cos/.

同理，OE=R,cosB,OF—R*cosC.：.OD：OE：OF-cosA：cosB：cosC.故选：C.

10.（3分）如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处

有一条60cm长的绑绳ERtana=?,则“人字梯”的顶端离地面的高度是（）

第11页（共18页）

AA

A.144cmB.180cmC.240cmD.360cm

iOFAF302.5

解：如图：根据题思可知：△AF0S/\4CD,OF=-^EF=30cm.\—=—,=—

zDCACDC6

SAD55一工

:・CD=72cm,Vtana=—='~*.AD=-^'X72=180cm.故选：B.

乙DC2，

11.（3分）在东西方向的海岸线上有a8两个港口，甲货船从/港沿东北方向以5海里/时的速度出发，同时乙货

船从3港口沿北偏西60°的方向出发，2〃后相遇在点P处，如图所示.问/港与3港相距海里.（）

A.10V2B.5V2+5V6C.10+5V6D.20

解：作PCL4B于点C,：甲货船从/港沿北东的方向以5海里/小时的速度出发，，/B4C=45°,4P=5X2

=10,.•.尸C=/C=5近海里，：乙货船从3港沿西北方向出发，：.ZPBC=60°,.•.8C=百尸。=5区海里，

AB=4C+BC=（5V2+5V6）海里，答:/港与2港相距（5V2+5V6）海里，故选：B.

12.（3分）如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线N8,/C与地面儿W的夹角分别为8。和10。，

该大灯照亮地面的宽度3C的长为3.5米，则该大灯距地面的高度为（）

A.3.5米B.2.5米C.4.5米D.5.5米

./\r)1

解：过点A作4D_LMN于点D,如图所示：在RtdADB与RtAACD中,tan/4B0=第=tan8°“y,

tanZ^Cr>=^=tanlO"y亮，:.BDFAD,CD^^-AD,'：BD-CD=BC,：.lAD-^-AD=3.5,

解得：4D=2.5,即该大灯距地面的高度2.5米，故选：B.

第12页（共18页）

二、填空题（本题共计8小题，每题3分，共计24分）

13.（3分）已知遮tcma=l,则锐角a的度数是30°

解：由题意得，tana=*=亭.•.a=30°.故答案为：30°.

一,,3V133V133

14.(3分)在中，ZC=90°,a=2,6=3,则cos/=-------,sin5=-------,tan5=一

一13一—13——2'

解：：在RtZ\48C中，ZC=90°,a=2,b=3,...由勾股定理得：c=7或+报=履,

即诩/」=寻=容，s血.=岛=嚼，tan5=2=卷

cV1313c71313a2

15.（3分）如图C、。是两个村庄，分别位于一个湖面的南北两端4和8的正东方向上，且。位于C的北偏东30。

解：过。作C£_L3D于E,那么C£=/8.直角△CED中，：。位于C的北偏东30°方向上,

:.NECD=30°."：CD=6,：.CE=CD-cos30°=3遮(km).

3

16.（3分）如图，△/BC的顶点在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，贝han/4C3=_1

1

17.（3分）如图，在△/BC中，ZABC=90°,已知点/（2,0）,B（6,0）,且tan//C3=W，若在y轴上存在点

P使得NACB,则点P的坐标为（0,2）或（0,6）或（0,-2）或（0,-6）

4R1

解：在△/2C中，ZABC^90°,，tanN/C2=诙=2，"'A(2,0),B(6,0),；.AB=4,2C=8,

：.C（6,8）,：.AC=V42+82=4V5.设/C中点为K,则K（4,4）.如图，以K为圆心，NK为半径画圆，交

y轴于尸，则设点尸的坐标分别为（0,y）,;KP=KA=%C,Z.42+（4-y）2=（2V5）2,

解得y=2或6.，尸点坐标为（0,2）或（0,6）；根据对称性可得尸点坐标还可以为（0,-2）或（0,-6）.

故答案为：（0,2）或（0,6）或（0,-2）或（0,-6）.

第13页（共18页）

18.（3分）如图，小明在尸处测得/处的俯角为15°,3处的俯角为60°,PB=30m.若斜面坡度为1：V3,

则斜坡AB的长是30m.

解：：斜面坡度为1：g，=*=亭，尸=30°,•在尸处进行观测，测得/处的俯角

为15°，2处的俯角为60°,：.NHPB=30°，NAPB=45°,；./HBP=60°，

：.ZPBA=90°，ZBAP=45°,/.ZAPB=ZBAP,：.AB=PB=?>0m,故答案为：30.

