2024-2025学年人教版八年级数学下册 第十六章 二次根式 综合测试（培优卷）解析版

第十六章二次根式（培优卷）

考试时间：120分钟，满分：120分

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.下列式子一定是二次根式的是（）

A.-faB.-y/aC.密D.

【答案】D

【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键.形如夜（。》0）是二次根

式，注意二次根式的被开方数是非负数即可得解.

【详解】解：A、当“<0时，夜不是二次根式，该选项不符合题意；

B、当。<0时，-夜不是二次根式，该选项不符合题意；

C、冷是三次根式，该选项不符合题意；

D、・•・a2>0,必是二次根式，该选项符合题意；

故选：D.

2.已知月:是整数，”是正整数，贝V的所有可能的取值的和是（）

A.11B.12C.15D.19

【答案】D

【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义.

根据二次根式的定义即可求出答案.

【详解】由题意可知：8-«>0,

:.n<8,

是整数，〃是正整数，

••・〃=4或7或8,

.-.4+7+8=19,

故选：D.

3.若y=J2x-1+3J1-2x-2,则代数式产的值为（）

11

A.4B.-C.—4D.—

44

【答案】A

【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握：在二次根式夜中，要求字

母。必须满足条件即被开方数是非负的，则当时，二次根式&有意义，当。＜0时，二次根式夜

无意义.据此得到关于X的不等式组，继而得到X、了的值，再代入X〉计算即可.也考查了负整数指数幕.

f2x-l＞0

【详解】解：根据题意，得，c、八，

1-2x20

解得：x=-,

代数式Xy的值为4.

故选：A.

4.若二次根式J（5-b）2=「-5,贝W的取值范围是（

A.b<5B.b<5C.b>5D.b>5

【答案】C

【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、绝对值，解题的关键是掌握

根据二次根式的性质得到"5-4=|5-斗则有|5-6|=6-5,根据绝对值的意义得到6-520,然后解不

等式即可.

【详解】解：：］（5-»2=|5-4

而J（5叫°=b-5，

15—Z?|=6—5,

，b—520,

Z?＞5.

故选：C.

5.若孙＜0,则J"化简后的结果是（）

A.xyB.Xyl-yC.-Xyj^yD.-x-Jy

【答案】D

【分析】根据孙＜o,后有意义可得x＜o,y＞。，进而即可求解.

【详解】解：•.•孙<（）,一亏有意义，

x<0,>0,

■■=\x\y/y=-xy［y,

故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，得出x<0,>>0是解题的关键.

6.计算（应+1广6.（收-1广的结果为（）

A.V2+1B.V2-1C.1D.3

【答案】A

【分析】本题考查了二次根式的运算，积的乘方的逆用，平方差公式，将原式变形为

（亚+1）（后+1广（后_1广，再利用积的乘方的逆运算和平方差公式求解即可.

［详解］解：（&+/26•（百_1广5

1+20252025

=（^+1）.（^-1）

=（V2+1）,

故选：A.

7.如图，△/BC的顶点4,B,。在边长为1的正方形网格的格点上，则3。边长的高为（）

1111111

11111Ali

":_/;:

111/111

卜——+——+——+——T

1|\1/I111

11\1/I111

11\।/।111

11Gli।।

11Vtz।।।।

A.店B.-4sC.-V5D.叵

\2552

【答案】c

【分析】本题考查了利用网格求三角形的面积，勾股定理,二次根式的乘除，利用面积法求三角形的高是

解题的关键.先用割补法求出A/BC的面积，再根据勾股定理求出8c的长，最后根据三角形的面积公式即

可求出答案.

【详解】设8C边上的高为/?,

1

=3x4——x2x3——x2xl——x2x4=4,

222

BC=722+42=275，

:.—x2y[5-A=4,

2

解得展VL

即2C边长的高为:石.

故选：C.

8.下列计算正确的是（）

A.2+372=572B.73x75=715

C.MGR

D.V20-V5=2

【答案】B

【分析】本题主要考查二次根式的运算.根据二次根式的加减乘除运算可直接进行排除选项.