19.（3分）对于三个数a、b、c,用M｛a,6,c｝表示这三个数的中位数，用加办｛0,b,c｝表示这三个数中最大数,

a(Q>—1)

例如：M{-2,-1,0}=-1,max{-2,-1,0}=0,max{-2,-1,a}=

-l(a<-1)

V2

解决问题：Af{sin45°,cos60°,tan60°}=_y_,如果加QX{3,5-3x,2x-6}=3,则x的取值范围为

29

T<%<T

32~

解：Af{sin45°,cos60°，tan60°}=〃{¥，--,V^}=挈；Vmax{3

5-3x,2x-6}=3,

22z

.•仁建郛得,洛心故答案为:今兴久4

20.（3分）在平面直角坐标系中，点4的坐标为（1,0）,P是第一象限内任意一点，连接尸。、PA,若/POA

=m°,ZPAO=n°,则我们把（m°,n°）叫做点尸的“双角坐标”.例如，点（1,1）的“双角坐标”为（45

11

90°）.（1）点（5，5）的“双角坐标”为（45。，45°）；

31

（2）若“双角坐标”为（30。，60°）,则点坐标％,-V3）；

4―4

（3）若点P到x轴的距离为;,

则m+n的取小值为90

1

-1

2

A-11-

解：（1）•.•点（5，5）,OA=I,・・tanN尸。4=1tanNB4O=^T=l,AZPOA=45,ZPAO=45°,

_1—A

212

即点尸的“双角坐标”为（45°,45°）,故答案为：（45°,45°）,

（2）・・,若“双角坐标”为（30°,60°）,OA=lf：.ZOPA=9Q°,OA=^。尸=孚，

•*»y=OPXsin30°=*xj=卓，x=OPXcos30°=卓*卓=1，故坐标为（一，—），

（3）根据三角形内角和定理知若要使加+"取得最小值，即/PQ4+NB4O取得最小值，则NOB4需取得最大值,

如图,

第14页（共18页）

111

•・,点尸到X轴的距离为彳。4=1,・・・。4中点为圆心，：;为半径画圆，与直线》二寻目切于点尸，

22乙

1

在直线>=/上任取一点P,连接P。、P'A,P'。交圆于点°,以=/l>NOPA,

此时/。以最大，/。刃=90°,.,•加+〃的最小值为90,故答案为：90.

三、解答题（本题共计5小题，共计60分）

21.（10分）如图，一根长6百米的木棒（AB）,斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（/ABO）

为60°.当木棒/端沿墙下滑至点H时，8端沿地面向右滑行至点夕.

（1）求03的长；（2）当44'=1米时，求BB'的长.

解：（1）根据题意可知：/8=6百米，ZABO=6Q°,ZAOB=90°,在RtZ\/O5中，,：cosZABO=^,

：.OB=ABcosZABO=6V3cos600=3百米，.，.。台的长为3旧米；

(2)根据题意可知HB'=/2=6百米，在RtZ\/O3中，•；sinN/20=器，AOA=ABsmZABO^6V3sm60°

=9米，'：OA'^OA-AA1,AA'=1米，：.OA'=8米，在RtZkHOB'中，OB，=2VIT米，

：.BB'=OB'-OB=(2V11-3V3)米.

22.（10分）如图，在△/BC中，3c=120,高40=60,正方形EFG8一边在上，点、E、下分别在/2、AC±,

AD交EF于点、N,求/N的长.

解：设正方形所G8的边长EF=£H=x,:四边形斯G/f是正方形，ZHEF^ZEHG=90°,EF//BC,

：.AAEFs/XABC,'：AD是△48C的高,：.ZHDN=9Q°,，四边形EHDN是矩形，：.DN=EH=x,

V/\AEF^/\ABC,=（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），VBC=120,AD=6Q,

ADBCJ

60—%%

：.AN=f>Q-x,：.----=—,解得：x=40,：.AN=6Q-x=6Q-40=20.

60120

23.（10分）如图，在△48C中，/ABC=/ACB,以/C为直径的。。分别交42、于点M、N,点P在的

延长线上，且NC48=2NBCP（1）求证：直线C尸是。。的切线.

（2）若BC=2瓜sin/3cp=喀，求点8到NC的距离.

（3）在第（2）的条件下，求△/（7尸的周长.

第15页（共18页）

MA

cA~0"D~

解：(1)•：N4BC=/4CB且NC4B=2NBCP,在△，5C中，ZABC+ZBAC+ZBCA=180°

A2ZBCP+2ABCA=180°,AZBCP+ZBCA=90°,又C点在直径上，二直线C尸是。。的切线.

(2)如图，作BD_L/C于点。，"CPCLACJ.BD//PC：.NPCB=/DBC,:BC=2小,sinN2CP=唱，

；.sin/3cp=sin/D2C=铝=笑=够，解得:OC=2,...由勾股定理得：AD=4,.,.点2到/C的距离为4.

(3)如图，连接4V,为直径，:./ANC=90°,.♦.RtA/CN中，NC==尊=5,

cosZ-ACN-sinZ-BCP一店

又CD=2,：.AD=AC-CD=5-2=3.°：BD〃CP,：.—=—,：.CP=^~.

CPAC

在RtZX/CP中，AP=7AC2+CP2=年,/c+cp+N尸=5+詈+等=20,二△/(7尸的周长为20.

24.(15分)在△48C和△0AE1中，CA=CB,EB=ED,点。在/。上.

(1)如图1,若NABC=/DBE=6G°,求证：NECB=NA；

(2)如图2,设2C与。£交于点尸.当NABC=/DBE=45°时，求证：CE//AB-,

1EF

(3)在(2)的条件下，若tan/DEC=^寸，求:的值.

(1)证明：；CA=CB,EB=ED,/ABC=/DBE=6Q°,△NBC和△DAB都是等边三角形，

；.AB=BC,DB=BE,44=60°.VZABC^ZDBE=60°,:./ABD=NCBE,

；.△/瓦屋△C8£(SAS).:./A=NECB；

(2)证明：,:NAB