【详解】解：A、2与3a不是同类二次根式，不能合并，错误，故本选项不符合题意;

B、73x75=715,故本选项符合题意;

C、向巫=工旦故本选项不符合题意;

32

D、而）-#>=2遥-#>=#,大2,故本选项不符合题意;

故选：B.

9.如果.=2+括，6=己万，那么。、b的关系是（）

A.ab=-1B.a=bC.Q+6=0D.ab=1

【答案】B

【分析】本题主要考查了分母有理数化，先把6=同百分母有理数化即可得出答案.

（2+V3）2+V3

【详解】解：6=会万=2+^3。

（2一司（2+⑹4-3

•・•。=2+V3,

a=b,

故选：B.

10.若工<一1,则|2x-l|+Jx'+2x+l等于()

A.1—xB.x—2C.3xD.—3x

【答案】D

【分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是利用二次根式的性质及绝对值的意义将原式化简，再

进行加减运算即可.

【详解】解-―1,

2x-1<0,x+1<0,

+2x+1

=-(2x-1)+^(x+l)2

=_(2x_+

=—2x+1-x—1

=-3x.

故选：D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11.若《三在实数范围内有意义，则实数X的取值范围是.

【答案】X>3

【分析】本题主要考查实数及二次根式有意义的条件，熟练掌握实数的性质及二次根式有意义的条件是解

题的关键；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数"可进行求解.

【详解】解：由题意得：x-3>0,

•••x>3；

故答案为x23.

12.下列二次根式由5+1、£、扃、+2帅+廿中,最简二次根式是.

【答案】V77I

【分析】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的关键.

根据最简二次根式的意义逐项进行判断即可.

【详解】

解：/+i>o,因此7771是最简二次根式；

行=孝，因此E不是最简二次根式；

庖=2而，因此而■不是最简二次根式；

Va2+2ab+b2=](a+6丫=|a+b],因此不是最简二次根式，

故答案为：Ja。+1-

13.设a、b、c分别是三角形三边的长，则一c『+J任一』『=.

【答案】2c

【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，利用二次根式的性质化简，整式加减的应用等知识点，

由三角形三边之间的关系得出a-b-c<0,b-c-a<0是解题的关键.

首先由三角形三边之间的关系得出c<0,b-c-a<0,然后化简二次根式，再进行整式的加减运算

即可得出答案.

【详解】解：•.2、b、。分别是三角形三边的长，

-,-b+c>a,a+c>b,

a-b-c<0fb-c-a<0,

二.-b-c)+J(b-c-Q)

=—(a-b-c)-(b-c-a)

=b+c-a+a+c-b

=2c,

故答案为：2c.

14.若加=#!+2,贝U—4m+3=.

【答案】4

【分析】本题考查的是利用完全平方公式的变形求值，二次根式的加减乘法运算，求解代数式的值，先将

代数式变形成/-4加+3=(〃L2)2-1,再代入m求值即可.

【详解】解：-4相+3=(加一2『一1,m=45+2,

m2—4m+3

=（V^+2-2）—1）-

=5-1

=4.

故答案为：4.

15.【跨学科】〃海阔千江辕，风翻大浪随〃.海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通

2

用公式为吗=」二，其中必为风压（单位：kN/m2）,v为风速（单位：m/s）.当风压为0.16kN/m,时,

估计风速为m/s.

【答案】16

【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据题中的通用公式表示出风速的表达式，求解即可得出答案.

【详解】解：由题中给出的公式可知，

当风压为0.16kN/m?时，风速为v=J1600x0.16=16m/s,

故答案为：16.

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.

16.计算：

（1）V2XV6+V124-V3-V27；

（2）［V3-l）2-（2V2+3）（2V2-3）.

【答案】⑴-0+2

⑵5-

【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键.

（1）根据二次根式的乘除运算法则计算，再化简二次根式，后计算加减即可；

（2）先利用乘法公式计算，再计算加减即可.

【详解】（1）解：V2XV6+V124-V3-V27

=273+74-373

=2V3+2-3A/3

=—y/3+2；

（2）解：（6力_（2及+3）（2后-3）

=3-273+1-(8-9)

=3-26+1+1

=5-273.

17.实数a,6在数轴上对应点的位置如图所示，M=|6-2|+Jg+2)2.

2\।>

-202

(1)化简M；

(2)当|。-卞+方［=0时，求M的值.

【答案】⑴M=a-b+4

(2)8

【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键.

(1)由实数6在数轴上对应点的位置确定。力的符号以及绝对值的大小，进而确定6-2,a+2的符号，根

据绝对值以及二次根式的化简方法进行计算即可；

(2)根据绝对值、算术平方根的非负性求出的值，代入计算即可.

【详解】⑴解：由实数。力在数轴上对应点的位置可知，b<-2<0<a<2,且⑷<|“，

b—2<0,Q+2〉0,

M=|b-2|+J(a+2y=2-6+a+2=a-6+4.

5

.-.a=-,b=-

22

3

:.M=a-b+4=—+4=4+4=8.

2

18.若最简二次根式3、2x+y-5和Jx-3.y+ll是同类二次根式.

(1)求x,y的值.

(2)求的平方根.

【答案】⑴X=4,〉=3

(2)±V5

【分析】本题考查的是同类二次根式的题目，求一个的平方根，算术平方根，解题的关键是掌握同类二次

根式的定义.

(1)首先由二次根式被开方数为2,可知3%-10=2,据此求出x的值；再根据同类二次根式的定义可得

2x+y-5=x-3y+ll,将x的值代入计算即可解答；

(2)先求出一+/=25,则&+丁=5,故可求5的平方根.

【详解】⑴解：根据同类二次根式的定义，得3x-10=2,解得x=4.

又2x+y-5=x-3y+11,

把x=4代入解得y=3.

(2)解：X2+/=32+42=25,

•••yjx2+y2=5,

••.5的平方根为：土石.

・••必"的平方根为土VL

四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19.我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料：

当a〉0,b〉0时：

=a-2yl-ab+b

又—y/b)2^0

ci_2A/ab+

a+b^2y[ab

当且仅当。=6时，a+b=2y[ab.

请利用上述结论解决以下问题：

⑴当%>0时，4XH—的最小值为止匕时x=_；

⑵若尸"+4*+9(x>-2),求y的最小值.

x+2

【答案】⑴4,1

(2»的最小值为2造

【分析】本题主要考查了二次根式和完全平方公式的应用,

对于（1），根据题意可得4X+124,再根据题意求出X的值即可；

X

对于（）将原式整理为三，再结合已知条件可得工++工、（尤+）•工

2,y=x+2+2222接下来可

x+2x+2Vx+2

得答案.

（1）解：根据题意可知4工+，22」41」，

【详解】

Xx

BP4x+->4.

x

当4x='时，4x+—=4,

xx

解得x=V时，以+工的最小值是4；

2x

故答案为：4,y;

<X2+4x+4+5(x+2y+5

（2）解:•・•y=------------

x+2x+2

r5

v=x+2H--------

x+2

•・•x>-2,

/.x+2>0.

•・,当Q>0,b>0时：a+b>2y[ab,

「+2+/2,+2).5

x+2

：.x+2——-->2y/~5,

x+2

即y22指.

所以y的最小值为2石.

20."欲穷千里目，更上一层楼"，说的是登得高看得远.如图，若观测点的高度为&，观测者视线能达到的

最远距离为d,则daN2hR,其中尺是地球半径，约为6400km.

⑴小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度力为80m,她观测到远处一艘船刚露出海平面，求

此时d的值；

(2)已知一座山的海拔为320m,这座山到海边的最短距离为60km,天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请

说明理由.

【答案】⑴八32km；

⑵她站在山巅能看到大海，理由见解析.

【分析】本题考查了代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键.

(1)将〃=80m=0.08km,A=6400km代入da血尿即可求解；

(2)先将/z=320m=0.32km,R=6400km代入d土,得到此时d的值，与最短距禺比较即可求解.

【详解】(1)解：•.•〃=80m=0.08km,R=6400km,

/.d=yjlhR=J2x0.08x6400=32km，

所以此时"的值为32km.

(2)解：能看到，理由如下

0.0h=320m=0.32km,R=6400km,

/.d=yJlhR=,2x0.32x6400=64km>60km,

所以她站在山巅能看到大海.

21.阅读材料并解决下列问题：

己知。、6是有理数，并且满足等式5-6。=26+-a,求0、6的值.

2

解：:5-y/3a=2b+—\f3-a

3

即5-耳=(26_。)+|■百

2

：.2b-a=5,-a=—

3

213

解得：a=--,b=-

3o

(1)已知a、6是有理数，并且满足等式缶-(1+收)6=3正-1,则0=,b=.

(2)己知x、y是有理数，并且满足等式x+J5y+2y-2退=3指苫+18,求孙的平方根.

【答案】(1)4,1；(2)±4

【分析】(1)利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可.

（2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到工和

y,再求9的平方根.

【详解】解：(1)•.•亚。-(1+&)6=3后一1,

工41a—b—y/2b=3A/2-1，

.•.亚(a-b)-b=3后-1,

1・b=\,a-b=3,

"二4；

(2)x+#)y+2y-2-75=3#>x+18,

(y-3x)^5+x+2y=18+2V5,

-3x=2

[x+2y=18'

x=2

解得:

j=8

・,•盯二16,

・,•孙的平方根为±4.

【点睛】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算.对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样

的方法和思路解题.

五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.

22.材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如美，羽公的计算，需要运用分式的基本性质，将

]/?V2

分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；==k

V2（V2）22

22x(V3+V2)2^+2722V3+2V2

=273+2^2.类似地,将分子转化为有理数,

V3—^2^3—y/2^x^^3+V2j(V3)2-(V2)2-3-2

Q4（拒了2

就称为"分子有理化”例如:

痒1_(6T)X(6+1)_(拘2_]2_3-1_2

根据上述知识，请你完成下列问题:

G-73x(73+1)-(百>+百一3+G-3+6

⑴比较大小：上方

而三(填。"，"("或.

⑵运用分子有理化，比较V7-6与几-石的大小，并说明理由;

1111

⑶计算:1+V2+V2+V3+V3+V4+"+V2023+V2024；

2

⑷若求3"2—6Q+5的值.

【答案】

(2)V7-V6<V6-V5

(3)-1+2>/506

(4)11

【分析】本题考查的是分母有理化，分子有理化，理解题意，熟悉阅读部分的运算要求与运算法则，再解

决问题即可.

(1)根据分母有理化是要求把原式化简，再比较即可得到答案;

(V7+76)(77-76)(V6-V5)(V6+V5)

(2)根据分子有理化是要求把原式变形为77-痛=,>/6—V5=

V7+V6V6+V5

再计算出结果，再比较大小即可;

(3)依次把每一项分母有理化，再合并即可;

(4)把"=7占进行分母有理化化简，再将其代入3a2一60+5即可求解.

11x(3+近)3+不

【详解】(1)解:

3-V7(3一近)x(3+V7)2

1x(而+3)

1VTT+3

V1T-3(7TT-3)X(7TT+3)~2~

•••Vn>77,

22

11

"3-V7<ViT-3，

故答案为：＜.

⑵解：;4一指=五了(V7+V6)(V7-V6)_1

V7+V6-V7+V6'

y/6—Vs_(A/6—y/5)(^6+y/s)_1

屈-亚=

1V6+y[5y/6+y/5

由V7+庭>&+石>0,

11

--------<-------

"V7+V6V6+V5'

:.47-s/6<46-45.

]]]]]

⑶牛：]+后+0+&+用"+"+6++J2023+J2024

=V2-l+V3-V2+V4-V3+---+V2023-V2022+V2024-V2023

=-1+72024=-1+27506；

22x(V3+l)

⑷解:"京=两巾了"

.­.3a2-6a+5=3(a2-2tz)+5=3(a-l)2+2=3(V3+l-l)2+2=ll.

23.先阅读下列材料：

材料一：像(G+l)(6-l)=2,痣.“=。(°>0)…这种两个含二次根式的代教式相乘，积不含二次根式，

我们称这两个代数式互为有理化因式.

例如百X6=